| Предисловие | 1
|
| Схема зависимости глав | 8
|
| Глава I. Определители и системы линейных уравнений | 9
|
| § I. Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными | 9
|
| § 2. Перестановки и транспозиции. Определитель n-го порядка | 17
|
| § 3. Свойства определителей | 20
|
| § 4. Миноры и алгебраические дополнения | 27
|
| § 5. Разложение определителя по элементам строки или столбца | 29
|
| § 6. Системы п линейных уравнений с n неизвестными | 32
|
| § 7. Ранг матрицы | 34
|
| § 8. Понятие о линейной зависимости | 38
|
| § 9. Произвольные системы линейных уравнений | 41
|
| § 10. Однородные системы | 45
|
| § 11. Метод Гаусса | 50
|
| Глава II. n-мерное пространство | 55
|
| § 1. Что такое поле | 55
|
| § 2. Поле комплексных чисел | 56
|
| § 3. Определение векторного пространства | 62
|
| § 4. Размерность и базис | 65
|
| § 5. Изоморфизм векторных пространств | 70
|
| § 6. Переход к новому базису | 73
|
| § 7. Подпространства векторного пространства | 76
|
| § 8. Линейные многообразия | 78
|
| § 9. Пересечение и сумма подпространств | 79
|
| § 10. Определение аффинного пространства | 82
|
| § 11. Введение координат в аффинном пространстве | 84
|
| § 12. Переход к новой системе координат | 85
|
| § 13. R-мерные плоскости в аффинном пространстве | 86
|
| § 14. Выпуклые множества в аффинном пространстве | 90
|
| Глава III. Линейные операторы | 92
|
| § 1. Определение и примеры | 92
|
| § 2. Действия над линейными операторами | 99
|
| § 3. Прямоугольные матрицы | 106
|
| § 4. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису | 112
|
| § 5. Ранг и дефект линейного оператора | 114
|
| § 6. Невырожденный линейный оператор | 115
|
| § 7. Инвариантные поднространства | 117
|
| § 8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора | 119
|
| § 9. Спектр линейного оператора | 126
|
| § 10. Жорданова нормальная форма | 128
|
| Глава IV Евклидово пространство | 144
|
| § 1. Скалярное произведение | 144
|
| § 2. Ортонормированный базис | 149
|
| § ч 3. Ортогональное дополнение | 154
|
| § 4. Евклидово (точечно-векторное) пространство | 157
|
| Глава V. Линейные операторы в евклидовом пространстве | 163
|
| § 1. Линейный функционал | 163
|
| § 2 Оператор, сопряженный данному | 164
|
| § 3 Самосопряженный оператор | 168
|
| § 4. Ортогональный оператор | 173
|
| § 5 Унитарный оператор | 181
|
| § 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве | 183
|
| Глава VI. Билинейные и квадратичные формы | 187
|
| § 1. Билинейный функционал. Билинейная и квадратичная формы | 187
|
| § 2, Приведение квадратичной формы к сумме квадратов | 191
|
| § 3. Закон инерции квадратичных форм | 194
|
| § 4 Определенные формы | 195
|
| § 5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве | 199
|
| § 6. Билинейный функционал в комплексном векторном пространстве | 201
|
| Глава VII. Исследование кривых и поверхностей второго порядка | 205
|
| § 1. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду | 205
|
| § 2. Инварианты кривой второго порядка | 209
|
| § 3. Определение центра и главных осей центральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы | 218
|
| § 4. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка | 221
|
| Глава VIII. Понятие о тензорах | 225
|
| § 1. Примеры тензоров | 225
|
| § 2. Определение й простейшие свойства тензоров | 230
|
| § 3. Операции над тензорами | 233
|
| § 4. Тензоры в евклидовом пространстве | 237
|
| Глава IX. Основные понятия специальной теории относительности | 241
|
| § 1. Двумерные пространства со скалярным произведением | 241
|
| § 2. Полуевклидова плоскость | 242
|
| § 3. Псевдоевклидова плоскость | 248
|
| § 4. Псевдоортогональный оператор | 252
|
| § 5. Пространство событий. Принцип относительности Галилея | 255
|
| § 6. Принцип относительности Эйнштейна | 258
|
| § 7. Преобразования Лоренца | 260
|
| § 8. Некоторые следствия из формул Лоренца | 264
|
| Глава X. Основные понятия теории групп | 272
|
| § I. Примеры групп. Определение группы | 272
|
| § 2. Подгруппа | 278
|
| § 3. Группы преобразований. Симметрическая группа n-й степени | 280
|
| § 4. Изоморфизм групп | 284
|
| § 5. Разложение группы по подгруппе | 287
|
| § 6. Нормальная подгруппа | 291
|
| § 7. Фактор-группа | 293
|
| § 8. Прямое произведение групп | 295
|
| § 9. Классы сопряженных элементов группы | 297
|
| § 10. Классы сопряженных элементов прямого произведения групп | 300
|
| § 11. Гомоморфизм групп | 301
|
| ГлаваXI. Группы симметрии геометрических фигур | 304
|
| § 1. Группа движений вещественного евклидова пространства и ее подгруппы | 304
|
| § 2. Сопряженные элементы в группе вращений трехмерного пространства | 308
|
| § 3. Группа вращений правильного n-угольника Сn | 309
|
| § 4. Диэдральные группы Dn | 310
|
| § 5. Группа вращений тетраэдра Т | 313
|
| § 6. Группа вращений куба О | 315
|
| § 7. Группа симметрии тетраэдра Td | 318
|
| § 8. Группа симметрии куба Оn | 319
|
| § 9. Заключение | 321
|
| Глава XII. Линейные представления конечных групп | 324
|
| § 1. Определения и примеры | 324
|
| § 2. Изоморфные представления | 330
|
| § 3. Подпредставление | 332
|
| § 4. Прямая сумма представлений | 333
|
| § 5. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления | 335
|
| § 6. Регулярное представление | 339
|
| § 7. Функции, определенные на группе | 341
|
| § 8. Скалярное произведение на группе | 344
|
| § 9. Лемма Шура | 346
|
| §,10. Следствия из леммы Шура | 349
|
| Глава XIII. Теория характеров | 354
|
| § 1. Характер представления. Простейшие свойства характеров | 354
|
| § 2. Характеры неприводимых представлений | 357
|
| § 3. Дальнейшие свойства характеров | 359
|
| § 4. Основное соотношение | 360
|
| § 5. Число неприводимых представлений группы | 362
|
| § 6. Представления коммутативной группы | 365
|
| § 7. Представления циклических групп | 366
|
| § 8. Представления диэдральных групп | 367
|
| § 9. Характеры группы вращений тетраэдра | 373
|
| § 10. Характеры группы вращений куба и группы симметрии тетраэдра | 375
|
| § 11. Тензорное (кронекеровское) произведение матриц | 379
|
| § 12. Тензорное произведение векторных пространств | 380
|
| § 13. Тензорное произведение линейных операторов | 382
|
| § 14. Тензорное произведение представлений (представления прямого произведения групп) | 384
|
| § 15. Характеры группы симметрии куба | 388
|
| Список дополнительной литературы | 389
|
| Предметный указатель | 391
|
Эта книга представляет собой учебное пособие по линейной алгебре, рассчитанное на студентов втузов и естественно-научных факультетов университетов. Она может быть полезной и читателю, желающему самостоятельно познакомиться с основными понятиями линейной алгебры.
Глава I является вводной; она содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории определителей и систем линейных уравнений. Основными в книге являются главы II—VI, в которых излагается собственно курс линейной алгебры. Остальные главы, по существу, не относятся к линейной алгебре, но их результаты основаны на предыдущем материале (...«некоторые ее приложения»); эти главы могут читаться и не подряд (см. ниже схему зависимости глав).
Глава VII посвящена общей теории кривых и поверхностей второго порядка; она имеет целью дополнить и углубить соответствующую часть курса аналитической геометрии, не претендуя на ее замену.
Глава VIII, посвященная общим понятиям тензорной алгебры, является довольно конспективной и может служить введением в более обстоятельные изложения той же темы, из числа которых назовем, например, указанные в списке литературы книги [15] и [16].
Несколько необычной для учебника линейной алгебры является глава IX, посвященная специальной теории относительности. При изучении линейной алгебры эта глава может быть и опущена, но опыт преподавания показывает, что обычно она вызывает у слушателей большой интерес.
Главы X—XI содержат самые общие сведения из теории групп и описание групп симметрии геометрических фигур и тел. Глава XII—XIII краткое, но достаточно строгое, изложение основных понятий теории представлений групп и теории характеров. Конечно, все эти вопросы уже не относятся к линейной алгебре, но методы теории групп и, в частности, основанная на линейной алгебре теория представлений групп, играют все большую роль в современной физике и химии, так что учебное пособие по линейной алгебре для втузов не может не затронуть и этих, разделов.
В настоящее издание книги внесены некоторые добавления, в частности,— параграф о жордановой форме матрицы. От читателя не требуется почти никаких предварительных сведений из высшей математики, предполагается лишь, что он знаком с элементами аналитической геометрии.- Используемые здесь понятия математического анализа (производная, интеграл) встречаются только в примерах, которые при чтении книги могут быть пропущены»
Содержание настоящей книги составляет несколько, расширенный курс лекций, неоднократно читавшийся автором на отделении физхимии химического факультета МГУ,
Л. Я. Головина
Головина Лидия Ивановна 
