Григорьева Е.В., Кащенко А.А., Кащенко С.А. Локальный анализ динамики распределенных моделей лазеров

---

От редакции				6
Пути самоорганизации (Г. Г. Малинецкий)				9
От авторов				13
Глава 1. Введение				14
1.1. Критические случаи в задачах об устойчивости состояния равновесия				14
1.2. Методика построения нормализованных уравнений				20
1.3. Краткое описание исследованных моделей лазерных систем				31
Глава 2. Динамика лазеров с оптоэлектронной обратной связью				43
2.1. Модели динамики лазеров с некогерентной обратной связью				43
2.2. Модель лазера с управляемой накачкой				47
2.2.1. Анализ устойчивости стационарного состояния				48
2.2.2. Нормальные формы в конечномерных критических случаях				51
2.2.3. Квазинормальные формы при большом запаздывании				66
2.3. Гипермультистабильность в системе с большим запаздыванием				78
2.3.1. Анализ линеаризованной системы				80
2.3.2. Построение нормализованных краевых задач				83
2.4. Модель лазера с управлением уровня внутрирезонаторных потерь				90
2.4.1. Анализ линеаризованной системы				92
2.4.2. Построение квазинормальной формы				96
Глава 3. Динамика цепочки лазеров с оптоэлектронной связью				101
3.1. Модель цепочки лазеров с однонаправленной связью				104
3.1.1. Анализ линеаризованной системы				106
3.1.2. Построение квазинормальной формы				111
3.2. Модели цепочки с диффузионной и полудиффузионной связями				118
3.2.1. Цепочки с диффузионной связью				119
3.2.2. Цепочки с полудиффузионной связью				128
3.3. Квазинормальные формы в задачах о динамике полносвязных цепочек лазеров с оптоэлектронной обратной связью				129
3.3.1. Случай малых значений параметра δ				130
3.3.2. О некоторых классах точных решений краевой задачи (3.60), (3.61)				132
3.3.3. Квазинормальные формы в случае «средних» значений параметра δ				134
3.4. Динамика цепочек в случае большого запаздывания				138
3.4.1. Медленно осциллирующие решения				140
3.4.2. Быстро осциллирующие решения				150
Глава 4. Локальная динамика лазеров с осциллирующими параметрами				156
4.1. Модель лазера с быстро осциллирующей задержкой				157
4.1.1. Усредненная система				159
4.1.2. Система с модуляцией других параметров				171
4.2. Модель лазера с резонансной модуляцией запаздывания				175
4.2.1. Построение нормальной формы для резонанса ω:ω0 = 2 : 1				177
4.2.2. Динамика при двойной модуляции с равными частотами и различными фазами				180
4.2.3. Динамика при двухчастотном резонансном воздействии				181
4.2.4. Нормальная форма в случае резонанса ω:ω0 = 1 : 1				184
4.3. Модель лазера с прямоугольной модуляцией запаздывания				185
4.3.1. Усредненная система				187
4.3.2. Периодические решения усредненной системы в критическом случае				191
Глава 5. Динамика лазеров с оптической обратной связью				195
5.1. Модель Лэнга – Кобаяши полупроводникового лазера с обратнойсвязью				197
5.1.1. Анализ характеристического уравнения				198
5.1.2. Нормальные формы в конечномерных критических случаях				200
5.2. Динамика системы с большим коэффициентом управления				208
5.2.1. Нормализованная параболическая краевая задача				209
5.2.2. О решениях квазинормальной формы				212
5.3. Существование и устойчивость непрерывных волн в случае большого запаздывания				216
5.3.1. Существование семейства решений вида непрерывных волн				216
5.3.2. Устойчивость непрерывных волн				220
5.3.3. Расположение областей устойчивости на кривой I(ν,0, q, ϒ)				229
5.3.4. Простейшие распределенные цепочки связанных уравнений Лэнга – Кобаяши				234
Глава 6. Локальная динамика оптико-электронного осциллятора с запаздыванием				237
6.1. Модель динамики оптико-электронного осциллятора				239
6.2. Анализ устойчивости состояния равновесия				240
6.3. Квазинормальная форма в критическом случае I				244
6.3.1. Построение нормализованной краевой задачи				244
6.3.2. Стационарные решения квазинормальной формы				247
6.3.3. Пространственно-временное представление решений				252
6.4. Квазинормальная форма в критическом случае II				254
6.5. Квазинормальная форма в критическом случае III				256
Глава 7. Параметрическое возбуждение поперечных структур в широкоапертурных лазерах				260
7.1. Модель динамики лазера с учетом дифракции				262
7.1.1. Анализ характеристического уравнения				264
7.2. Конечномерные нормальные формы				267
7.2.1. Одномерный критический случай				268
7.2.2. Двумерный критический случай				270
7.2.3. Трехмерный критический случай				274
7.2.4. Четырехмерный критический случай				277
7.3. Квазинормальные формы при малом коэффициенте дифракции				278
7.3.1. Бифуркации пространственных мод низкого порядка				278
7.3.2. Бифуркации пространственных мод высокого порядка				281
Глава 8. Оптические поперечные структуры в интерферометре с нелинейным поглотителем				286
8.1. Модель динамики светового поля с учетом поворота в контуре обратной связи				287
8.2. Конечномерные нормальные формы				289
8.3. Квазинормальные формы при малом коэффициенте диффузии				294
8.3.1. Бифуркации пространственных мод низкого порядка				296
8.3.2. Бифуркации пространственных мод высокого порядка				301
8.4. Быстро осциллирующие пространственно-неоднородные структуры				306
8.4.1. Быстро осциллирующие структуры				308
8.4.2. Усложнение динамики при увеличении параметра μ				310
Глава 9. Динамика многомодовых лазеров				314
9.1. Существование и устойчивость непрерывных волн в модели FDML-лазера с большим запаздыванием				315
9.1.1. Существование семейств решений вида непрерывных волн				316
9.1.2. Устойчивость непрерывных волн				317
9.1.3. Расположение областей устойчивости на кривой Γ(к,g0)				326
9.2. Модель пассивной синхронизации мод				337
9.2.1. Решения при условии ϒ ≫ 1 и p= 2				340
9.2.2. Решения при условии ϒ ≫ 1 и 0 < p <2				343
9.2.3. Динамика системы при малом ϒg				345
9.2.4. Случай большого запаздывания				345
Литература				348

---

Исследования в области динамики лазерных и оптических систем имеют очевидное практическое значение. В то же время такие исследования предоставляют разнообразные математические модели, которые могут служить парадигмами теории нелинейных явлений. Укажем в качестве примера систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику одномодового лазера, которые при определенных условиях совпадают с известными уравнениями Лоренца и воспроизводят хаотический режим генерации лазера на аммиаке.

В предлагаемой нами монографии объектом исследования являются распределенные модели с запаздыванием и/или с частными производными, которые описывают динамику лазерных систем с дополнительными обратными связями. Рассматривается локальная динамика решений, которые формируются в некоторой окрестности состояния равновесия. Специфика исследуемых в монографии задач состоит в том, что критические случаи в задачах об устойчивости равновесного состояния имеют бесконечную размерность, а значит, речь пойдет, в частности, о бесконечномерных бифуркациях. В монографии будут продемонстрированы динамические эффекты, аналогов которым не может быть в моделях лазеров на основе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методика исследования, применяемая в монографии, является новой.

В ее основе лежат специальные асимптотические методы построения квазинормальных форм – нелинейных краевых задач, нелокальная динамика которых определяет главные члены асимптотического представления решений исходной краевой задачи в окрестности состояния равновесия.

Структура квазинормальных форм зависит от особенностей бесконечномерных бифуркаций, что может быть использовано в дальнейшем при классификации нелинейных явлений в распределенных системах.

Авторы выражают благодарность Кащенко Илье за использование полученных им научных результатов, а также Толбей Анне и Трубниковой Наталии за большую помощь при подготовке книги к публикации.

---