URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Творогов В.Б. «Компьютер» на пальцах: Алгоритмы счёта Обложка Творогов В.Б. «Компьютер» на пальцах: Алгоритмы счёта
Id: 312624

«Компьютер» на пальцах:
Алгоритмы счёта

URSS. 2024. 112 с. ISBN 978-5-9710-9946-8.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Книга посвящена описанию эффективных алгоритмов вычислений. Успех системе счёта «компьютера» на пальцах обеспечивают наглядные схемы и алгоритмы, показанные руками.

Вычислительная работа из утомительного занятия превращается в захватывающую внимание игру с числами. Так, умножение на три 3 × A задаётся правилом правой руки, которое использует поворот на прямой угол радиальных лучей телефонной Т-матрицы.

Кроме заученных фраз типа «дважды... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие5
Введение7
Глава 1. О технологии счёта8
1. Супервычислитель и его идея “образа числа”
2. Современные представления о технологии счёта
3. Правило единиц для квадратов от 12 до 42
4. Магический квадрат и Т-матрица
Глава 2. Два формата таблицы умножения19
1. Квадратная таблица Пифагора
2. Эксперимент с симметрией поворотов
3. Девятилистник умножения
4. Наследование свойств от множителей к произведению
5. Угловая мера числа на Т-матрице
Глава 3. “Компьютер” на пальцах для таблицы Пифагора28
1. Линейные цифровые правила умножения
2. Локальные правила умножения чётов на 6 и на 4
3. Умножение на пальцах множителей более пяти
4. Алгоритм двух камешков для старших множителей
Глава 4. Стандарт Т-матрицы36
1. Построение Т-матрицы
2. Симметрии дополнения на Т-матрице
3. Счётное поле, объединяющее линию и Т-матрицу
4. Специальные конфигурации чисел на Т-матрице
5. О памяти и запоминании больших чисел
Глава 5. Девятилистник сложения и цифровые вертушки43
1. Девятилистник сложения
2. Цифровые вертушки с нечётной молнией
3. Цифровые вертушки с чётной молнией
4. Уголки для указания чисел Т-матрицы
Глава 6. Нечётные листы сложения 49
1. Сложение “плюс 1”
2. Сложение “плюс 3”
3. Сложение “плюс 7”
4. Сложение “плюс 9”
Глава 7. Чётные листы сложения 54
1. Сложение “плюс 2”
2. Сложение “плюс 4”
3. Сложение “плюс 6”
4. Сложение “плюс 8”
5. Симметрии векторного сложения
Глава 8. “Компьютер” на пальцах для умножения нечётов62
1. Планетарная модель с нечётной молнией
2. Умножение на 3. Правило правой руки
3. Умножение на 7. Правило левой руки
4. Умножение на 9. Правило шпагата
5. Уголки цифр для умножения на нечёты
6. Арифметический букварь для умножения нечётов
Глава 9. “Компьютер” на пальцах для умножения чётов70
1. Планетарная модель с чётной молнией
2. Умножение на 2. Правило левой руки
3. Умножение на 4. Правило шпагата
4. Умножение на 6.
5. Умножение на 8. Правило правой руки
6. Уголки цифр для умножения на чёты
7. Арифметический букварь для умножения чётов
Глава 10. Десятки и единицы нечётных листов умножения82
1. Эталон листа x3. Десятки и единицы
2. Эталон листа x7. Десятки и единицы
3. Эталон листа x9. Десятки и единицы
4. Ступенчатые модели нечётных листов
5. Деление с остатком на ступенчатой модели
Глава 11. Десятки и единицы чётных листов умножения93
1. Эталон листа x2. Десятки и единицы
2. Эталон листа x4. Десятки и единицы
3. Эталон листа x6. Десятки и единицы
4. Эталон листа x8. Десятки и единицы
5. Ступенчатые модели чётных листов
Глава 12. Вращающаяся таблица умножения99
Глава 13. Проверка делимости и простые числа101
1. Проверка делимости на 3 методом теней
2. Простые числа, Т-решето и D-решето
3. Контрольные числа проверки делимости
Глава 14. Алгебра цифровых вертушек104
Заключение108
Литература110
Указатель111

Предисловие
top

Однажды автор обсуждал арифметику с юным математиком.

– Я знаю один способ умножения на пальцах, – похвастался малыш.

– Могу показать все результаты умножения руками с помощью “компьютера” на пальцах, – прозвучало в ответ приглашение к продолжению разговора.

Дружеская беседа оказалась полезной, однако времени на детальные объяснения не хватало. Полагаем, что данная книга с подробными описаниями, чтение которой не ограничено временем, восполнит пробелы в знаниях юных математиков о методах устного счёта, которые пригодятся в практических делах.

Традиционная арифметика рекомендует запоминать фразы типа “пятью пять – двадцать пять”.

Алгоритмы “компьютера” на пальцах упрощают элементарные арифметические действия до полной очевидности. Выполняя движения руками, ученик запоминает шаги алгоритма и цифровые правила, надёжно фиксирует в памяти конкретные величины.

Общие правила справедливы для нескольких примеров. Для быстрого счёта важно, что цифровые правила сконструированы из визуальных образов. Осознание мысленных образов происходит мгновенно. Вспомним правило умножения на 10. Чтобы умножить 7 x 10, приписываем нуль справа от 7. Собрать число 70 из цифр можно с высочайшей скоростью.

“Компьютер” на пальцах использует естественные положения рук человека. В математике упоминания о руках излишни, поэтому на схемах рисуем стрелочки, ведущие от множителей к результатам.

Раздел арифметики, изучающий эффективные алгоритмы счёта с применением геометрических схем, называется наглядной или визуальной арифметикой. Картинки и схемы, используемые в “компьютере” на пальцах, относятся к визуальному счёту. После некоторых тренировок счёта по цифровым правилам человек осознаёт величины чисел без произнесения слов.

Чтобы слушать лекции или вести беседы человек должен знать о строении Т-матрицы, которая составлена из клавиш с цифрами на панели мобильного телефона. Можно проверить, хорошо ли вы знаете стандарт Т-матрицы. Попробуйте, закрыв глаза, набрать на телефоне номер абонента. Если вы не делаете ошибок, тогда вы знаете о местах расположения цифр на телефонной матрице. Этого достаточно, чтобы применять цифровые алгоритмы арифметики.

“Компьютер” на пальцах – это система алгоритмов, позволяющая указывать на Т-матрице цифры результатов сложения, вычитания, умножения и целочисленного деления самыми простыми и быстрыми приёмами.

Любой пример сложения или умножения можно записать в общем виде с помощью букв

A + B = [ D, E ] и A x B = [ D, E ].

Символом D обозначена цифра десятков, E – это цифра единиц арифметического результата.

Таблица умножения десятичной арифметики имеет цифровые правила единиц и цифровые правила десятков. Величины единиц E (A, B) и десятков D (A, B) представляют функции от двух множителей A и B.

Существенное отличие наглядной арифметики от стандартной арифметики в том, что слагаемые, множители, величины десятков и величины единиц относятся к разным математическим пространствам. Для переменных A, B, D, E способы отображения выбираются индивидуально: либо числовая линия (одномерное пространство), либо Т-матрица и числовая плоскость (двумерное пространство).

Начальные главы книги посвящены изучению цифровых правил и симметрий в пространстве единиц, которые нужны для успешного применения эффективных алгоритмов сложения, вычитания, умножения. Следующие главы расширяют инструментарий “компьютера” на пальцах, позволяя всесторонне изучать законы числовой системы. Здесь применяются цифровые вертушки на Т-матрице, объёмные ступенчатые модели и другие интересные конструкции.

Повествование завершается сведениями из математической теории, которая помогает раскрыть глубокий смысл непифагоровой арифметики. Указатель терминов позволяет легко найти их в тексте книги.


Об авторе
top
photoТворогов Владимир Борисович
Математик. Окончил с отличием механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Кандидат физико-математических наук. Автор утверждает: «Все способы сокращённых вычислений являются следствием числовых симметрий». В системе счёта «компьютера» на пальцах используются цифровые правила, основанные на симметриях.