URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Евграфов М.А. Аналитические функции Обложка Евграфов М.А. Аналитические функции
Id: 309821
999 р.

Аналитические функции Изд. 5, стереотип.

URSS. 2024. 448 с. ISBN 978-5-9710-9980-2.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Настоящая книга своим содержанием и методическим подходом сильно отличается от других учебников по теории аналитических функций, хотя со времени ее первого издания их появилось много. Строгая теория многозначных аналитических функций, излагаемая на основе аналитического продолжения, помещена, в отличие от большинства других учебников, значительно ближе к началу книги. Это позволяет выработать у учащихся правильную и четкую точку зрения на... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие к третьему изданию5
Из предисловия к первому изданию5
Глава I. ВВЕДЕНИЕ7
§ 1. Комплексные числа7
§ 2. Множества, функции и кривые12
§ 3. Пределы и ряды18
§ 4. Непрерывные функции22
§ 5. Криволинейные интегралы25
§ 6. Интегралы, зависящие от параметра32
§ 7. Гомотопность кривых в областях на сфере36
§ 8. Топологические пространства41
Глава II. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА48
§ 1. Дифференцируемые и голоморфные функции48
§ 2. Теорема Коши52
§ 3. Интегральная формула Коши61
§ 4. Критерии голоморфности67
§ 5. Теорема единственности73
§ 6. Поведение основных элементарных функций79
Глава III. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ83
§ 1. Понятие аналитической функции83
§ 2. Основные элементарные многозначные функции93
§ 3. Ветви аналитической функции102
§ 4. Исследование характера многозначности106
§ 5. Римановы поверхности116
Глава IV. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ127
§ 1. Понятие особой точки127
§ 2. Стирание особенностей137
§ 3. Изолированные особые точки141
§ 4. Вычеты и ряд Лорана147
§ 5. Разложение мероморфной функции в ряд простейших дробей154
§ 6. Принцип аргумента и теорема Руше158
§ 7. Обратная функция162
§ 8. Неявные функции169
Глава V. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ174
§ 1. Общие сведения об отображениях174
§ 2. Дробно-линейные отображения180
§ 3. Конформные отображения элементарными функциями186
§ 4. Принцип симметрии Римана — Шварца192
§ 5. Интеграл Кристоффеля — Шварца198
§ 6. Оценки конформного отображения вблизи границы205
Глава VI. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ215
§ 1. Несобственные контурные интегралы215
§ 2. Аналитическое продолжение контурных интегралов221
§ 3. Вычисление определенных интегралов227
§ 4. Асимптотические формулы для интегралов234
§ 5. Суммирование рядов241
§ 6. Основные формулы, относящиеся к гамма-функции Эйлера248
Глава VII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА254
§ 1. Формула обращения преобразования Лапласа254
§ 2. Теорема о свертке и: другие формулы264
§ 3. Примеры применения метода270
§ 4. Обобщенное преобразование Лапласа277
§ 5. Использование аналитического продолжения283
§ 6. Преобразование Меллина289
Глава VIII. ГАРМОНИЧЕСКИЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ294
§ 1. Основные свойства гармонических функций294
§ 2. Субгармонические функции300
§ 3. Задача Дирихле и интеграл Пуассона310
§ 4. Гармоническая мера317
§ 5. Теоремы единственности для ограниченных функций327
§ 6. Теоремы Фрагмена — Липделефа333
Глава IX. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ341
§ 1. Существование конформного отображения341
§ 2. Соответствие границ при конформном отображении350
§ 3.Группа автоморфизмов конформного отображения357
§ 4. Задача Дирихле и отображение на канонические области369
§ 5. Отображение плоскости с выколотыми точками377
§ 6. Автоморфные и эллиптические функции384
Глава X. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ393
§ 1. Принцип гиперболической метрики393
§ 2. Принцип симметризации401
§ 3. Оценки однолистных в среднем функций405
§ 4. Принцип длины и площади414
§ 5. Распределение значений целых и мероморфных функций420
§ 6. Теорема Неванлинны о дефектах429
Список литературы441
Алфавитный указатель443

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
top

Первое издание этой книги вышло в свет в 1965 году, второе — в 1968 году, и оба издания быстро разошлись. Поскольку тираж был совсем не малым, книга еще имеется в библиотеках, однако новое поколение математиков уже давно лишено возможности купить ее. По своему содержанию эта книга сильно отличается от других учебников по теории аналитических функций, хотя за истекшее время появилось немало новых учебников. Мне трудно судить, хороша ли эта книга, но она, по-видимому, нашла своего читателя (возможно, и не того, для которого я ее писал).

За четверть века, прошедшие с того времени, когда я начал писать эту книгу, мои взгляды на то, кого, чему и как надо учить в теории аналитических функций, сильно изменились. Однако написанная книга существует в том виде, в котором она есть, и притом вполне успешно (в Чехословакии ее перевели в 1981 году, наверное, из-за невозможности достать ее на русском или английском языке). Поэтому я не стал вносить в третье издание сколько-нибудь серьезных изменений, а ограничился лишь исправлением замеченных неточностей и улучшениями отдельных доказательств.

М. А. Евграфов


ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
top

Предлагаемый учебник рассчитан на студентов и других читателей, владеющих основами математического анализа в объеме первых двух курсов университета.

Порядок изложения материала в настоящем учебнике существенно отличается от других учебников по теории аналитических функций. Речь идет о месте строгой теории многозначных аналитических функций, излагаемой на основе аналитического продолжения. Во всех принятых учебниках эта теория излагается лишь в самом конце, а в предлагаемой книге она помещена значительно ближе к началу (глава III). Для такого расположения материала имеются достаточные основания. Во-первых, с точки зрения логики изложения аналитическое продолжение играет в теории аналитических функций не меньшую роль, чем теория пределов в анализе. Во-вторых, это очень выгодно с чисто практической точки зрения, так как раннее использование аналитического про-должения позволяет сэкономить много места и времени в дальнейшем. Обычные возражения против такого расположения основаны на мнении о трудности этих вопросов для понимания. Однако их трудность сильно преувеличена. Кроме того, при введении элементарных многозначных функций те же трудности все равно приходится преодолевать, причем более искусственным (а потому и менее понятным) способом. Во всяком случае опыт чтения лекций по теории аналитических функций в Московском физико-техническом институте убедил меня в том, что две-три трудные (по вполне доступные) лекции вполне оправдываются лучшим пониманием всего дальнейшего материала. Значительно легче проходили и упражнения, так как вопрос о выделении регулярной ветви переставал быть трудоемким и малопонятным.

Немалое значение имеет и то, что у учащихся с самого начала вырабатывается правильная и четкая точка зрения на изучаемый предмет.

При написании книги я стремился к возможно большей независимости отдельных глав, чтобы на основе книги можно было строить много различных по содержанию курсов. Объем материала, изложенного в учебнике, значительно превышает содержание обычно читаемых курсов ТФКП. Стоит подчеркнуть, что все главы написаны на уровне, вполне доступном для студентов III курса. Отмечу имеющиеся связи между главами. К главе I следует обращаться только за справками. Главы II—IV совершенно необходимы для всего дальнейшего. Главы VI и VII совершенно не связаны с главами V и VIII — X. Глава VIII существенно опирается на главу V, а сама служит основой для глав IX и X. Главы IX и X довольно слабо связаны между собой.


Об авторе
top
photoЕвграфов Марат Андреевич
Доктор физико-математических наук (1955), профессор (1971). Автор ряда интересных результатов в области теории функций комплексного переменного и в смежных областях; его учебники и задачники стали классическими, не раз переиздавались в нашей стране и за рубежом. Учился на механико-математическом факультете МГУ (1941–1946), там же окончил аспирантуру под руководством А. О. Гельфонда и защитил кандидатскую диссертацию (1949). После защиты некоторое время работал в отделе И. А. Кибеля в Центральном институте прогнозов, потом преподавал в МФТИ, где получил звание доцента (1954), а с 1956 г. работал в Отделении прикладной математики при Математическом институте им. В. А. Стеклова, преобразованном впоследствии в Институт прикладной математики (ИПМ), сейчас носящий имя М. В. Келдыша. М. А. Евграфов считал М. В. Келдыша своим вторым учителем после А. О. Гельфонда и с особой благодарностью вспоминал, что Мстислав Всеволодович всегда поощрял свободу научных интересов и научной мысли. Много лет М. А. Евграфов проработал в отделе академика И. М. Гельфанда. После смерти М. В. Келдыша атмосфера в ИПМ постепенно менялась, и последние три года перед уходом на пенсию М. А. Евграфов проработал в Институте океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР, в теоретическом отделе, которым руководил Г. И. Баренблатт.