Путилов С.В., Корпачева М.А. Теория чисел Изд. 2, испр.

---

Оглавление				3
Введение				7
Принятые обозначения				8
Глава 1. Теория делимости в кольце всех целых чисел				10
1. Кольцо ℤ всех целых чисел				10
2. Отношение делимости в ℤ и его простейшие свойства				12
3. Теорема о делении с остатком				14
4. Наибольший общий делитель (НОД)				16
5. Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух целых чисел				18
6. Линейное представление НОД				20
7. Взаимно простые числа				21
8. Наименьшее общее кратное (НОК)				24
9. Нахождение НОК для ???? целых чисел				26
10. Простые числа и их свойства				27
10.1. Простые числа				28
10.2. Бесконечность множества простых чисел				29
10.3. Критерий простого числа				30
10.4. Решето Эратосфена				31
10.5. Асимптотический закон распределения простых чисел				32
10.6. Неравенство П. Л. Чебышева				33
11. Основная теорема арифметики				34
12. Числовые функции				36
12.1. Числовые функции				37
12.2. Мультипликативные числовые функции				38
12.3. Целая часть действительного числа				42
13. Систематические числа				44
13.1. Непозиционные системы счисления				44
13.2. Позиционные системы счисления				45
13.3. Систематические числа				46
13.4. Операции над числами в g-ичной системе счисления				50
13.5. Перевод записи чисел из одной системы счисления в другую				51
14. Конечные цепные дроби				53
14.1. Конечные цепные дроби				53
14.2. Подходящие дроби				58
14.3. Свойства подходящих дробей				59
Глава 2. Теория сравнений и ее приложения				65
15. Отношение сравнимости в кольце ℤ				65
15.1. Сравнения целых чисел по модулю				65
15.2. Свойства сравнений, не зависящие от модуля				66
15.3. Свойства сравнений, зависящие от модуля				68
16. Классы вычетов				70
16.1. Классы вычетов				70
16.2. Полная система вычетов (ПСВ) и ее свойства				72
16.3. Приведенная система вычетов (ПрСВ) и ее свойства				73
16.4. Кольцо классов вычетов				74
16.5. Обратимые элементы кольца ℤm				77
17. Функция Эйлера				80
17.1. Мультипликативность функции Эйлера				80
17.2. Вычисление функции Эйлера				81
17.3. Теорема Гаусса				82
17.4. Теоремы Эйлера и Ферма				84
18. Сравнения с одним неизвестным				85
18.1. Сравнения с одним неизвестным				86
18.2. Преобразования, приводящие сравнение с одним неизвестным к равносильному				88
18.3. Сравнения первой степени с одним неизвестным				89
18.4. Методы решения сравнений первой степени с одним неизвестным				91
18.5. Диофантовы (неопределенные) уравнения первой степени с двумя неизвестными				93
19. Системы сравнений первой степени с одним неизвестным				98
20. Первообразные корни				102
20.1. Порядок класса вычетов (числа) взаимно простого с модулем				103
20.2. Первообразные корни по простому нечетному модулю				105
20.3. Критерий первообразного корня по простому нечетному модулю				108
20.4. Существованиепервообразных корней по простому четному модулю и некоторым другим модулям				109
21. Индексы				110
21.1. Индексы по простому модулю				110
21.2. Свойства индексов				110
21.3. Приложение индексов				114
22. Сравнения второй степени. Символ Лежандра				117
22.1. Простейшие двучленные сравнения				117
22.2. Квадратичные вычеты				118
22.3. Символ Лежандра и его приложения				120
22.4. Свойства символа Лежандра				122
23. Арифметические приложения сравнений				127
23.1. Конечные систематические дроби				127
23.2. Бесконечные систематические дроби				130
23.3. Периодические систематические дроби				135
23.4. Признаки делимости				139
24. Бесконечные цепные дроби				143
24.1. Бесконечная цепная дробь				143
24.2. Разложение действительного числа в цепную дробь				146
24.3. Существование разложения действительного числа в цепную дробь				148
24.4. Единственность разложения действительного числа в цепную дробь				150
Примерный перечень вопросов к зачету и экзамену по учебной дисциплине «Теория чисел»				151
Задачи и упражнения для самостоятельного решения				153
1. Теория делимости в кольце всех целых чисел				153
2. Теория сравнений и ее приложения				169
Приложение 1. Таблица простых чисел, меньших 1000				190
Приложение 2. Таблицы индексов и антииндексов по простым модулям, меньшим 100				191
Список литературы				200

---

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов физико-математического факультета дневной (4 года обучения) и заочной (5 лет обучения) форм обучения направления подготовки бакалавров 44.03.01 «Педагогическое образование», направленность (профиль) подготовки «Математика», а также для студентов дневной (5 лет обучения) формы обучения направления подготовки бакалавров 44.03.05 «Педагогическое образование», направленность (профили) «Информатика» и «Иностранный язык (английский)», которые в соответствии с рабочими учебными планами изучают учебную дисциплину «Теория чисел». В первой главе «Теория делимости в кольце всех целых чисел» и второй главе «Теория сравнений и ее приложения» изложение материала следует содержанию. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами с решениями. Кроме того, по каждой теме предлагается достаточное количество задач для самостоятельного решения.

Каждая тема начинается со словаря — списка понятий и основных утверждений, которые необходимо знать обучающемуся для успешного овладения изложенным материалом. Сформулированы вопросы для самопроверки.

Теоретический материал по главам 1–2 с рассматриваемыми примерами подготовлен кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры алгебры и геометрии С. В. Путиловым; подбор задач и вопросов для самоконтроля, а также подобных задач с решениями к темам этих глав выполнен кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры алгебры и геометрии М. А. Корпачевой.

---