URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Радкевич Е.В., Палин В.В. Уравнения математической физики Обложка Радкевич Е.В., Палин В.В. Уравнения математической физики
Id: 305499
1004 р.

Уравнения математической физики

2024. 304 с. Cледующее издание 2024г. в твёрдом переплёте — стереотипное.
Белая офсетная бумага
Классическая теория простейших уравнений матфизики • Обобщенные функции • Слабые решения простейших уравнений матфизики • Нестрого гиперболическая по Фридрихсу линейная система • Пространства Соболева • Линейные и нелинейные эллиптические уравнения • Нелинейные уравнения первого порядка • Введение в теорию усреднения.

Аннотация

Книга содержит конспекты всех лекций, проводившихся в 2021/2022 и 2022/2023 учебных годах на экспериментальном потоке механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова (группа 341). С содержательной точки зрения материал, изложенный в книге, относится к двум различным типам. Во-первых, это обязательные темы, включение которых в годовой лекционный курс является общепринятым.... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие8
Обозначения10
Часть I (первый семестр)11
Введение11
1. О задачах, изучаемых в течение первого семестра11
2. Математика как язык и как набор инструментов12
3. Примеры необходимости расширения языка12
3.1. Пример Янга12
3.2. Волна сжатия. Формирование ударной волны14
Глава 1. Классическая теория простейших уравнений матфизики16
1.1. Теория гармонических функций16
1.1.1. Обозначения16
1.1.2. Метод барьера. Принцип максимума16
1.1.3. Теоремы о среднем значении18
1.1.4. Неравенство Харнака без точных констант21
1.2. Принцип максимума для эллиптических уравнений23
1.2.1. Эллиптические УрЧП второго порядка23
1.2.2. Слабый принцип максимума24
1.2.3. Лемма Хопфа—Олейник. Сильный принцип максимума27
1.3. Классические решения волнового уравнения31
1.3.1. Единственность классического решения задачи Коши для волнового уравнения31
1.3.2. Уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу33
1.3.3. Формула Кирхгофа35
1.3.4. Формула Пуассона36
1.3.5. Замечания о формулах для решения задачи Коши38
1.3.6. Принцип Дюамеля39
1.3.7. Волновые фронты40
Глава 2. Обобщенные функции43
2.1. Пробные функции43
2.1.1. Пространство функций C0 (Rn)43
2.1.2. Стандартное усредняющее ядро44
2.2. Пространства D'(Rn) и D'(Ω)48
2.2.1. Два эквивалентных определения обобщенных функций48
2.2.2. Примеры51
2.2.3. Ограничение обобщенной функции на множество54
2.2.4. Слабая сходимость в D'(Ω)57
2.3. Операции над обобщенными функциями59
2.3.1. Общая схема59
2.3.2. Дифференцирование обобщенной функции60
2.3.3. Умножение обобщенной функции на гладкую62
2.3.4. Аффинная замена переменной в обобщенной функции64
2.4. Фундаментальное решение66
2.4.1. Теорема о дифференцировании кусочно-гладкой функции66
2.4.2. Свертка с пробной функцией68
2.4.3. Фундаментальное решение72
Глава 3. Слабые решения простейших уравнений матфизики74
3.1. Слабые гармонические функции74
3.1.1. Фундаментальное решение для оператора Лапласа74
3.1.2. Функция Грина краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона76
3.1.3. Гладкость гармонической функции82
3.1.4. Случай n = 2, применение конформных отображений83
3.1.5. Случай n >= 3, отражения относительно плоскостей85
3.1.6. Случай n >= 3, инверсии относительно сфер86
3.1.7. Формула Пуассона для шара, n >= 387
3.1.8. Неравенство Харнака с точными константами89
3.2. Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности90
3.2.1. Ядро Пуассона90
3.2.2. Принципы максимума93
3.2.3. Свойства решения задачиКоши96
3.2.4. Теоремы о стабилизации98
Глава 4. Нестрого гиперболическая по Фридрихсу линейная система104
4.1. Определения, обозначения и примеры104
4.1.1. Определения и обозначения104
4.1.2. Примеры нестрого гиперболических систем105
4.2. Интеграл энергии. Теорема единственности106
4.2.1. Интеграл энергии. Лемма об интегральном неравенстве106
4.2.2. Априорные оценки для решения (в условной форме)109
4.2.3. Неотрицательная определенность A(t, τ, x, y)114
4.2.4. Область единственности для нестрого гиперболических систем118
4.2.5. Теорема единственности. Конечная скорость распространения возмущений122
4.2.6. Пример: система уравнений акустики124
4.3. Теорема существования126
4.3.1. Постановка задачи и общая схема доказательства126
4.3.2. Компактность семейств функций, удовлетворяющих интегральным неравенствам128
4.3.3. Сеточные функции134
4.3.4. Оценки для интегралов от проинтерполированных функций138
4.3.5. Разностная схема143
4.3.6. Леммы о сравнении норм144
4.3.7. Априорные оценки для разностных приближений147
4.3.8. Априорные оценки для интерполированных решений154
4.3.9. Предельный переход159
Вопросы и задания165
Часть II (второй семестр)169
Глава 5. Пространства Соболева169
5.1. Преобразование Фурье169
5.1.1. Пространства S(Rn)169
5.1.2. Преобразование Фурье быстро убывающих функций172
5.1.3. Формула обращения преобразования Фурье175
5.1.4. Принцип Дюамеля для уравнения теплопроводности179
5.1.5. Преобразование Фурье в L2(Rn)182
5.2. Пространства Соболева185
5.2.1. Шкала пространств Hs(Rn)185
5.2.2. Пространства Hs(Ω) и Hs0(Ω)188
5.2.3. Свойства функций из H1 (Ω)191
5.2.4. След функции из H1(Ω) на многообразии196
Глава 6. Линейные и нелинейные эллиптические уравнения201
6.1. Обобщенная постановка краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона201
6.1.1. Определение обобщенного решения. Разрешимость задачи201
6.1.2. Вариационная постановка краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона203
6.1.3. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа с условиями Дирихле205
6.1.4. Метод Ритца208
6.2. Метод монотонности211
6.2.1. Уравнения Эйлера—Лагранжа211
6.2.2. Нуль-лагранжианы214
6.2.3. Теорема Брауэра и лемма о нулях векторного поля218
6.2.4. Метод монотонности: пример220
6.2.5. Единственность225
6.2.6. Метод монотонности: абстрактная форма226
Глава 7. Нелинейные УрЧП первого порядка229
7.1. Классические решения обобщенной задачи Коши для нелинейного УрЧП первого порядка229
7.1.1. Обобщенная задача Коши. Распрямление границы229
7.1.2. Система характеристических ОДУ231
7.1.3. Допустимые и нехарактеристические начальные данные233
7.1.4. Основная теорема о локальном существовании решения237
7.1.5. Примеры241
7.2. Обобщенные решения скалярного закона сохранения242
7.2.1. Обобщенное решение243
7.2.2. Допустимые разрывы. Единственность допустимого решения249
7.2.3. Энтропийные решения256
7.2.4. Метод исчезающей вязкости262
7.2.5. Геометрические интерпретации условия Введенской—Олейник266
Глава 8. Введение в теорию усреднения270
8.1. Постановка простейшей задачи усреднения270
8.1.1. Неформальное описание простейшей задачи усреднения270
8.1.2. Формальное описание геометрии области271
8.1.3. Обобщенное решение задачи (8.1)273
8.2. Продолжение функций с заданными свойствами274
8.3. Основная теорема об усреднении280
8.3.1. Существование предельной функции и формулировка основной теоремы280
8.3.2. Вспомогательные неравенства282
8.3.3. Лемма о предельном переходе для интегралов по перфорированной части границы286
8.3.4. Доказательство основной теоремы290
Вопросы и задания293
Литература296

Предисловие
top
Современные задачи натурфилософии (физики, химии, биологии...) требуют нового математического языка, задачей которого является закрепление результатов натурного эксперимента, математическое моделирование полученных результатов и возможность их прогнозирования. Широкое проникновение современных математических методов в области натурфилософии потребовало пересмотра традиционного курса лекций по уравнениям математической физики. Эта необходимость, в первую очередь, связана с тем, что уже нельзя ограничиваться рассмотрением только линейной теории, и необходимо рассматривать в учебном курсе также и нелинейные задачи. Кроме того, нельзя ограничиваться рассмотрением лишь моделей, приводящих к одному уравнению в частных производных — необходимо изучение моделей, приводящих к системам уравнений в частных производных.

Настоящая книга «Уравнения математической физики» основана на годовом курсе лекций, прочитанном авторами на экспериментальном потоке (поток ФМиМФ) механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Лекционный курс тесно связан с проводившимся параллельно курсом практических и семинарских занятий. В книге читатель может обнаружить отсылки к результатам, полученным на семинарах; в случае, когда эти результаты являются необходимыми для дальнейшего изложения, они дублируются в тексте книги.

С содержательной точки зрения материал, изложенный в книге, относится к двум различным типам. Во-первых, это обязательные темы, включение которых в годовой лекционный курс является общепринятым. К ним относятся: классическая теория гармонических функций; классическая теория задачи Коши для волнового уравнения; теория обобщенных функций и пространств Соболева; функция Грина и формула Пуассона для уравнения Лапласа; теория задачи Коши для уравнения теплопроводности; обобщенные постановки краевых задач для уравнения Пуассона и вариационные методы для таких задач. Оставшуюся часть материала книги составляют дополнительные темы. В первом семестре к ним относятся: принципы максимума для эллиптических уравнений общего вида; теория существования и единственности классического решения нестрого гиперболической по Фридрихсу системы уравнений в частных производных первого порядка. Во втором семестре дополнительными темами являются метод монотонности (метод Минти и Брауэра); введение в теорию обобщенных решений задачи Коши для скалярного закона сохранения; введение в теорию усреднения. Дополнительные темы были включены в лекционный курс для того, чтобы на содержательных примерах продемонстрировать студентам современные методы уравнений математической физики.

Курс лекций рассчитан на студентов вузов — математиков, физиков и инженеров с повышенной математической подготовкой.

Авторы благодарны студентам экспериментального потока 2021–2022 и 2022–2023 годов, активное участие которых на лекциях и семинарских занятиях позволили создать этот курс и его верифицировать.

Отдельную благодарность хочется высказать Тимуру Гараеву и Виктории Ионовой, которые проделали большой труд по вычитке первого варианта этой книги.


Об авторах
top
photoРадкевич Евгений Владимирович
Доктор физико-математических наук, профессор. В 1965 г. окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ. Область научных интересов: уравнения с частными производными, нелинейные уравнения, краевые задачи со свободной границей, проблемы фазовых переходов, асимптотические методы. Автор более 100 научных работ, в том числе 3 монографий.
photoПалин Владимир Владимирович
Кандидат физико-математических наук. Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 2005 г. Специалист в области дифференциальных уравнений с частными производными. Область научных интересов: уравнения в частных производных первого порядка, гиперболические уравнения и системы, законы сохранения. Штатный сотрудник кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ с 2010 г. Автор около 20 научных статей и 3 учебников.