Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражнения по численным методам Изд. стереотип.

2024. 208 с.

Типографская бумага

Аннотация

Учебное пособие поддерживает курс по численным методам, который читается в вузах с повышенной математической подготовкой. Задачи и упражнения охватывают все основные разделы численного анализа: интерполирование функций, численное интегрирование, прямые и итерационные методы линейной алгебры, спектральные задачи, системы нелинейных уравнений, задачи минимизации функций, интегральные уравнения, краевые задачи и задачи с начальными данными... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие
1	Интерполирование и приближение функций
	1.1	Задачи интерполяции и приближения функций
	1.2	Алгоритмы интерполяции и приближения функций
		1.2.1	Полиномиальная интерполяция
		1.2.2	Интерполяционные сплайны
		1.2.3	Приближение функций в нормированном пространстве
	1.3	Упражнения
	1.4	Задачи
2	Численное интегрирование
	2.1	Задачи приближенного вычисления интегралов
	2.2	Алгоритмы приближенного вычисления интегралов
		2.2.1	Классические квадратурные формулы составного типа
		2.2.2	Квадратурные формулы интерполяционного типа
		2.2.3	Квадратурные формулы Гаусса
	2.3	Упражнения
	2.4	Задачи
3	Прямые методы линейной алгебры
	3.1	Задачи решения систем линейных уравнений
	3.2	Алгоритмы решения систем линейных уравнений
		3.2.1	Обусловленность матрицы и оценки точности решения систем линейных уравнений
		3.2.2	Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
		3.2.3	Метод квадратного корня
	3.3	Упражнения
	3.4	Задачи
4	Итерационные методы линейной алгебры
	4.1	Итерационное решение систем линейных уравнений
	4.2	Итерационные алгоритмы линейной алгебры
		4.2.1	Классические итерационные методы
		4.2.2	Двухслойные итерационные методы
		4.2.3	Итерационные методы вариационного типа
	4.3	Упражнения
	4.4	Задачи
5	Спектральные задачи линейной алгебры
	5.1	Собственные значения и собственные вектора матриц
	5.2	Численные методы решения задач на собственные значения
		5.2.1	Свойства собственных значений и собственных векторов
		5.2.2	Итерационные методы решения частичной проблемы собственных значений
		5.2.3	Решение полной проблемы собственных значений
	5.3	Упражнения
	5.4	Задачи
6	Нелинейные уравнения и системы
	6.1	Решение нелинейных уравнений и систем
	6.2	Итерационные методы решения нелинейных уравнений
		6.2.1	Алгоритмы для решения нелинейного уравнения
		6.2.2	Методы решения систем нелинейных уравнений
	6.3	Упражнения
	6.4	Задачи
7	Задачи минимизации функций
	7.1	Поиск минимума функции многих переменных
	7.2	Методы решения задач оптимизации
		7.2.1	Поиск минимума функции одной переменной
		7.2.2	Минимизация функций многих переменных
		7.2.3	Задачи условной минимизации
	7.3	Упражнения
	7.4	Задачи
8	Интегральные уравнения
	8.1	Задачи для интегральных уравнений
	8.2	Методы решения интегральных уравнений
		8.2.1	Интегральные уравнения Фредгольма второго рода
		8.2.2	Интегральные уравнения с переменными пределами интегрирования
		8.2.3	Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
	8.3	Упражнения
	8.4	Задачи
9	Задача Коши для дифференциальных уравнений
	9.1	Задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
	9.2	Численные методы решения задачи Коши
		9.2.1	Методы Рунге–Кутта
		9.2.2	Многошаговые методы
		9.2.3	Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений
	9.3	Упражнения
	9.4	Задачи
10	Краевые задачи для дифференциальных уравнений
	10.1	Краевые задачи
	10.2	Численные методы решения краевых задач
		10.2.1	Аппроксимация краевых задач
		10.2.2	Сходимость разностных схем
		10.2.3	Другие задачи
		10.2.4	Решение сеточных уравнений
	10.3	Упражнения
	10.4	Задачи
11	Краевые задачи для эллиптический уравнений
	11.1	Двумерные краевые задачи
	11.2	Численное решение краевых задач
		11.2.1	Аппроксимация краевых задач для эллиптических уравнений
		11.2.2	Принцип максимума
		11.2.3	Разностные уравнения в гильбертовом пространстве
		11.2.4	Решение сеточных уравнений
	11.3	Упражнения
	11.4	Задачи
12	Нестационарные задачи математической физики
	12.1	Нестационарные краевые задачи
	12.2	Разностные методы решения нестационарных задач
		12.2.1	Устойчивость двухслойных операторно-разностных схем
		12.2.2	Устойчивость трехслойных разностных схем
		12.2.3	Разностные схемы для параболического уравнения
		12.2.4	Гиперболические уравнения
		12.2.5	Многомерные задачи
	12.3	Упражнения
	12.4	Задачи
Литература

Предисловие

Курс по численным методам является основным при подготовке специалистов по прикладной и вычислительной математике. В нем излагаются основы численных методов решения задач алгебры, анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, с необходимой полнотой изучаются вопросы построения и теоретического обоснования вычислительных алгоритмов. Ставится и решается задача подготовки слушателей к практическому использованию численных методов при решении прикладных задач.

Поддержка курса по численным методам проводится как в теоретическом, так и в практическом плане. Закрепление базового материала по теории происходит на семинарских занятиях по численным методам. Навыки грамотного практического использования численных методов закладываются в вычислительном практикуме. С использованием современных библиотек численного анализа на компьютерах проводится содержательный анализ возможностей вычислительных алгоритмов при решении типовых задач. Высокая техническая оснащенность, рост возможностей вычислительной техники позволяет существенно обогатить содержание вычислительного практикума по численным методам.

Предлагаемое учебное пособие ориентировано на закрепление слушателями теоретического материала по курсу численных методов. Семинарские и самостоятельные занятия направлены на формирование навыков построения вычислительных алгоритмов для решения базовых задач численного анализа, теоретического исследования свойств алгоритма (точность, устойчивость, вычислительная работа на реализацию и т.д.).

Предлагаемая книга построена по следующему плану. Выделены основные, относительно самостоятельные разделы численного анализа. В отдельных главах рассмотрены задачи интерполирования и приближения функций, численного интегрирования, прямые и итерационные методы линейной алгебры, спектральные задачи линейной алгебры, системы нелинейных уравнений, задачи минимизации функций, интегральные уравнения, краевые задачи и задачи с начальными данными для обыкновенных уравнений, стационарные и нестационарные задачи математической физики.

Каждая глава (раздел численного анализа) начинается с формулировки задачи и приведения основных фактов по построению и исследованию вычислительных алгоритмов для выделенного класса задач. Этот материал не претендует на полноту, а лишь ориентирует читателя при изучении материала курса по численным методам. Дано небольшое число задач с решениями (упражнений) демонстрационного плана. Основное внимание уделяется задачам, предназначенным для самостоятельного решения. В ряде случаев задачи сформулированы в достаточно общем плане, который допускает исследование проблемы с различной глубиной исследования.

Проблемы подготовки задачника по численным методам широко и заинтересованно обсуждалась на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова в течении длительного времени. Особенно полезными для нас были соображения А.В.Гулина и Е.С.Николаева. Авторы с благодарностью воспримут конструктивные замечания по нашей работе, особенно в части уточнения набора задач.

А.А.Самарский
П.Н.Вабищевич
Е.А.Самарская

Москва, июнь 2000 г.

Об авторах

Самарский Александр Андреевич

Академик РАН, лауреат Ленинской и Государственной премий СССР, лауреат Государственной премии Российской Федерации. Заслуженный профессор МГУ имени М. В. Ломоносова. Научный руководитель Института математического моделирования РАН, заведующий кафедрой вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. Выдающийся ученый, крупнейший специалист в области вычислительной математики и математической физики, один из основоположников современной методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента. Опубликовал около 500 научных работ, из них более 20 монографий и учебных пособий, в том числе: «Уравнения математической физики» (М.,1999, 6-е изд., соавт. А. Н. Тихонов), «Теория разностных схем» (М., 1989, 3-е изд.).

Вабищевич Петр Николаевич

Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области вычислительной математики и математического моделирования. Работает в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова и Северо-Восточном федеральном университете имени М. К. Аммосова (г. Якутск). П. Н. Вабищевич разработал новые эффективные вычислительные алгоритмы для численного решения многомерных задач математической физики, внёс большой вклад в разработку методов численного решения обратных задач математической физики. Созданные им методы применяются при решении прикладных проблем механики сплошной среды, тепло- и массопереноса. Автор более 300 научных работ, в том числе нескольких монографий и учебных пособий, обладатель более 10 патентов РФ.