Тихонов Н.А., Токмачев М.Г., Галанин М.П. Математические модели и методы их исследования

2024. 500 с.

Серия: Классический учебник МГУ

Белая офсетная бумага

Аннотация

В книге приведены методы построения (конструирования) моделей и постановки соответствующих математических задач для исследования разнообразных объектов и явлений, как природных, так и технических. Описаны виды математических моделей, формы их представления и предъявляемые к ним требования. Представлены математические модели систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. Среди последних — модели распространения тепла, диффузии,... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				13
Введение				15
Часть 1. Построение математических моделей. Постановки математических задач				18
Глава 1. Виды математических моделей, формы их представления и предъявляемые к ним требования				18
§ 1. Виды математических моделей				18
§ 2. Прямые и обратные задачи. Корректность постановок прямых задач				21
1. Прямые и обратные задачи				21
2. Корректность постановок прямых задач				22
§ 3. Универсальность моделей. Иерархия моделей. Выбор модели в многофакторных задачах				24
1. Универсальность моделей				24
2. Иерархия моделей				25
§ 4. Классификация уравнений в частных производных второго порядка				26
1. Классификация линейных относительно старших производных уравнений с двумя независимыми переменными				26
2. Классификация уравнений с несколькими независимыми переменными				28
Глава 2. Математические модели для систем с сосредоточенными параметрами				30
§ 1. Модели процессов, базирующиеся на использовании законов изменения энергии, импульса, количества вещества или заряда				30
1. Сверление отверстия лазерным лучом				30
2. Модель движения ракеты				31
3. Задача о радиоактивном распаде				32
4. Задачи химической кинетики				33
§ 2. Задачи колебаний точечного тела				36
1. Задача о малых колебаниях тела под действием внешней силы				36
2. Задача о связанных осцилляторах				38
3. Модель колебания точечного тела вблизи колец Сатурна				41
§ 3. Задачи динамики изменения заряда на сосредоточенных элементах электрических схем				41
§ 4. Математические модели демографических и социологических процессов				45
1. Простейшая демографическая модель				45
2. Примеры демографической модели с нелинейным законом рождаемости				46
3. Взаимодействие двух биологических популяций типа «хищник — жертва»				47
4. Модель двух конкурирующих видов				50
5. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости				53
6. Модель Гудвина взаимовлияния уровня занятости и ставки заработной платы				54
§ 5. Вариационные принципы и математические модели				56
Глава 3. Математические модели распространения тепла в среде и модели диффузии вещества				59
§ 1. Модели распространения тепла в среде				59
1. Уравнение теплопроводности				59
2. Задача теплопроводности при наличии фазового перехода				63
§ 2. Модель диффузии вещества				66
Глава 4. Математические модели колебаний в среде				69
§ 1. Модель колебаний в ограниченной области				69
1. Модель малых продольных колебаний стержня				69
2. Задание граничных условий				72
3. Модель колебаний в ограниченной многомерной области				73
§ 2. Задачи колебаний в бесконечной области				74
1. Задача колебаний на бесконечной прямой				74
2. Задача колебаний на полубесконечной прямой				76
3. Задача колебаний в неограниченной трехмерной области				78
§ 3. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса)				80
§ 4. Общая задача Коши для гиперболического уравнения				84
1. Постановка и решение задачи				84
2. Функция Римана				87
§ 5. Задача Коши для уравнения колебаний с постоянными коэффициентами				88
1. Задача на бесконечной прямой				88
§ 6. Задача для уравнения колебаний в случае разрывных коэффициентов				92
Глава 5. Математические модели установившихся процессов				96
§ 1. Стационарные процессы				96
1. Стационарное распределение тепла				96
2. Задача электростатики				96
3. Постановки задач в неограниченной области				97
§ 2. Задачи с уравнением Гельмгольца в ограниченной области				98
1. Уравнение Гельмгольца с отрицательным коэффициентом				98
2. Уравнение Гельмгольца с положительным коэффициентом				99
§ 3. Задачи в неограниченной области. Условия на бесконечности				100
1. Условия излучения Зоммерфельда				101
2. Задачи дифракции				103
3. Принцип предельного поглощения				105
4. Принцип предельной амплитуды				105
Глава 6. Математические модели электромагнитных явлений				107
§ 1. Система уравнений Максвелла				107
1. Уравнения для электромагнитных волн				109
2. Уравнения плоских монохроматических электромагнитных волн в проводящей среде				111
3. Установившиеся колебания				113
4. Стационарные поля				116
§ 2. Потенциалы электромагнитного поля				117
1. Векторный и скалярный потенциалы				117
2. Вектор Герца				119
§ 3. Задачи электромагнитной дифракции				120
1. Условия на границах раздела сред				121
2. Условия на бесконечности				122
3. Парциальные условия излучения				123
§ 4. Математические модели некоторых электромагнитных явлений				126
1. Телеграфные уравнения				126
2. Модель распространения токов Фуко в металле				129
3. Задача о распространении луча в нелинейной оптике. Параболическое приближение				130
Глава 7. Математические модели переноса вещества				133
§ 1. Линейные модели				133
1. Модель потока невзаимодействующих переносимых частиц в трубе				133
2. Решение задачи переноса вещества, описываемое линейным уравнением первого порядка в частных производных				136
§ 2. Квазилинейное уравнение переноса. Метод характеристик				138
1. Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в частных производных				138
2. Метод характеристик				141
§ 3. Градиентная катастрофа. Законы сохранения				142
1. Простейший случай				142
2. Разрывные решения				145
3. Обобщенное решение. Условие на разрыве				149
4. Примеры решения задач				153
§ 4. Уравнение Бюргерса и его решение				159
Глава 8. Математические модели гидродинамики и газовой динамики				165
§ 1. Математические модели				168
1. Математические модели жидких вязких сред				168
§ 2. Течение жидкости				172
1. Течение идеальной баротропной жидкости				172
2. Примеры решения задач				175
§ 3. Вихревое течение жидкости				181
§ 4. Применение методов теории функции комплексной переменной в гидродинамике				184
1. Плоское установившееся движение жидкости				184
2. Примеры определения характеристик течения по заданному потенциалу				186
3. Пример нахождения потенциала по характеристикам течения				188
§ 5. Математические модели газовой динамики				191
1. Уравнения газовой динамики				191
2. Разрывные решения				194
§ 6. Электромагнитные процессы в медленно движущейся среде и модели магнитной гидродинамики				197
1. Стационарное течение вязкой электропроводной жидкости между двумя бесконечными параллельными плоскостями				200
2. Магнитогидродинамические течения идеально проводящей жидкости				202
Глава 9. Перенос вещества в двухфазной среде. Динамика сорбции и ионного обмена				208
§ 1. Перенос вещества в двухфазной среде				208
1. Перенос вещества				208
2. Виды сорбции				209
3. Хроматография				209
§ 2. Молекулярная сорбция				211
1. Модель процесса				211
2. Линейный случай. Изотерма Генри				215
3. Нелинейный случай. Изотерма Ленгмюра				216
§ 3. Ионообменная сорбция				219
1. Модель процесса				219
2. Связь закона действующих масс с изотермой Ленгмюра				221
3. Эффекты поочередного выхода компонентов при регенерации и их разделение				222
§ 4. Электрокинетические явления				223
Глава 10. Математические модели для описания динамики большого числа частиц				227
§ 1. Математические модели на основе кинетического уравнения Больцмана				227
1. Описание совокупности частиц с помощью функции распределения				227
2. Уравнение Больцмана для функции распределения				228
3. Интеграл столкновений в форме Больцмана				230
§ 2. Распределение Максвелла и H-теорема				230
§ 3. Уравнения для моментов функции распределения				234
§ 4. Математическая модель переноса излучения				236
Глава 11. Некорректно поставленные задачи				240
§ 1. Задачи обработки данных				240
1. Задача обработки данных гравиразведки при поиске полезных ископаемых				240
2. Задача восстановления размытых изображений				241
§ 2. Некорректные задачи				242
§ 3. Построение приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Метод регуляризации				246
1. Некорректность интегрального уравнения Фредгольма первого рода				246
2. Сглаживающий функционал				247
3. Алгоритм построения приближенного решения				248
4. Примеры, демонстрирующие результат использования рассмотренного метода				250
Глава 12. Исследование нелинейных уравнений диффузии и теплопроводности				252
§ 1. Некоторые свойства уравнения теплопроводности				252
§ 2. Квазилинейное уравнение теплопроводности. Уравнение Буссинеска и нелинейная модель горения				255
1. Гравитационный режим течения грунтовых вод				255
2. Задача о наводнении				258
3. Нелинейная модель горения				260
§ 3. Модели «большого взрыва»				265
1. Модель с квадратичным коэффициентом теплопроводности				265
2. Модель с коэффициентом теплопроводности степенного вида				267
§ 4. Режимы распространения тепла в нелинейных средах				270
Глава 13. Некоторые нелинейные уравнения волновых процессов				275
§ 1. Уравнение Кортевега — де Фриза				275
§ 2. Метод обратной задачи теории рассеяния. Солитоны				281
1. Схема метода обратной задачи теории рассеяния				281
2. Схема метода решения уравнения КдФ				283
3. Пример солитонного решения				284
§ 3. Некоторые другие нелинейные уравнения волновых процессов				286
1. Некоторые обобщения уравнения Кортевега — де Фриза				287
2. Кубическое уравнение Шредингера				287
Глава 14. Некоторые новые объекты и методы математического моделирования				290
§ 1. Вейвлет-анализ				290
§ 2. Фракталы				296
1. Множество Кантора				296
2. Функция Вейерштрасса				296
3. Кривая Коха				297
4. Прокладка (салфетка) Серпинского				297
§ 3. Детерминированный хаос				299
§ 4. Синергетика				303
1. Исследование коллективных явлений в нелинейных сплошных средах				304
2. Изучение законов распределения в сложных системах				306
3. Исследования сетевых систем				308
Часть 2. Методы решения задач				312
Глава 15. Метод Фурье (метод разделения переменных) решения начально-краевых задач				312
§ 1. Задачи колебаний и теплопроводности при однородных граничных условиях первого рода				312
§ 2. Задачи колебаний и теплопроводности при однородных граничных условиях второго или третьего рода				323
§ 3. Задачи колебаний и теплопроводности при неоднородных граничных условиях				326
1. Замена переменных				326
2. Метод Гринберга				327
3. Принцип Дюамеля				331
§ 4. Задачи с уравнением эллиптического типа				336
1. Случай однородных граничных условий				336
2. Случай неоднородных граничных условий				338
Глава 16. Метод функции точечного источника				342
§ 1. Алгоритм решения задач с помощью функции точечного источника				342
§ 2. Функции точечного источника для задач теплопроводности				345
1. Задача теплопроводности на бесконечной прямой				345
2. Задача теплопроводности на полубесконечной прямой при граничных условиях первого рода				347
3. Задача теплопроводности на полубесконечной прямой при граничных условиях второго рода				348
4. Задача теплопроводности в неограниченном трехмерном пространстве				349
5. Задача теплопроводности в ограниченной области				349
§ 3. Функции точечного импульса для задач колебаний				350
1. Задача колебаний в ограниченной области				350
2. Задача колебаний на неограниченной прямой				352
§ 4. Задачи с уравнениями Лапласа и Пуассона				354
1. Задача с граничным условием первого рода				355
2. Задача с граничным условием второго рода				356
3. Задача в двумерном случае				358
4. Задача в неограниченной области				358
Глава 17. Применение теории функции комплексного переменного				364
§ 1. Применение конформного преобразования				364
1. Применение конформного преобразования области, в которой ставится задача Дирихле, в область, более удобную для решения				365
2. Применение конформного преобразования области, позволяющего получить решение задачи в форме формулы среднего значения гармонической функции				367
§ 2. Применение методов теории функции комплексной переменной в электростатике. Плоское электростатическое поле				372
Глава 18. Методы интегральных преобразований				375
§ 1. Интегральные преобразования Фурье и Лапласа				375
1. Преобразование Фурье				376
2. Преобразование Лапласа				377
§ 2. Применение интегральных преобразований в задачах колебаний и теплопроводности				377
1. Колебания в электрической цепи				377
2. Поперечные колебания струны				379
3. Применение интегральных преобразований в задачах теплопроводности				381
4. Другие интегральные преобразования				382
§ 3. Применение интегральных преобразований в задачах гидродинамики				383
1. Двумерный безвихревой поток идеальной жидкости				383
2. Двумерный безвихревой поток идеальной жидкости в области с источниками (стоками)				385
Глава 19. Методы теории потенциала				388
§ 1. Потенциалы в задачах с уравнениями Лапласа и Пуассона. Их свойства				388
1. Определение потенциалов				388
2. Свойства потенциалов				390
§ 2. Использование потенциалов для решения краевых задач				394
1. Внешняя задача Неймана				395
2. Внутренняя задача Дирихле				396
3. Внешняя задача Дирихле				397
4. Внутренняя задача Неймана				398
5. Исследование интегральных уравнений для внешней и внутренней задач				398
§ 3. Применение потенциалов для решения задач с уравнением Гельмгольца				400
1. Уравнение Δu + k²u = 0				400
2. Уравнение Δu – λ²u = 0				402
§ 4. Решение задач для уравнения теплопроводности с применением тепловых потенциалов				403
Глава 20. Введение в теорию размерностей				407
§ 1. Размерности параметров моделей. π-теорема				407
§ 2. Анализ размерности данных при исследовании моделей. Автомодельность				409
1. Применение π-теоремы для анализа экспериментальных данных и построения феноменологических моделей				409
2. Анализ размерности для поиска автомодельных решений				411
§ 3. Представление математической модели в безразмерной форме и метод подобия				416
Глава 21. Асимптотические методы				419
§ 1. Метод малого параметра. Регулярный и сингулярный случаи				419
1. Регулярный случай				420
2. Случай сингулярного возмущения				421
3. Построение равномерной асимптотики решения сингулярно-возмущенной задачи				423
§ 2. Метод осреднения (метод медленно меняющихся амплитуд)				427
1. Постановка задачи колебаний в генераторе Ван-дер-Поля				427
2. Попытка решения задачи методом малого параметра для регулярного случая				427
3. Формализм метода осреднения				428
§ 3. Исследование решения уравнения для колебаний в нелинейном генераторе				432
Глава 22. Разностные методы решения задач математического моделирования				436
§ 1. Постановка задачи и основные понятия				436
1. Постановка задачи				436
2. Сетка и сеточные функции				437
3. Понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости				438
§ 2. Разностные задачи для уравнения теплопроводности				442
§ 3. Расчет численного решения задач теплопроводности				446
1. Метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений				447
2. Итерационные методы решения нелинейных уравнений				449
§ 4. Методы и приемы конструирования разностных схем				451
1. Метод разностной аппроксимации				451
2. Интегро-интерполяционный метод				452
3. О других способах получения алгебраических уравнений				456
4. Аппроксимации в нерегулярных точках				457
§ 5. Основные качественные характеристики разностных схем и их виды				458
1. Консервативные схемы				458
2. Однородные схемы				463
3. Монотонные схемы				463
4. Экономичные разностные схемы				464
§ 6. Признаки устойчивости разностных схем				468
1. Применение принципа максимума к исследованию устойчивости по граничным условиям первого рода и начальным данным				468
2. Признаки равномерной устойчивости				469
3. Необходимый спектральный признак устойчивости схемы по начальным данным				471
§ 7. Разностные схемы для решения уравнения переноса				472
1. Схемы бегущего счета				472
2. Геометрический критерий устойчивости схемы бегущего счета				476
§ 8. Разностные схемы для решения волнового уравнения				478
§ 9. Разностные схемы для решения задач с уравнением Лапласа				481
Глава 23. Вариационные и проекционные методы решения краевых задач				483
§ 1. Сведение дифференциальной задачи к вариационной				483
§ 2. Проекционные методы				484
1. Метод Ритца				484
2. Метод Галеркина				486
3. Метод наименьших квадратов				486
§ 3. Разностные схемы для уравнений с разрывными коэффициентами, основанные на вариационных принципах. Метод конечных элементов				487
Предметный указатель				491
Список литературы				496

Предисловие

Математическое моделирование является одним из основных методов научного познания окружающего мира. Исследование природных и технических систем, а также социальных явлений, в XXI веке уже невозможно представить без применения математических моделей.

В данной книге моделирование рассматривается применительно к задачам прикладной математики. Книга в основном посвящена изложению методов построения математических моделей, постановок соответствующих математических задач, а также методам решения и исследования этих задач.

Основная целевая аудитория данной книги — студенты старших курсов физико-математических и инженерно-математических специальностей университетов. Авторы надеются, что текст будет полезен и специалистам в качестве справочного материала, а также, возможно, и информации о неких относительно новых элементах математического моделирования. Третья целевая категория — новички математического моделирования. Авторы надеются, что содержание и стремление к простоте изложения материала позволят использовать книгу исследователям, работающим в естественнонаучных направлениях и желающих самостоятельно приступить к моделированию в своих задачах.

Авторы исходят из того, что читатель знаком с общематематическими дисциплинами. А именно, с курсами математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного. Предполагается также знание общей физики.

С методической точки зрения материал подобран так, чтобы читатель мог освоить содержание без обращения к каким-то иным учебникам и пособиям.

Материал книги разбит на две части, содержащих двадцать три главы. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие одинарную нумерацию, которая начинается с первого номера в каждой главе. Внутри параграфов могут быть пункты, которые нумеруются самостоятельно внутри каждого параграфа. Аналогичным образом нумеруются теоремы, леммы, замечания, следствия, определения и примеры. Нумерация формул и рисунков начинается с единицы в каждом параграфе. При ссылке на формулу данного параграфа указывается ее номер (l). Если ссылка идет на формулу другого параграфа (m) данной главы, то указывается номер (ml), в случае отсылки к формуле другой главы (n) номер (nml). В квадратные скобки заключены номера источников из помещенного в конце книги списка литературы.

В конце книги дан предметный указатель, в котором представлены термины с указанием раздела, в котором он определен или описан.

Материал книги основан на курсах лекций по «Основам математического моделирования», читаемого авторами на старших курсах физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова и факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н. Э. Баумана студентам-физикам и инженерам-мате¬ма¬тикам соответственно.

Данная книга представляет собой значительно переработанный вариант книги авторов «Математическое моделирование: Теория и применение». Отличия состоят в уменьшении объема материала, исключении излишне сложных составляющих и добавлении нового материала, соответствующего направленности данной книги.

Книга была бы невозможна без разнообразной помощи и сотрудничества авторов со своими коллегами по физическому факультету МГУ имени М. В. Ломоносова, ИПМ им. М. В. Келдыша РАН и МГТУ им. Н. Э. Баумана. Особую благодарность выражаем А. Н. Боголюбову, Г. Г. Малинецкому, Г. Н. Медведеву и Д. Д. Соколову за ценные советы, использованные нами при написании данной книги.

Авторы

Введение

Одним из важных понятий, которое появилось в ходе эволюции научного познания и сейчас активно используется, является понятие модели. Если к изучению явления привлекаются математические методы, то говорят о математической модели.

Моделью в широком смысле является некий материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объект-оригинал в процессе изучения, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Другими словами, модель — это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых интересующих исследователя свойств оригинала. Процесс построения, изучения и использования модели называется моделированием.

Круг вопросов, которые могут быть затронуты при обсуждении математического моделирования, в общем случае чрезвычайно широк. Но авторы в настоящей книге ставят перед собой более скромную задачу. А именно, цель книги — помочь тем, кто хочет начать использовать математическое моделирование в качестве инструмента при исследовании своих научных задач, а также — студентам различных специальностей. Этой задаче подчинен стиль написания книги и отбор материала. Имея в виду поставленную цель, авторы рассматривают вопросы математического моделирования в более узком виде — в части формулировки моделей, рассмотрения методов решения и исследования возникающих при этом математических задач.

Математическое моделирование как специфический способ исследования реальности состоит в том, что законы, в соответствии с которыми происходит изучаемый процесс, записываются с помощью некоторых математических уравнений. Далее необходимо их решить и исследовать полученные решения теоретически, изучая таким образом рассматриваемое явление. Такой подход не нов и используется еще со времен Ньютона, когда физика перестала быть частью философии и встала на твердую математическую основу. Как известно, аналитически решаются в основном лишь линейные уравнения. Поэтому ранее имелась возможность исследовать только простейшие процессы или выполнять простейшие оценочные приближенные расчеты. Ситуация изменилась с появлением компьютерной техники в XX веке. В результате быстрого развития вычислительной математики и технологии вычислительного эксперимента появилась возможность численно решать нелинейные уравнения и системы уравнений большой сложности. Сейчас математическое моделирование представляет собой широко используемый метод исследования во всех областях науки.

Компьютерный эксперимент обладает рядом преимуществ. Во-пер¬вых, он относительно дешев; во-вторых, позволяет рассматривать изучаемый процесс в подробностях и в различных режимах его проведения, что важно в многовариантном случае; в-третьих, он дает возможность оценить эффект, вносимый различными факторами в общий результат. Наконец, часто возникает ситуация, когда реальный эксперимент вообще невыполним и моделирование является единственным способом изучения процесса. Например, это исследование параметров черных дыр во Вселенной, оценка гипотетических результатов современной войны или изучение процессов в глубинах Земли. В то же время вычислительный эксперимент, служащий некоторой заменой натурного, не подменяет, а дополняет возможное опытное изучение последнего.

Процесс моделирования можно разделить на этапы.

1. Формулирование законов и дополнительных условий, определяющих изучаемый процесс, в математических терминах, т. е. составление математической модели.

Судя по имеющемуся опыту, во многих естественнонаучных, социологических, экологических и других задачах процедура построения математической модели, т. е. «постановка задачи», является самой сложной. При этом необходимо использовать знания из смежных наук, представители которых часто используют свой особый язык.

2. Исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Определение алгоритма решения задачи. Получение выходных данных.

Современная наука и техника имеют дело с объектами столь сложными, что обычно соответствующие математические модели не могут быть исследованы только аналитическими способами без привлечения численных методов.

3. Выяснение того, согласуются ли результаты наблюдений и моделирования в пределах точности наблюдений. Если все параметры модели уже заданы (модель вполне определена), то определение отклонений дает оценку модели. Если отклонения выходят за пределы точности, то модель не может быть принята. Часто некоторые характеристики модели остаются неопределенными. Задачи определения этих характеристик (как параметрических, так и функциональных), так чтобы выходная информация была сопоставима с результатами наблюдений, являются обратными задачами. Если модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям удовлетворить нельзя, то модель следует заменить. Критерий практики является основой для вывода о правильности модели.

4. Последующий анализ модели в связи с накоплением данных о явлениях и модернизация модели. В т. ч. и принятие решения о необходимости построения более совершенной математической модели. Результатом этапа может являться возвращение в начало цикла.

Основное внимание в настоящей книге обращено на изучение методов построения (формулировки) моделей, изучение алгоритмов решения соответствующих математических задач, исследование и применение математических моделей для изучения разнообразных объектов и явлений, как природных, так и технических.

Целью книги является изложение конструктивных методов моделирования. Поэтому многие вопросы для простоты восприятия изложены без доказательств.

Об авторах

Тихонов Николай Андреевич

Доктор физико-математических наук (1986), профессор (1992). Профессор кафедры математики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (с 1991 г.). Заслуженный профессор Московского университета (2014). Научные интересы: математическое моделирование в задачах физической химии, математическая физика. Автор около 180 печатных работ, учебника «Интегральные уравнения» (соавт., 2004) и двух учебных пособий: «Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах» (соавт., 2005) и «Основы математического моделирования. Курс лекций. В 2-х частях» (соавт., 2013). Имеет патенты и авторские свидетельства. Подготовил 6 кандидатов наук.

Токмачев Михаил Геннадьевич

Кандидат физико-математических наук (2008), доцент. Научные интересы связаны с задачами математического моделирования процессов физической химии. Несколько раз получал награды за результаты, способствующие развитию МГУ имени М. В. Ломоносова, становился лауреатом конкурса фонда «Базис» на лучшего преподавателя физического факультета Московского университета. Автор около 50 научных статей, 1 монографии, 3 учебных пособий, имеет два патента.

Галанин Михаил Павлович

Доктор физико-математических наук (1996), профессор (2005). Главный научный сотрудник, исполняющий обязанности заведующего отделом «Вычислительные методы и математическое моделирование» ИПМ имени М. В. Келдыша РАН. Профессор кафедры прикладной математики МГТУ имени Н. Э. Баумана. Научные интересы: математическое моделирование, численные методы, методы конечных разностей и конечных элементов, комплексы программ, многомерные нестационарные задачи электродинамики, упругости, тепло- и массопереноса в сплошных средах. Автор около 280 печатных работ, 2 монографий. Подготовил 10 кандидатов наук.