Оглавление | 3
|
Введение | 7
|
Принятые обозначения | 8
|
Глава 1. Теория делимости в кольце всех целых чисел | 10
|
1. Кольцо ℤ всех целых чисел | 10
|
2. Отношение делимости в ℤ и его простейшие свойства | 12
|
3. Теорема о делении с остатком | 14
|
4. Наибольший общий делитель (НОД) | 16
|
5. Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух целых чисел | 18
|
6. Линейное представление НОД | 20
|
7. Взаимно простые числа | 21
|
8. Наименьшее общее кратное (НОК) | 24
|
9. Нахождение НОК для ???? целых чисел | 26
|
10. Простые числа и их свойства | 27
|
10.1. Простые числа | 28
|
10.2. Бесконечность множества простых чисел | 29
|
10.3. Критерий простого числа | 30
|
10.4. Решето Эратосфена | 31
|
10.5. Асимптотический закон распределения простых чисел | 32
|
10.6. Неравенство П. Л. Чебышева | 33
|
11. Основная теорема арифметики | 34
|
12. Числовые функции | 36
|
12.1. Числовые функции | 37
|
12.2. Мультипликативные числовые функции | 38
|
12.3. Целая часть действительного числа | 42
|
13. Систематические числа | 44
|
13.1. Непозиционные системы счисления | 44
|
13.2. Позиционные системы счисления | 45
|
13.3. Систематические числа | 46
|
13.4. Операции над числами в g-ичной системе счисления | 50
|
13.5. Перевод записи чисел из одной системы счисления в другую | 51
|
14. Конечные цепные дроби | 53
|
14.1. Конечные цепные дроби | 53
|
14.2. Подходящие дроби | 58
|
14.3. Свойства подходящих дробей | 59
|
Глава 2. Теория сравнений и ее приложения | 65
|
15. Отношение сравнимости в кольце ℤ | 65
|
15.1. Сравнения целых чисел по модулю | 65
|
15.2. Свойства сравнений, не зависящие от модуля | 66
|
15.3. Свойства сравнений, зависящие от модуля | 68
|
16. Классы вычетов | 70
|
16.1. Классы вычетов | 70
|
16.2. Полная система вычетов (ПСВ) и ее свойства | 72
|
16.3. Приведенная система вычетов (ПрСВ) и ее свойства | 73
|
16.4. Кольцо классов вычетов | 74
|
16.5. Обратимые элементы кольца ℤm | 77
|
17. Функция Эйлера | 80
|
17.1. Мультипликативность функции Эйлера | 80
|
17.2. Вычисление функции Эйлера | 81
|
17.3. Теорема Гаусса | 82
|
17.4. Теоремы Эйлера и Ферма | 84
|
18. Сравнения с одним неизвестным | 85
|
18.1. Сравнения с одним неизвестным | 86
|
18.2. Преобразования, приводящие сравнение с одним неизвестным к равносильному | 88
|
18.3. Сравнения первой степени с одним неизвестным | 89
|
18.4. Методы решения сравнений первой степени с одним неизвестным | 91
|
18.5. Диофантовы (неопределенные) уравнения первой степени с двумя неизвестными | 93
|
19. Системы сравнений первой степени с одним неизвестным | 98
|
20. Первообразные корни | 102
|
20.1. Порядок класса вычетов (числа) взаимно простого с модулем | 103
|
20.2. Первообразные корни по простому нечетному модулю | 105
|
20.3. Критерий первообразного корня по простому нечетному модулю | 108
|
20.4. Существованиепервообразных корней по простому четному модулю и некоторым другим модулям | 109
|
21. Индексы | 110
|
21.1. Индексы по простому модулю | 110
|
21.2. Свойства индексов | 110
|
21.3. Приложение индексов | 114
|
22. Сравнения второй степени. Символ Лежандра | 117
|
22.1. Простейшие двучленные сравнения | 117
|
22.2. Квадратичные вычеты | 118
|
22.3. Символ Лежандра и его приложения | 120
|
22.4. Свойства символа Лежандра | 122
|
23. Арифметические приложения сравнений | 127
|
23.1. Конечные систематические дроби | 127
|
23.2. Бесконечные систематические дроби | 130
|
23.3. Периодические систематические дроби | 135
|
23.4. Признаки делимости | 139
|
24. Бесконечные цепные дроби | 143
|
24.1. Бесконечная цепная дробь | 143
|
24.2. Разложение действительного числа в цепную дробь | 146
|
24.3. Существование разложения действительного числа в цепную дробь | 148
|
24.4. Единственность разложения действительного числа в цепную дробь | 150
|
Примерный перечень вопросов к зачету и экзамену по учебной дисциплине «Теория чисел» | 151
|
Задачи и упражнения для самостоятельного решения | 153
|
1. Теория делимости в кольце всех целых чисел | 153
|
2. Теория сравнений и ее приложения | 169
|
Приложение 1. Таблица простых чисел, меньших 1000 | 190
|
Приложение 2. Таблицы индексов и антииндексов по простым модулям, меньшим 100 | 191
|
Список литературы | 200
|
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов физико-математического факультета дневной (4 года обучения) и заочной (5 лет обучения) форм обучения направления подготовки бакалавров 44.03.01 «Педагогическое образование», направленность (профиль) подготовки «Математика», а также для студентов дневной (5 лет обучения) формы обучения направления подготовки бакалавров 44.03.05 «Педагогическое образование», направленность (профили) «Информатика» и «Иностранный язык (английский)», которые в соответствии с рабочими учебными планами изучают учебную дисциплину «Теория чисел». В первой главе «Теория делимости в кольце всех целых чисел» и второй главе «Теория сравнений и ее приложения» изложение материала следует содержанию. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами с решениями. Кроме того, по каждой теме предлагается достаточное количество задач для самостоятельного решения.
Каждая тема начинается со словаря — списка понятий и основных утверждений, которые необходимо знать обучающемуся для успешного овладения изложенным материалом. Сформулированы вопросы для самопроверки.
Теоретический материал по главам 1–2 с рассматриваемыми примерами подготовлен кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры алгебры и геометрии С. В. Путиловым; подбор задач и вопросов для самоконтроля, а также подобных задач с решениями к темам этих глав выполнен кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры алгебры и геометрии М. А. Корпачевой.