URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Путилов С.В., Корпачева М.А. Теория чисел Обложка Путилов С.В., Корпачева М.А. Теория чисел
Id: 309341
549 р.

Теория чисел Изд. 2, испр.

2024. 208 с.
Типографская бумага
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ВСЕХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ: Отношение делимости и его простейшие свойства · Теорема о делении с остатком · Наибольший общий делитель · Взаимно простые числа · Наименьшее общее кратное · Простые числа и их свойства · Основная теорема арифметики · Числовые функции · Систематические числа · Конечные цепные дроби
ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ: Отношение сравнимости в кольце всех целых чисел · Классы вычетов · Функция Эйлера · Сравнения с одним неизвестным · Системы сравнений первой степени с одним неизвестным · Первообразные корни · Индексы · Сравнения второй степени. Символ Лежандра · Арифметические приложения сравнений · Бесконечные цепные дроби

Аннотация

Учебное пособие содержит теоретический материал и практические задания по традиционным для высших учебных заведений разделам теории чисел. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами с решениями. Кроме того, по каждой теме предлагается достаточное количество задач для самостоятельного решения.

Пособие предназначено для студентов всех направлений подготовки бакалавров и специалистов, в учебных планах которых имеется дисциплина... (Подробнее)


Оглавление
top
Оглавление3
Введение7
Принятые обозначения8
Глава 1. Теория делимости в кольце всех целых чисел10
1. Кольцо ℤ всех целых чисел10
2. Отношение делимости в ℤ и его простейшие свойства12
3. Теорема о делении с остатком14
4. Наибольший общий делитель (НОД)16
5. Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух целых чисел18
6. Линейное представление НОД20
7. Взаимно простые числа21
8. Наименьшее общее кратное (НОК)24
9. Нахождение НОК для ???? целых чисел26
10. Простые числа и их свойства27
10.1. Простые числа28
10.2. Бесконечность множества простых чисел29
10.3. Критерий простого числа30
10.4. Решето Эратосфена31
10.5. Асимптотический закон распределения простых чисел32
10.6. Неравенство П. Л. Чебышева33
11. Основная теорема арифметики34
12. Числовые функции36
12.1. Числовые функции37
12.2. Мультипликативные числовые функции38
12.3. Целая часть действительного числа42
13. Систематические числа44
13.1. Непозиционные системы счисления44
13.2. Позиционные системы счисления45
13.3. Систематические числа46
13.4. Операции над числами в g-ичной системе счисления50
13.5. Перевод записи чисел из одной системы счисления в другую51
14. Конечные цепные дроби53
14.1. Конечные цепные дроби53
14.2. Подходящие дроби58
14.3. Свойства подходящих дробей59
Глава 2. Теория сравнений и ее приложения65
15. Отношение сравнимости в кольце ℤ 65
15.1. Сравнения целых чисел по модулю65
15.2. Свойства сравнений, не зависящие от модуля66
15.3. Свойства сравнений, зависящие от модуля68
16. Классы вычетов70
16.1. Классы вычетов70
16.2. Полная система вычетов (ПСВ) и ее свойства72
16.3. Приведенная система вычетов (ПрСВ) и ее свойства73
16.4. Кольцо классов вычетов74
16.5. Обратимые элементы кольца ℤm77
17. Функция Эйлера80
17.1. Мультипликативность функции Эйлера80
17.2. Вычисление функции Эйлера81
17.3. Теорема Гаусса82
17.4. Теоремы Эйлера и Ферма84
18. Сравнения с одним неизвестным85
18.1. Сравнения с одним неизвестным86
18.2. Преобразования, приводящие сравнение с одним неизвестным к равносильному88
18.3. Сравнения первой степени с одним неизвестным89
18.4. Методы решения сравнений первой степени с одним неизвестным91
18.5. Диофантовы (неопределенные) уравнения первой степени с двумя неизвестными93
19. Системы сравнений первой степени с одним неизвестным98
20. Первообразные корни102
20.1. Порядок класса вычетов (числа) взаимно простого с модулем103
20.2. Первообразные корни по простому нечетному модулю105
20.3. Критерий первообразного корня по простому нечетному модулю108
20.4. Существованиепервообразных корней по простому четному модулю и некоторым другим модулям109
21. Индексы110
21.1. Индексы по простому модулю110
21.2. Свойства индексов110
21.3. Приложение индексов114
22. Сравнения второй степени. Символ Лежандра117
22.1. Простейшие двучленные сравнения117
22.2. Квадратичные вычеты118
22.3. Символ Лежандра и его приложения120
22.4. Свойства символа Лежандра122
23. Арифметические приложения сравнений127
23.1. Конечные систематические дроби127
23.2. Бесконечные систематические дроби130
23.3. Периодические систематические дроби135
23.4. Признаки делимости139
24. Бесконечные цепные дроби143
24.1. Бесконечная цепная дробь143
24.2. Разложение действительного числа в цепную дробь146
24.3. Существование разложения действительного числа в цепную дробь148
24.4. Единственность разложения действительного числа в цепную дробь150
Примерный перечень вопросов к зачету и экзамену по учебной дисциплине «Теория чисел»151
Задачи и упражнения для самостоятельного решения153
1. Теория делимости в кольце всех целых чисел153
2. Теория сравнений и ее приложения169
Приложение 1. Таблица простых чисел, меньших 1000190
Приложение 2. Таблицы индексов и антииндексов по простым модулям, меньшим 100191
Список литературы200

Введение
top
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов физико-математического факультета дневной (4 года обучения) и заочной (5 лет обучения) форм обучения направления подготовки бакалавров 44.03.01 «Педагогическое образование», направленность (профиль) подготовки «Математика», а также для студентов дневной (5 лет обучения) формы обучения направления подготовки бакалавров 44.03.05 «Педагогическое образование», направленность (профили) «Информатика» и «Иностранный язык (английский)», которые в соответствии с рабочими учебными планами изучают учебную дисциплину «Теория чисел». В первой главе «Теория делимости в кольце всех целых чисел» и второй главе «Теория сравнений и ее приложения» изложение материала следует содержанию. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами с решениями. Кроме того, по каждой теме предлагается достаточное количество задач для самостоятельного решения.

Каждая тема начинается со словаря — списка понятий и основных утверждений, которые необходимо знать обучающемуся для успешного овладения изложенным материалом. Сформулированы вопросы для самопроверки.

Теоретический материал по главам 1–2 с рассматриваемыми примерами подготовлен кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры алгебры и геометрии С. В. Путиловым; подбор задач и вопросов для самоконтроля, а также подобных задач с решениями к темам этих глав выполнен кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры алгебры и геометрии М. А. Корпачевой.


Об авторах
top
photoПутилов Сергей Васильевич
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ «Брянский государственный университет имени академика И. Г. Петровского». Заведующий кафедрой алгебры (1999–2013), кафедрой алгебры и геометрии (2013–2017), кафедрой математического анализа, алгебры и геометрии (2017–2023) БГУ имени академика И. Г. Петровского. Лауреат премии академика И. Г. Петровского (1985). Почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации (2009).
photoКорпачева Марина Александровна
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии ФГБОУ «Брянский государственный университет имени академика И. Г. Петровского» до 1 сентября 2021 года. В настоящее время учитель математики в МБОУ «Брянский городской лицей № 2 имени М. В. Ломоносова».