URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ Обложка Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ
Id: 313589
1381 р.

Решение некорректно поставленных обратных задач:
Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. Изд. 3, испр. и доп.

2024. 368 с.
Белая офсетная бумага

Аннотация

В книге приведен очерк теории решения некорректно поставленных линейных и нелинейных обратных задач, представлены практические алгоритмы их решения с оценкой точности. Приведены многочисленные примеры теоретических и прикладных некорректных обратных задач из различных отраслей науки. Изложение и решение задач сопровождается численными демонстрациями рассматриваемых положений, методов и алгоритмов с помощью предоставляемого автором программного... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловиеvi
Глава 1. Прямые и обратные, корректные и некорректные задачи1
§1. Определения и примеры корректно поставленных и некорректных задач1
§2. Корректность по Тихонову. Квазирешение, псевдорешение, метод невязки14
§3. Численное исследование корректности постановки некоторых задач28
§4. Плохо обусловленные задачи. Классификация линейных некорректных задач33
§5. Что будет, если решать некорректно поставленные обратные задачи обычными методами41
Глава 2. Методы решения некорректно поставленных обратных задач47
§1. Что значит «решение обратной задачи» и «решить обратную некорректную задачу»47
§2. Можно ли решить некорректную задачу без знания погрешности данных53
§3. Регуляризуемость обратных задач61
§4. Условия регуляризации и вариационные регуляризующие алгоритмы общего вида64
§5. Типичные конкретные постановки обратных задач и соответствующие вариационные регуляризующие алгоритмы71
§6. Рекомендации и замечания к постановкам задач100
Глава 3. Конечномерная аппроксимация и конечномерные алгоритмы106
§1. Конечномерная аппроксимация обратных задач106
§2. Вариационные конечномерные алгоритмы решения линейных некорректных задач124
§3. Численные демонстрации вариационных регуляризующих алгоритмов решения линейных обратных задач136
§4. Вариационные конечномерные алгоритмы для нелинейных задач158
§5. Конечномерные алгоритмы решения обратных задач на классе функций ограниченной вариации166
§6. Решение обратных задач на конических множествах функций174
§7. Сходимость регуляризующих алгоритмов по вариации186
Глава 4. Оценка точности получаемого решения194
§1. Основные понятия и факты194
§2. Примеры задач с истокообразно представимыми решениями203
§3. Устранение насыщения точности209
§4. Вопросы численной реализации методов без насыщения точности214
§5. Дополнительные свойства алгоритмов без насыщения точности218
§6. Численные иллюстрации к исключению насыщения точности220
§7. Специализированные алгоритмы на классах Mrp с неизвестным p227
§8. Апостериорная оценка точности на специальных множествах функций235
Глава 5. Решаем типичные линейные и нелинейные обратные задачи251
§1. СЛАУ с вырожденной и плохо обусловленной матрицей251
§2. Линейные и нелинейные интегральные уравнения261
§3. Обратные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений278
§4. Обратные задачи для уравнений в частных производных282
Вместо заключения312
Приложения314
Приложение 1. Пример обратной задачи в топологических пространствах314
Приложение 2. О единственности приближенного решения линейной обратной задачи, полученного по обобщенному принципу невязки316
Приложение 3. Дополнительные свойства вспомогательных функций для апостериорного выбора параметра регуляризации317
Приложение 4. Конечномерная сплайновая аппроксимация линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода319
Приложение 5. Верхняя оценка параметра регуляризации, выбираемого по ОПН для линейных задач325
Приложение 6. Представление векторов из некоторых конических множеств326
Приложение 7. Получение апостериорной оценки точности из априорной329
Приложение 8. Апостериорные оценочные функции330
Приложение 9. Выбор параметра алгоритма TSVD по обобщенному принципу невязки333
Литература338
Предметный указатель348

Предисловие
top

Как-то в начале 90-х годов прошлого века в разговоре с одним известным специалистом в области теоретического анализа обратных задач математической физики я услышал суждение, смысл которого состоял в следующем. Вот уже около 30 лет развивается теория и практика решения некорректных обратных задач. Издано более десятка монографий. Однако, до сих пор нет популярной книги по теории и алгоритмам решения этих задач, доступной простым "пользователям", в которой раскрывались бы детали и тонкости, без учета которых алгоритмы обычно не работают. Подобные соображения автору приходилось слышать и позднее.

С этим можно соглашаться или нет. Ведь в то время уже были изданы книги [107, 108, 109], где давалась методология решения некорректных задач и некоторые алгоритмы в форме, удобной для программирования. Имелись даже тексты программ. Однако, не было источника, где содержалось бы то, что можно назвать подробным численным анализом теории и алгоритмов решения некорректных обратных задач. А именно это было бы полезно, например, для инженеров, ученых-исследователей, аспирантов и студентов не математических специальностей, заинтересованных в решении обратных задач и применяющих для этого математические методы. И, конечно, в то время не было возможности демонстрации работы алгоритмов прямо при чтении книги.

Прошли годы. За это время издано еще около двух десятков монографий по решению некорректно поставленных задач. Часть из них приведена в списке литературы. Они имеют большое теоретическое и практическое значение для развития науки. Однако, в основном они предназначены для специалистов по некорректным задачам. Эти книги или описывают конкретные подходы к решению таких задач, фиксируя результаты авторов в общем контексте развития науки, или содержат теоретические обзоры методов решения некорректных задач. При этом много места уделяется математическому анализу возникающих проблем, что вполне оправдано для такого рода книг. Практические же алгоритмы и результаты их применения появляются обычно в виде небольшого числа примеров, часто без детализации. И конечно же, в этих книгах почти ничего нет о "простых вещах", известных каждому специалисту по этим алгоритмам, но, возможно, не знакомых " пользователям ".

Кроме того, эти книги не всегда удобны для "пользователей" – не математиков. Последние часто не очень интересуются доказательствами. Зачастую им нужно составить общее представление о некорректных задачах, схемах и методиках их решения. Однако, их часто интересуют детальные рецепты и подробные алгоритмы решения типовых обратных задач (линейных и нелинейных). Но венцом мечтаний, как правило, являются практические демонстрации методов и алгоритмов. Именно в демонстрациях пользователь погружается в мир тех тонкостей и деталей, которые он хотел бы узнать. И такие демонстрации могли бы служить основой для разработки собственного программного обеспечения.

В предлагаемой книге сделана попытка учесть многое из сказанного. Автор далек от мысли, что книга полностью отвечает сформулированным требованиям, особенно в части популяризации математического содержания. Предполагается, что читатели знакомы с математическими курсами хотя бы в объеме технического университета. В книге даются необходимые определения и понятия. По мере надобности формулируются и основные результаты теории (со ссылками на источники). По возможности, это делается не предельно абстрактно, а на уровне, который соответствует типичным приложениям. В основном тексте книги почти нет доказательств приводимых новых утверждений. Они, как правило, даются в приложениях.

В книге принята сквозная система нумерации определений, теорем, примеров и т.п. Формулы и рисунки нумеруются внутри глав.

Принципиальное значение придается в книге примерам обратных некорректных задач – теоретическим и прикладным. Центральную роль в понимании этих примеров по мысли автора играют демонстрационные алгоритмы и процедуры. Большинство примеров и почти все решаемые в книге обратные задачи снабжены такими демонстрациями на языке пакета МАТЛАБ. Это позволяет сделать демонстрации не только интерактивными и выполняемыми в реальном времени, но и гибкими. Читатель, зная весьма простой язык системы МАТЛАБ, может легко изменить демонстрационные процедуры и приспособить их для своих нужд. Чтение предлагаемой книги удобно сопровождать параллельным воспроизведением демонстраций, упомянутых в тексте, на персональном компьютере (ПК).

Автор желает читателям успехов в освоении практических методов решения некорректных задач и в приложении этих методов. Кроме того, хотелось бы выразить признательность Российскому фонду фундаментальных исследований (проекты N08–01–00160-а и 07–01–92103ГФЕН -а), а также Аналитической ведомственной целевой программе "Развитие научного потенциала Высшей школы" (проект 2.1.1/6827) за поддержку работы.


Об авторе
top
photoЛеонов Александр Сергеевич
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ». Специалист в области решения обратных и некорректно поставленных задач науки и техники (обратные задачи теплопроводности и диффузии, задачи обработки изображений, задачи оптимального синтеза технических систем, обратные задачи речевых технологий и др.). Автор монографий по решению нелинейных некорректных задач.