URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения Обложка Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения
Id: 312703
899 р.

Линейная алгебра и некоторые её приложения Изд. 6

URSS. 2024. 400 с. ISBN 978-5-00237-013-9.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Основное содержание книги составляют теория определителей и краткий курс собственно линейной алгебры. В качестве «приложений» линейной алгебры рассматриваются самые разные вопросы: дается краткое изложение общей теории кривых и поверхностей второго порядка, вводятся основные понятия тензорной алгебры, излагаются основные понятия теории групп и элементы теории представлений групп. В одной из глав книги методы линейной алгебры применяются... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие1
Схема зависимости глав8
Глава I. Определители и системы линейных уравнений9
§ I. Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными9
§ 2. Перестановки и транспозиции. Определитель n-го порядка17
§ 3. Свойства определителей20
§ 4. Миноры и алгебраические дополнения27
§ 5. Разложение определителя по элементам строки или столбца29
§ 6. Системы п линейных уравнений с n неизвестными32
§ 7. Ранг матрицы34
§ 8. Понятие о линейной зависимости38
§ 9. Произвольные системы линейных уравнений41
§ 10. Однородные системы45
§ 11. Метод Гаусса50
Глава II. n-мерное пространство55
§ 1. Что такое поле55
§ 2. Поле комплексных чисел56
§ 3. Определение векторного пространства62
§ 4. Размерность и базис65
§ 5. Изоморфизм векторных пространств70
§ 6. Переход к новому базису73
§ 7. Подпространства векторного пространства76
§ 8. Линейные многообразия78
§ 9. Пересечение и сумма подпространств79
§ 10. Определение аффинного пространства82
§ 11. Введение координат в аффинном пространстве84
§ 12. Переход к новой системе координат85
§ 13. R-мерные плоскости в аффинном пространстве86
§ 14. Выпуклые множества в аффинном пространстве90
Глава III. Линейные операторы92
§ 1. Определение и примеры92
§ 2. Действия над линейными операторами99
§ 3. Прямоугольные матрицы106
§ 4. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису112
§ 5. Ранг и дефект линейного оператора114
§ 6. Невырожденный линейный оператор115
§ 7. Инвариантные поднространства117
§ 8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора119
§ 9. Спектр линейного оператора126
§ 10. Жорданова нормальная форма128
Глава IV Евклидово пространство144
§ 1. Скалярное произведение144
§ 2. Ортонормированный базис149
§ ч 3. Ортогональное дополнение154
§ 4. Евклидово (точечно-векторное) пространство157
Глава V. Линейные операторы в евклидовом пространстве163
§ 1. Линейный функционал163
§ 2 Оператор, сопряженный данному164
§ 3 Самосопряженный оператор168
§ 4. Ортогональный оператор173
§ 5 Унитарный оператор181
§ 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве183
Глава VI. Билинейные и квадратичные формы187
§ 1. Билинейный функционал. Билинейная и квадратичная формы187
§ 2, Приведение квадратичной формы к сумме квадратов191
§ 3. Закон инерции квадратичных форм194
§ 4 Определенные формы195
§ 5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве199
§ 6. Билинейный функционал в комплексном векторном пространстве201
Глава VII. Исследование кривых и поверхностей второго порядка205
§ 1. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду205
§ 2. Инварианты кривой второго порядка209
§ 3. Определение центра и главных осей центральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы218
§ 4. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка221
Глава VIII. Понятие о тензорах225
§ 1. Примеры тензоров225
§ 2. Определение й простейшие свойства тензоров230
§ 3. Операции над тензорами233
§ 4. Тензоры в евклидовом пространстве237
Глава IX. Основные понятия специальной теории относительности241
§ 1. Двумерные пространства со скалярным произведением241
§ 2. Полуевклидова плоскость242
§ 3. Псевдоевклидова плоскость248
§ 4. Псевдоортогональный оператор252
§ 5. Пространство событий. Принцип относительности Галилея255
§ 6. Принцип относительности Эйнштейна258
§ 7. Преобразования Лоренца260
§ 8. Некоторые следствия из формул Лоренца264
Глава X. Основные понятия теории групп272
§ I. Примеры групп. Определение группы272
§ 2. Подгруппа278
§ 3. Группы преобразований. Симметрическая группа n-й степени280
§ 4. Изоморфизм групп284
§ 5. Разложение группы по подгруппе287
§ 6. Нормальная подгруппа291
§ 7. Фактор-группа293
§ 8. Прямое произведение групп295
§ 9. Классы сопряженных элементов группы297
§ 10. Классы сопряженных элементов прямого произведения групп300
§ 11. Гомоморфизм групп301
ГлаваXI. Группы симметрии геометрических фигур304
§ 1. Группа движений вещественного евклидова пространства и ее подгруппы304
§ 2. Сопряженные элементы в группе вращений трехмерного пространства308
§ 3. Группа вращений правильного n-угольника Сn309
§ 4. Диэдральные группы Dn310
§ 5. Группа вращений тетраэдра Т313
§ 6. Группа вращений куба О315
§ 7. Группа симметрии тетраэдра Td318
§ 8. Группа симметрии куба Оn319
§ 9. Заключение321
Глава XII. Линейные представления конечных групп324
§ 1. Определения и примеры324
§ 2. Изоморфные представления330
§ 3. Подпредставление332
§ 4. Прямая сумма представлений333
§ 5. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления335
§ 6. Регулярное представление339
§ 7. Функции, определенные на группе341
§ 8. Скалярное произведение на группе344
§ 9. Лемма Шура346
§,10. Следствия из леммы Шура349
Глава XIII. Теория характеров354
§ 1. Характер представления. Простейшие свойства характеров354
§ 2. Характеры неприводимых представлений357
§ 3. Дальнейшие свойства характеров359
§ 4. Основное соотношение360
§ 5. Число неприводимых представлений группы362
§ 6. Представления коммутативной группы365
§ 7. Представления циклических групп366
§ 8. Представления диэдральных групп367
§ 9. Характеры группы вращений тетраэдра373
§ 10. Характеры группы вращений куба и группы симметрии тетраэдра375
§ 11. Тензорное (кронекеровское) произведение матриц379
§ 12. Тензорное произведение векторных пространств380
§ 13. Тензорное произведение линейных операторов382
§ 14. Тензорное произведение представлений (представления прямого произведения групп)384
§ 15. Характеры группы симметрии куба388
Список дополнительной литературы389
Предметный указатель391

ПРЕДИСЛОВИЕ
top

Эта книга представляет собой учебное пособие по линейной алгебре, рассчитанное на студентов втузов и естественно-научных факультетов университетов. Она может быть полезной и читателю, желающему самостоятельно познакомиться с основными понятиями линейной алгебры.

Глава I является вводной; она содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории определителей и систем линейных уравнений. Основными в книге являются главы II—VI, в которых излагается собственно курс линейной алгебры. Остальные главы, по существу, не относятся к линейной алгебре, но их результаты основаны на предыдущем материале (...«некоторые ее приложения»); эти главы могут читаться и не подряд (см. ниже схему зависимости глав).

Глава VII посвящена общей теории кривых и поверхностей второго порядка; она имеет целью дополнить и углубить соответствующую часть курса аналитической геометрии, не претендуя на ее замену.

Глава VIII, посвященная общим понятиям тензорной алгебры, является довольно конспективной и может служить введением в более обстоятельные изложения той же темы, из числа которых назовем, например, указанные в списке литературы книги [15] и [16].

Несколько необычной для учебника линейной алгебры является глава IX, посвященная специальной теории относительности. При изучении линейной алгебры эта глава может быть и опущена, но опыт преподавания показывает, что обычно она вызывает у слушателей большой интерес.

Главы X—XI содержат самые общие сведения из теории групп и описание групп симметрии геометрических фигур и тел. Глава XII—XIII краткое, но достаточно строгое, изложение основных понятий теории представлений групп и теории характеров. Конечно, все эти вопросы уже не относятся к линейной алгебре, но методы теории групп и, в частности, основанная на линейной алгебре теория представлений групп, играют все большую роль в современной физике и химии, так что учебное пособие по линейной алгебре для втузов не может не затронуть и этих, разделов.

В настоящее издание книги внесены некоторые добавления, в частности,— параграф о жордановой форме матрицы. От читателя не требуется почти никаких предварительных сведений из высшей математики, предполагается лишь, что он знаком с элементами аналитической геометрии.- Используемые здесь понятия математического анализа (производная, интеграл) встречаются только в примерах, которые при чтении книги могут быть пропущены»

Содержание настоящей книги составляет несколько, расширенный курс лекций, неоднократно читавшийся автором на отделении физхимии химического факультета МГУ,

Л. Я. Головина

Москва, Август, 1978 г,


Об авторе
top
photoГоловина Лидия Ивановна
Кандидат физико-математических наук (1948). Более 40 лет преподавала в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. В 1939 г. была зачислена на механико-математический факультет МГУ без экзаменов, как занявшая первое место на Московской математической олимпиаде. Её научным руководителем стал известный математик-алгебраист А. Г. Курош. С 1955 г. работала на кафедре математического анализа механико-математического факультета МГУ в должности доцента. Много лет преподавала различные разделы высшей математики на химическом факультете МГУ. Область научных интересов: высшая и линейная алгебра, математический анализ, элементарная математика. В соавторстве с И. М. Ягломом написала книгу «Индукция в геометрии», изданную в серии «Популярные лекции по математике» (вып. 21); эта книга была переведена на несколько языков и неоднократно переиздавалась. Другая её книга, «Линейная алгебра и некоторые ее приложения» (URSS), была основана на курсе лекций по линейной алгебре, который Л. И. Головина в течение нескольких десятков лет читала на отделении физической химии химического факультета МГУ. Книга неоднократно переиздавалась и была переведена на испанский язык.