Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Предлагаемый курс дифференциальной геометрии написан по программе физико-математических и механико-математических факультетов университетов, но отличается некоторыми особенностями.

Поскольку в курсе анализа бесконечно малых обычно рассматриваются элементарные свойства кривых на плоскости, я счел возможным плоские кривые рассматривать как специальный случай пространственных. Зато первая часть введения сразу же знакомит читателя с элементарными геометрическими понятиями простой дуги кривой (плоской и пространственной), простого куска поверхности. Кроме основных определений здесь рассматриваются простейшие свойства их, зависящие от производных первого порядка.

Параметрическое задание кривой или определение уравнением, не разрешенным относительно одной из текущих координат, приводит к теоремам существования неявных функций. Для удобства читателя эти теоремы приведены (без доказательства) в приложении, на них строится весь курс. Точно так же в приложение вынесена вся теория дифференцирования векторных функций, которая несомненно составляет часть анализа, но широко используется в дифференциальной геометрии.

В двух параграфах введения дано изложение методов исследования особых точек кривых на плоскости (или поверхностей), заданных одним неразрешенным уравнением. Естественным приложением этой теории является задача построения кривой на плоскости средствами дифференциальной геометрии. Я ограничиваюсь тремя подробно разобранными примерами в конце книги.

Исследование особых точек кривой, заданной параметрически, рассматривается позднее, одновременно для плоских и пространственных кривых, методом инвариантных векторов, что необычайно упрощает все исследование. Понятие инвариантных векторов (и скаляров) имеет основное значение для всего курса. Можно сказать, что курс дифференциальной геометрии строится как теория дифференциальных инвариантов относительно группы движений пространства и допустимых преобразований параметров.

При этом естественно возникает понятие дифференциальной окрестности того или другого порядка точки кривой (или поверхности). Как известно, дифференциальные инварианты делятся на порядки в зависимости от порядка производных от текущих координат по параметру, с помощью которых эти инварианты могут быть записаны. Дифференциальные инварианты до n-го порядка включительно определяют дифференциальную окрестность n-го порядка. Кривые, имеющие касание n-го порядка, имеют в точке касания общую дифференциальную окрестность n-го порядка.

Другой особенностью книги является широкое использование кинематических соображений при рассмотрении перемещений трехгранника, присоединенного к точке кривой или поверхности. Это не только делает более наглядным изучение кривой или поверхности, но и позволяет дать вывод основных уравнений теории поверхности вполне обозримым. Эти уравнения и в особенности теорема о гауссовой кривизне прилагаются к исследованию наложимости поверхностей. При этом выделяются поверхности постоянной кривизны, как допускающие в своей геометрии понятие конгруэнтных фигур. Общее учение о геометрии на поверхности заканчивается наброском построения геометрии на псевдосферических поверхностях и на плоскости Лобачевского.

После этого следует краткий исторический очерк развития дифференциальной геометрии от Лейбница до наших дней и, в частности, развития дифференциальной геометрии в Московском университете.

В заключение мне особенно приятно вспомнить те советы и указания, которые я получал со всех сторон от своих товарищей, когда я работал над этой книгой. Так, весьма существенную помощь оказал мне Д.И.Перепелкин, который был рецензентом моей рукописи и передал мне тетрадь больших и малых замечаний. Необходимо также отметить участие С.А.Яновской и А.П.Юшкевича, без дружеской помощи которых едва ли я сумел бы составить исторический очерк.

* * *

Читателя, не знакомого с дифференцированием векторных функций, следует предупредить о том, что, приступая к изучению теории кривых (часть первая), он должен будет ознакомиться с содержанием приложения II (стр.317). К приложению I (Теоремы существования неявных функций) можно обращаться каждый раз, когда в том будет надобность. Что же касается приложения III (Дополнительные задачи), то его полезно рассмотреть одновременно с чтением введения.

Звездочкой отмечены параграфы или пункты, которые можно опустить при первом чтении.

Об авторе

Известный отечественный математик. Окончил Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова в 1906 г. С 1918 г. – профессор МГУ. Получил ряд фундаментальных результатов в классических задачах изгибания поверхностей, в метрической и проективной теории конгруэнций; построил проективную теорию расслояемых пар конгруэнций; разработал метод канонизации репера и независимых параметров, являющийся развитием метода Дарбу–Картана. Cоздатель современной проективно-дифференциальной геометрии. Основатель школы советских геометров.