URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Корпусов М.О. Функции Грина и потенциалы в пространствах Гёльдера: Курс лекций Обложка Корпусов М.О. Функции Грина и потенциалы в пространствах Гёльдера: Курс лекций
Id: 310548
699 р.

Функции Грина и потенциалы в пространствах Гёльдера:
Курс лекций

URSS. 2024. 256 с. ISBN 978-5-9710-9968-0.
Белая офсетная бумага

Аннотация

В книге излагаются алгоритмы построения функций Грина первых краевых задач для операторов Лапласа и теплопроводности, а также свойства объемных и поверхностных потенциалов в пространствах Гёльдера.

Данный курс частично читается на специальных курсах «Эллиптические уравнения» и «Параболические уравнения» кафедры математики физического факультета МГУ и представляет значительный интерес для широкого круга студентов, аспирантов и научных работников,... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие5
Лекция 1. Определение функции Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа6
§ 1. Пространства непрерывных и дифференцируемых функций6
§ 2. Пространства Гёльдера12
§ 3. Интерполяционные неравенства для пространств Гёльдера15
§ 4. Пространство Гёльдера Ck+α(Γ)22
§ 5. Фундаментальное решение оператора Лапласа22
§ 6. Теорема Остроградского–Гаусса–Грина24
§ 7. Сферическая система координат в RN28
§ 8. Третья формула Грина30
§ 9. Функция Грина задачи Дирихле и ее свойства32
§ 10. Литературные указания36
Лекция 2. Определение функции Грина первой краевой задачи для оператора теплопроводности37
§ 1. Пространства непрерывных и дифференцируемых функций37
§ 2. Параболические пространства Гёльдера38
§ 3. Эквивалентные полунормы45
§ 4. Теорема Остроградского–Гаусса–Грина50
§ 5. Вторая формула Грина54
§ 6. Третья формула Грина56
§ 7. Функция Грина первой смешанной задачи59
§ 8. Литературные указания62
Лекция 3. Вспомогательные неравенства и интегралы63
§ 1. Оценки фундаментальных решений63
§ 2. Две основные оценки в эллиптическом случае65
§ 3. Две основные оценки в параболическом случае75
§ 4. Оценка интеграла Гаусса79
§ 5. Тонкий интеграл82
§ 6. Оценки М. Д. Эйдуса вспомогательных интегралов87
§ 7. Литературные указания100
Лекция 4. Функции Грина первых краевых задач101
§ 1. Построение функции Грина первой краевой задачи для оператора теплопроводности101
§ 2. Функция Грина первой краевой задачи для оператора Лапласа110
§ 3. Сходимость одной последовательности115
§ 4. Оценки производных: эллиптический случай119
§ 5. Оценки производных: параболический случай123
§ 6. Литературные указания125
Лекция 5. Объемные и поверхностные потенциалы оператора Лапласа126
§ 1. Объемный потенциал с ядром типа функции Грина126
§ 2. Вспомогательный объемный потенциал по ограниченной области с ядром от разности аргументов131
§ 3. Объемный потенциал по ограниченной области: основные оценки138
§ 4. Оператор Лапласа от объемного потенциала147
§ 5. Поверхностные потенциалы152
§ 6. Литературные указания158
Лекция 6. Тепловые потенциалы159
§ 1. Формулы для вычисления старших производных159
§ 2. Гельдеровость объемного потенциала169
§ 3. Пространство Гёльдера Hl/2,l (DT)175
§ 4. Объемный потенциал в RN × (−∞, T )178
§ 5. Оценки объемного потенциала в пространствах Hl/2,l (DT)185
§ 6. Поверхностный потенциал по нижней крышке196
§ 7. Тепловые потенциалы с ядрами Пуассона202
§ 8. Оценки теплового потенциала с ядром Пуассона207
§ 9. Поверхностные потенциалы в пространствах Гёльдера225
§ 10. Литературные указания239
Список литературы240

Предисловие
top
Для физика–теоретика функция Грина настолько же важное понятие, что и процедура квантования. Без использования функций Грина не происходит практически ни одно вычисление в квантовой теории поля. Функции Грина посвящены многочисленные научные и учебные работы. В этой связи отметим учебные пособия [1], [12]. В настоящем учебнике мы показываем как строятся функции Грина первых краевых задач для операторов Лапласа и оператора теплопроводности в случае x ∈ RN при N > 3. С этой целью в первых двух лекциях мы вводим необходимые функциональные пространства и даем определения этих функций Грина. Затем в третьей лекции мы рассматриваем важные сами по себе и для наших целей оценки интегралов со слабыми особенностями. Наконец, в четвертой лекции мы подробно проводим построения функций Грина. На этом с функцией Грина мы заканчиваем наши рассмотрения. После чего приступаем к важному вопросу о свойствах потенциалов со слабыми особенностями в пространствах Гёльдера. К сожалению, данный вопрос не широко и слабо рассмотрен в доступной форме в учебной литературе. В этой связи мы отметим классические работы [9] и [10]. Однако, в связи с ограниченным объемом большинство важных выкладок в этих книгах даются в форме доступной только для специалистов в области дифференциальных уравнений в частных производных. Для студентов, аспирантов, а также начинающих специалистов все это не доступно. Более того, важные результаты можно найти только в научных публикациях и тоже не в самой доступной форме. Поэтому мы в двух заключительных лекциях рассмотрели в более или менее подробной форме изложения свойства объемных и поверхностных потенциалов оператора Лапласа и оператора теплопроводности в различных пространствах Гёльдера. Книга является непосредственным продолжением цикла учебников [3]–[5].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фонда (проект РНФ N 23-11-00056), а также при поддержке программы стратегического академического лидерства РУДН. Автор книги является ведущим научным сотрудником Математического Института имени С. М. Никольского Российского Университета Дружбы Народов (117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6), а также профессором кафедры математики Физического Факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова, дом 1, строение 2, Физический Факультет).


Об авторе
top
photoКорпусов Максим Олегович
Доктор физико-математических наук. В 1995 г. окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1998 г. — аспирантуру по кафедре математики; защитил кандидатскую диссертацию на тему «Динамические потенциалы и их приложения к двумерному уравнению внутренних волн». В 2005 г. защитил докторскую диссертацию «Метод энергетических оценок и их приложения к нелинейным уравнениям псевдопараболического типа». Является известным специалистом по теории нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.