| Предисловие | 6
|
| Л е к ц и я 1. Модельные нелинейные уравнения | 8
|
| § 1. Уравнения с p–лапласианом | 8
|
| § 2. Уравнение фильтрации в пористой среде | 12
|
| Л е к ц и я 2. Слабая и ∗ -слабая сходимости | 14
|
| § 1. Критерии слабой и ∗-слабой сходимостей | 14
|
| § 2. Равномерная выпуклость банаховых пространств | 19
|
| § 3. Литературные указания | 20
|
| Л е к ц и я 3. Пространства С. Л. Соболева W 1, p (Ω), W1, p 0 (Ω) и W − 1, p ′(Ω) | 21
|
| § 1. Слабая производная | 21
|
| § 2. Пространства H 1 (Ω) и H 1 0 (Ω) | 24
|
| § 3. Оператор Рисса–Фреше для гильбертового пространства H 1 0 (Ω) | 31
|
| § 4. Пространства С. Л. Соболева W 1,p (Ω) и W 1,p 0 (Ω) при p > 2 | 33
|
| § 5. Литературные указания | 38
|
| Л е к ц и я 4. Теоремы о вложениях пространств С. Л. Соболева | 39
|
| § 1. Случай непрерывного вложения при N > p | 39
|
| § 2. Случай непрерывного вложения при N < p | 45
|
| § 3. Случай вполне непрерывного вложения при N > p : теорема Реллиха—Кондрашова | 48
|
| § 4. Случай вполне непрерывного вложения при N < p : неравенство Морри | 53
|
| § 5. Литературные указания | 58
|
| Л е к ц и я 5. Производная Фреше и экстремум функционалов | 59
|
| § 1. Производная Фреше операторов | 59
|
| § 2. Достаточные условия экстремума функционала из C (2) (B; R 1 ) | 61
|
| § 3. Слабо коэрцитивные и слабо полунепрерывные функционалы | 65
|
| § 4. Важные вспомогательные неравенства | 67
|
| § 5. Производные Фреше некоторых функционалов | 69
|
| § 6. Литературные указания | 71
|
| Л е к ц и я 6. Полулинейное эллиптическое уравнение | 72
|
| § 1. Оператор Немыцкого | 72
|
| § 2. Постановка задачи Дирихле для уравнения −Δu + f(x, u) = g(x) | 75
|
| § 3. Метод компактности | 77
|
| § 4. Метод верхних и нижних решений | 82
|
| § 5. Метод слабых верхних и нижних решений | 87
|
| § 6. Метод слабых верхних и нижних решений. Вариационный подход | 94
|
| § 7. Метод Лере–Шаудера. Слабые решения | 98
|
| § 8. Литературные указания | 100
|
| Л е к ц и я 7. Уравнения с оператором p–Лапласиана | 101
|
| § 1. Постановка задачи Дирихле для уравнения с Δ p u(x) | 101
|
| § 2. Вариационный метод | 104
|
| § 3. Слабый принцип максимума для слабых решений задачи Дирихле | 107
|
| § 4. Метод монотонности в сочетании с методом Галеркина | 109
|
| § 5. Метод слабых верхних и нижних решений | 116
|
| § 6. Метод Лере–Шаудера. Слабые решения | 122
|
| § 7. Литературные указания | 124
|
| Л е к ц и я 8. Интеграл Бохнера | 125
|
| § 1. Интеграл Бохнера | 125
|
| § 2. Сильная и слабая измеримость | 126
|
| § 3. Интегрируемость по Бохнеру | 136
|
| § 4. Литературные указания | 141
|
| Л е к ц и я 9. Пространства B–значных функций и распределений | 142
|
| § 1. Пространства L p (0, T ; B) | 142
|
| § 2. Слабая производная и B–значные пространства С. Л. Соболева | 148
|
| § 3. Пространство B–значных распределений D ′ (a, b; B) | 154
|
| § 4. Теорема Лионса–Обэна | 158
|
| § 5. Свойства p–Лапласиана | 165
|
| § 6. Литературные указания | 166
|
| Л е к ц и я 10. Нелинейные параболические уравнения | 167
|
| § 1. Параболическое уравнение с p-лапласианом 1 | 167
|
| § 2. Параболическое уравнение с p-лапласианом 2 | 179
|
| § 3. Метод верхних и нижних решений | 192
|
| § 4. Литературные указания | 199
|
| Л е к ц и я 11. Метод нелинейной емкости С. И. Похожаева | 200
|
| § 1. Что такое критический показатель? | 200
|
| § 2. Обыкновенные дифференциальные неравенства | 202
|
| § 3. Дифференциальное неравенство эллиптического типа | 204
|
| § 4. Дифференциальное неравенство параболического типа | 208
|
| § 5. Литературные указания | 211
|
| Л е к ц и я 12. Модифицированный метод Х. А. Левина | 212
|
| § 1. Задача теории горения | 212
|
| § 2. Дифференциальное неравенство | 218
|
| § 3. Литературные указания | 221
|
| Предметный указатель | 222
|
| Список литературы | 223
|
Корпусов Максим Олегович 
