Радкевич Е.В., Палин В.В. Материалы СЕМИНАРОВ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ:
Более 200 ЗАДАЧ С ПОДРОБНЫМИ РЕШЕНИЯМИ

---

Предисловие				9
Часть I (первый семестр)				10
Глава 1. Характеристики и классические решения гиперболических задач				10
1.1. Семинар 1: постановки, корректность				10
1.1.1. Простейшие модели, приводящие к уравнениям в частных производных				10
1.1.1.1. Уравнение Хопфа				10
1.1.1.2. Уравнение струны				11
1.1.1.3. Уравнения теплопроводности и Лапласа				12
1.1.2. Основные постановки линейных задач				14
1.1.3. Коротковолновые асимптотические решения. Корректность				16
1.1.4. Домашнее задание				18
1.2. Семинар 2: характеристики, общее решение				19
1.2.1. Характеристики для линейных УрЧП				19
1.2.1.1. Уравнения первого порядка				19
1.2.1.2. Уравнения второго порядка				21
1.2.2. Общее решение линейного гиперболического УрЧП второго порядка				23
1.2.2.1. Случай отсутствия младших членов				23
1.2.2.2. Замена неизвестной функции				24
1.2.3. Домашнее задание				25
1.3. Семинар 3: четырехточечное соотношение				26
1.3.1. Влияние характеристик на классическое решение				26
1.3.2. Четырехточечное соотношение и следствия из него				29
1.3.3. Формула Д’Аламбера				32
1.3.4. Домашнее задание				33
1.4. Семинар 4: смешанная задача для уравнения струны				34
1.4.1. Смешанная задача: постановка, классическое решение, гладкость начальных данных				34
1.4.2. Условия согласования (краевое условие Дирихле)				35
1.4.3. Метод падающей и отраженной волн				38
1.4.4. Домашнее задание				42
1.5. Семинар 5: следствия из теоремы единственности. Принцип Дюамеля				43
1.5.1. Следствия из теоремы единственности				43
1.5.2. Начальные данные специального вида				45
1.5.2.1. Использование линейности				45
1.5.2.2. Конечномерные инвариантные подпространства оператора Лапласа				48
1.5.2.3. Уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу				49
1.5.3. Принцип Дюамеля				51
1.5.4. Домашнее задание				53
1.6. Семинар 6: замена, распространение волн				53
1.6.1. Задачи на замену неизвестной функции				53
1.6.2. Волновые фронты и принцип Гюйгенса				56
1.6.3. Асимптотика решений задачи Коши с финитными начальными данными (n = 2)				59
1.6.4. Домашнее задание				61
1.7. Демонстрационный вариант контрольной работы 1				62
Глава 2. Эллиптика и параболика				63
2.1. Семинар 7: функция Грина и формула Пуассона				63
2.1.1. Формула Пуассона для шара в случае n = 2				63
2.1.1.1. Функция Грина краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа, n = 2				63
2.1.1.2. Формула Пуассона для шара				65
2.1.2. Задачи об оценивании решений				68
2.1.3. Домашнее задание				70
2.2. Семинар 8: разные задачи об уравнениях Лапласа и Пуассона				70
2.2.1. Следствия из теоремы о среднем				70
2.2.2. Разные задачи об уравнениях Лапласа и Пуассона				72
2.2.3. Общий вид гармоническойфункции в кольце на плоскости				73
2.2.4. Домашнее задание				77
2.3. Семинар 9: задача Коши для параболического уравнения				77
2.3.1. Метод конечномерных инвариантных подпространств оператора Лапласа				78
2.3.2. Мультипликативное свойство уравнения теплопроводности				80
2.3.3. Интеграл с квадратичной фазой				81
2.3.4. Метод интегрирующего множителя				82
2.3.5. Домашнее задание				83
2.4. Семинар 10: разные свойства решений уравнения теплопроводности				84
2.4.1. Волновые фронты				84
2.4.2. Принцип Дюамеля				84
2.4.3. Теоремы о стабилизации для уравнения теплопроводности				86
2.4.4. Параболическая теорема о среднем				89
2.4.5. Преобразование Флорина—Хопфа—Коула				91
2.4.6. Домашнее задание				93
2.5. Демонстрационный вариант контрольной работы 2				93
Глава 3. Обобщенные функции				94
3.1. Семинар 11: сходимость основных и обобщенных функций				94
3.1.1. Сходимости в D( R ) и D'( R )				94
3.1.1.1. Сходимость в D( R )				94
3.1.1.2. Напоминания и обозначения				95
3.1.1.3. Слабая сходимость в D'( R )				96
3.1.2. Регуляризация				99
3.1.3. Домашнее задание				101
3.2. Семинар 12: линейные уравнения в D'( R )				102
3.2.1. Линейные алгебраические уравнения в D'( R )				102
3.2.2. Линейные ОДУ в D'(R)				105
3.2.2.1. Линейные однородные ОДУ первого порядка				105
3.2.3. Домашнее задание				109
3.3. Семинар 13: фундаментальное решение и функция Грина для ОДУ				110
3.3.1. Фундаментальное решение				110
3.3.1.1. ОДУ первого порядка с постоянными коэффициентами				110
3.3.1.2. Метод интегрирующего множителя				111
3.3.1.3. Метод вспомогательной задачи Коши				112
3.3.1.4. Метод ограничения на подмножества				113
3.3.2. Функция Грина краевой задачи для ОДУ				115
3.3.2.1. Пример				116
3.3.2.2. Некоторые свойства функции Грина				116
3.3.2.3. Нормальная разрешимость краевых задач				118
3.3.3. ОДУ с постоянными коэффициентами в D'( R )				119
3.3.4. Пространства E( R ) и E'( R )				122
3.3.5. Домашнее задание				124
3.4. Демонстрационный вариант контрольной работы 3				125
Глава 4. Решения задач				126
4.1. Разбор домашнего задания 1 (п. 1.1.4)				126
4.2. Разбор домашнего задания 2 (п. 1.2.3)				128
4.3. Разбор домашнего задания 3 (п. 1.3.4)				133
4.4. Разбор домашнего задания 4 (п. 1.4.4)				137
4.5. Разбор домашнего задания 5 (п. 1.5.4)				141
4.6. Разбор домашнего задания 6 (п. 1.6.4)				146
4.7. Разбор демонстрационного варианта контрольной работы 1				149
4.8. Разбор домашнего задания 7 (п. 2.1.3)				156
4.9. Разбор домашнего задания 8 (п. 2.2.4)				158
4.10. Разбор домашнего задания 9 (п. 2.3.5)				160
4.11. Разбор домашнего задания 10 (п. 2.4.6)				162
4.12. Разбор демонстрационного варианта контрольной работы 2				165
4.13. Разбор домашнего задания 11 (п. 3.1.3)				168
4.14. Разбор домашнего задания 12 (п. 3.2.3)				170
4.15. Разбор домашнего задания 13 (п. 3.3.5)				171
4.16. Разбор демонстрационного варианта контрольной работы 3				177
Часть II (второй семестр)				181
Глава 5. Вводный семинар				181
5.1. Семинар 1: задача Коши для параболических уравнений				181
5.1.1. Метод интегрирующего множителя				181
5.1.2. Общий метод конечномерных инвариантных подпространств				184
5.1.3. Домашнее задание				186
Глава 6. Метод Фурье				187
6.1. Семинар 2: Общая схема метода. Задача Штурма—Лиувилля				187
6.1.1. Постановки. Общая схема метода				187
6.1.2. Задача Штурма—Лиувилля				189
6.1.3. Домашнее задание				193
6.2. Семинар 3: Смешанная задача для эволюционных уравнений				194
6.2.1. Смешанная задача для уравнения теплопроводности				194
6.2.2. Смешанная задача для волнового уравнения				196
6.2.3. Домашнее задание				200
6.3. Семинар 4: класс решений, получаемых методом Фурье				201
6.3.1. В каком смысле понимается слабое решение?				201
6.3.2. Соболевские пространства на отрезке				204
6.3.3. Семейство отображений St начальных данных и его свойства				205
6.3.4. Семейство отображений St как непрерывная коммутативная группа				208
6.3.5. Домашнее задание				211
6.4. Семинар 5: Заключительные замечания				212
6.4.1. О вторых производных слабого решения				212
6.4.2. Замечание о неоднородных задачах				214
6.4.3. Неоднородные краевые условия				215
6.4.4. Задача об управлении температурой				216
6.4.5. Домашнее задание				219
Глава 7. Элементы функционального анализа				220
7.1. Семинар 6: Пространства H1(Ω)				220
7.1.1. Домашнее задание				226
7.2. Семинар 7: задача о неплотности C∞ (Cl(Ω)) в не-звездной области				226
7.2.1. Домашнее задание				231
7.3. Семинар 8: разностные отношения и их свойства				231
7.3.1. Разностные отношения				231
7.3.2. Гладкость обобщенного решения краевой задачи Дирихле (начало)				233
7.4. Семинар 9: вопросы, связанные с краевой задачей Дирихле				235
7.4.1. Гладкость обобщенного решения краевой задачи Дирихле				235
7.4.2. Неравенство Фридрихса				239
7.4.3. Спектр «хорошего» оператора в гильбертовом пространстве				240
7.4.4. Домашнее задание				241
Глава 8. Простейшая задача теории усреднения				243
8.1. Семинар 10: постановка вопросов, двухмасштабные разложения				243
8.1.1. Постановка вопросов				243
8.1.2. Двухмасштабные разложения				244
8.1.3. Домашнее задание				249
8.2. Семинар 11: сходимость решений допредельной задачи				249
8.2.1. Домашнее задание				257
Глава 9. Задача Коши для скалярного закона сохранения				259
9.1. Семинар 12: Задача Римана				259
9.1.1. Задача Коши для скалярного закона сохранения				259
9.1.2. Задача Римана для выпуклойфункции потока				260
9.1.3. Домашнее задание				265
9.2. Семинар 13: Интерференция волн				265
9.2.1. Взаимодействие фронта с волной разрежения				265
9.2.2. Взаимодействие фронтов ударных волн				269
9.2.3. Прием параллельных прямых				272
9.2.4. Домашнее задание				276
9.3. Семинар 14: Задача Римана для невыпуклой функции потока				277
9.3.1. Метод выпуклых оболочек				277
9.3.2. Геометрическое решение задачи Римана				281
9.3.3. Использование условия Введенской—Олейник				284
Глава 10. Решения задач				288
10.1. Разбор домашнего задания 1 (п. 5.1.3)				288
10.2. Разбор домашнего задания 2 (п. 6.1.3)				292
10.3. Разбор домашнего задания 3 (п. 6.2.3)				295
10.4. Разбор домашнего задания 4 (п. 6.3.5)				297
10.5. Разбор домашнего задания 5 (п. 6.4.5)				301
10.6. Разбор домашнего задания 6 (п. 7.1.1)				302
10.7. Разбор домашнего задания 7 (п. 7.2.1)				303
10.8. Разбор домашнего задания 8 (п. 7.4.4)				305
10.9. Разбор домашнего задания 9 (п. 8.1.3)				306
10.10. Разбор домашнего задания 10 (п. 8.2.1)				307
10.11. Разбор домашнего задания 11 (п. 9.1.3)				310
10.12. Разбор домашнего задания 12 (п. 9.2.4)				311
Литература				316
Учебники				316
Задачники				316
Разные книги и статьи				317
Электронные ресурсы				317

---

Материал настоящей книги опирается на курс лекций «Уравнения математической физики», читавшийся авторами на экспериментальном потоке механико-математического факультета МГУ (поток ФМиМФ) в 2021/2022 и 2022/2023 учебных годах. При этом данная книга существенно дополняет и развивает указанный курс. Книгу можно использовать как самостоятельное учебное пособие, поскольку она содержит материалы семинаров, и темы, обычно излагаемые в лекционных курсах, здесь присутствуют скорее фоном, а не составляют основное содержание.

Материал книги разбит на две части, соответствующие первому и второму семестрам. Последняя глава каждой части содержит решения всех задач домашних заданий и демонстрационных контрольных работ, сформулированных в предыдущих главах этой части. Первая часть в основном следует традиционному курсу уравнений математической физики. Она посвящена вопросам, связанным с проведением вычислений или использованием известных из лекционного курса методов для решения несложных качественных задач. Исключениями являются пункты о четырехточечном соотношении, преобразовании Флорина—Хопфа—Коула, пространствах функций E( R ) и E'( R ). Материалы второго семестра, за исключением вводного семинара и первых двух семинаров по методу Фурье, относятся к гораздо более современным разделам математической физики. Из этого следуют два факта: вопервых, некоторые из семинаров второго семестра (семинар 7, семинар 8 и первая половина семинара 9, семинары 10 и 11) по сути посвящены изучению одной крупной научной задачи, которая разбита на много маленьких частей. Во-вторых, во втором семестре не предполагается контрольных работ. При необходимости провести контрольную во втором семестре можно составить ее из задач вводного семинара плюс одной или двух задач на применение метода Фурье.

Книга рассчитана на студентов вузов — математиков, физиков и инженеров с повышенной математической подготовкой.

Авторы благодарны студентам экспериментального потока 2021/2022 и 2022/2023 годов, активно участвовавшим в работе на лекциях и семинарских занятиях. Это позволило создать данный курс и верифицировать его. Отдельно хочется поблагодарить Викторию Ионову за помощь в вычитке конспектов, из которых был составлен этот курс.

---