Радкевич Е.В., Палин В.В. Уравнения математической физики

---

Предисловие				8
Обозначения				10
Часть I (первый семестр)				11
Введение				11
1. О задачах, изучаемых в течение первого семестра				11
2. Математика как язык и как набор инструментов				12
3. Примеры необходимости расширения языка				12
3.1. Пример Янга				12
3.2. Волна сжатия. Формирование ударной волны				14
Глава 1. Классическая теория простейших уравнений матфизики				16
1.1. Теория гармонических функций				16
1.1.1. Обозначения				16
1.1.2. Метод барьера. Принцип максимума				16
1.1.3. Теоремы о среднем значении				18
1.1.4. Неравенство Харнака без точных констант				21
1.2. Принцип максимума для эллиптических уравнений				23
1.2.1. Эллиптические УрЧП второго порядка				23
1.2.2. Слабый принцип максимума				24
1.2.3. Лемма Хопфа—Олейник. Сильный принцип максимума				27
1.3. Классические решения волнового уравнения				31
1.3.1. Единственность классического решения задачи Коши для волнового уравнения				31
1.3.2. Уравнение Эйлера—Пуассона—Дарбу				33
1.3.3. Формула Кирхгофа				35
1.3.4. Формула Пуассона				36
1.3.5. Замечания о формулах для решения задачи Коши				38
1.3.6. Принцип Дюамеля				39
1.3.7. Волновые фронты				40
Глава 2. Обобщенные функции				43
2.1. Пробные функции				43
2.1.1. Пространство функций C∞0 (Rn)				43
2.1.2. Стандартное усредняющее ядро				44
2.2. Пространства D'(Rn) и D'(Ω)				48
2.2.1. Два эквивалентных определения обобщенных функций				48
2.2.2. Примеры				51
2.2.3. Ограничение обобщенной функции на множество				54
2.2.4. Слабая сходимость в D'(Ω)				57
2.3. Операции над обобщенными функциями				59
2.3.1. Общая схема				59
2.3.2. Дифференцирование обобщенной функции				60
2.3.3. Умножение обобщенной функции на гладкую				62
2.3.4. Аффинная замена переменной в обобщенной функции				64
2.4. Фундаментальное решение				66
2.4.1. Теорема о дифференцировании кусочно-гладкой функции				66
2.4.2. Свертка с пробной функцией				68
2.4.3. Фундаментальное решение				72
Глава 3. Слабые решения простейших уравнений матфизики				74
3.1. Слабые гармонические функции				74
3.1.1. Фундаментальное решение для оператора Лапласа				74
3.1.2. Функция Грина краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона				76
3.1.3. Гладкость гармонической функции				82
3.1.4. Случай n = 2, применение конформных отображений				83
3.1.5. Случай n >= 3, отражения относительно плоскостей				85
3.1.6. Случай n >= 3, инверсии относительно сфер				86
3.1.7. Формула Пуассона для шара, n >= 3				87
3.1.8. Неравенство Харнака с точными константами				89
3.2. Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности				90
3.2.1. Ядро Пуассона				90
3.2.2. Принципы максимума				93
3.2.3. Свойства решения задачиКоши				96
3.2.4. Теоремы о стабилизации				98
Глава 4. Нестрого гиперболическая по Фридрихсу линейная система				104
4.1. Определения, обозначения и примеры				104
4.1.1. Определения и обозначения				104
4.1.2. Примеры нестрого гиперболических систем				105
4.2. Интеграл энергии. Теорема единственности				106
4.2.1. Интеграл энергии. Лемма об интегральном неравенстве				106
4.2.2. Априорные оценки для решения (в условной форме)				109
4.2.3. Неотрицательная определенность A(t, τ, x, y)				114
4.2.4. Область единственности для нестрого гиперболических систем				118
4.2.5. Теорема единственности. Конечная скорость распространения возмущений				122
4.2.6. Пример: система уравнений акустики				124
4.3. Теорема существования				126
4.3.1. Постановка задачи и общая схема доказательства				126
4.3.2. Компактность семейств функций, удовлетворяющих интегральным неравенствам				128
4.3.3. Сеточные функции				134
4.3.4. Оценки для интегралов от проинтерполированных функций				138
4.3.5. Разностная схема				143
4.3.6. Леммы о сравнении норм				144
4.3.7. Априорные оценки для разностных приближений				147
4.3.8. Априорные оценки для интерполированных решений				154
4.3.9. Предельный переход				159
Вопросы и задания				165
Часть II (второй семестр)				169
Глава 5. Пространства Соболева				169
5.1. Преобразование Фурье				169
5.1.1. Пространства S(Rn)				169
5.1.2. Преобразование Фурье быстро убывающих функций				172
5.1.3. Формула обращения преобразования Фурье				175
5.1.4. Принцип Дюамеля для уравнения теплопроводности				179
5.1.5. Преобразование Фурье в L2(Rn)				182
5.2. Пространства Соболева				185
5.2.1. Шкала пространств Hs(Rn)				185
5.2.2. Пространства Hs(Ω) и Hs0(Ω)				188
5.2.3. Свойства функций из H1 (Ω)				191
5.2.4. След функции из H1(Ω) на многообразии				196
Глава 6. Линейные и нелинейные эллиптические уравнения				201
6.1. Обобщенная постановка краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона				201
6.1.1. Определение обобщенного решения. Разрешимость задачи				201
6.1.2. Вариационная постановка краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона				203
6.1.3. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа с условиями Дирихле				205
6.1.4. Метод Ритца				208
6.2. Метод монотонности				211
6.2.1. Уравнения Эйлера—Лагранжа				211
6.2.2. Нуль-лагранжианы				214
6.2.3. Теорема Брауэра и лемма о нулях векторного поля				218
6.2.4. Метод монотонности: пример				220
6.2.5. Единственность				225
6.2.6. Метод монотонности: абстрактная форма				226
Глава 7. Нелинейные УрЧП первого порядка				229
7.1. Классические решения обобщенной задачи Коши для нелинейного УрЧП первого порядка				229
7.1.1. Обобщенная задача Коши. Распрямление границы				229
7.1.2. Система характеристических ОДУ				231
7.1.3. Допустимые и нехарактеристические начальные данные				233
7.1.4. Основная теорема о локальном существовании решения				237
7.1.5. Примеры				241
7.2. Обобщенные решения скалярного закона сохранения				242
7.2.1. Обобщенное решение				243
7.2.2. Допустимые разрывы. Единственность допустимого решения				249
7.2.3. Энтропийные решения				256
7.2.4. Метод исчезающей вязкости				262
7.2.5. Геометрические интерпретации условия Введенской—Олейник				266
Глава 8. Введение в теорию усреднения				270
8.1. Постановка простейшей задачи усреднения				270
8.1.1. Неформальное описание простейшей задачи усреднения				270
8.1.2. Формальное описание геометрии области				271
8.1.3. Обобщенное решение задачи (8.1)				273
8.2. Продолжение функций с заданными свойствами				274
8.3. Основная теорема об усреднении				280
8.3.1. Существование предельной функции и формулировка основной теоремы				280
8.3.2. Вспомогательные неравенства				282
8.3.3. Лемма о предельном переходе для интегралов по перфорированной части границы				286
8.3.4. Доказательство основной теоремы				290
Вопросы и задания				293
Литература				296

---

Современные задачи натурфилософии (физики, химии, биологии...) требуют нового математического языка, задачей которого является закрепление результатов натурного эксперимента, математическое моделирование полученных результатов и возможность их прогнозирования. Широкое проникновение современных математических методов в области натурфилософии потребовало пересмотра традиционного курса лекций по уравнениям математической физики. Эта необходимость, в первую очередь, связана с тем, что уже нельзя ограничиваться рассмотрением только линейной теории, и необходимо рассматривать в учебном курсе также и нелинейные задачи. Кроме того, нельзя ограничиваться рассмотрением лишь моделей, приводящих к одному уравнению в частных производных — необходимо изучение моделей, приводящих к системам уравнений в частных производных.

Настоящая книга «Уравнения математической физики» основана на годовом курсе лекций, прочитанном авторами на экспериментальном потоке (поток ФМиМФ) механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Лекционный курс тесно связан с проводившимся параллельно курсом практических и семинарских занятий. В книге читатель может обнаружить отсылки к результатам, полученным на семинарах; в случае, когда эти результаты являются необходимыми для дальнейшего изложения, они дублируются в тексте книги.

С содержательной точки зрения материал, изложенный в книге, относится к двум различным типам. Во-первых, это обязательные темы, включение которых в годовой лекционный курс является общепринятым. К ним относятся: классическая теория гармонических функций; классическая теория задачи Коши для волнового уравнения; теория обобщенных функций и пространств Соболева; функция Грина и формула Пуассона для уравнения Лапласа; теория задачи Коши для уравнения теплопроводности; обобщенные постановки краевых задач для уравнения Пуассона и вариационные методы для таких задач. Оставшуюся часть материала книги составляют дополнительные темы. В первом семестре к ним относятся: принципы максимума для эллиптических уравнений общего вида; теория существования и единственности классического решения нестрого гиперболической по Фридрихсу системы уравнений в частных производных первого порядка. Во втором семестре дополнительными темами являются метод монотонности (метод Минти и Брауэра); введение в теорию обобщенных решений задачи Коши для скалярного закона сохранения; введение в теорию усреднения. Дополнительные темы были включены в лекционный курс для того, чтобы на содержательных примерах продемонстрировать студентам современные методы уравнений математической физики.

Курс лекций рассчитан на студентов вузов — математиков, физиков и инженеров с повышенной математической подготовкой.

Авторы благодарны студентам экспериментального потока 2021–2022 и 2022–2023 годов, активное участие которых на лекциях и семинарских занятиях позволили создать этот курс и его верифицировать.

Отдельную благодарность хочется высказать Тимуру Гараеву и Виктории Ионовой, которые проделали большой труд по вычитке первого варианта этой книги.

---