Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 7
Введение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 8
Г л а в а 1. Волны в жидкостях и в плазме: классические уравнения
высокого порядка. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 10
§ 1. Разрушение решений нелинейных уравнений и систем нелинейных
уравнений теории поверхностных волн . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 10
1. Введение (10). 2. Система уравнений KdV–KdV: задача на
интервале x ∈ (0, L) (11). 3. Система уравнений KdV–KdV: зада-
ча на полупрямой x > 0 (15). 4. Система уравнений KdV–KdV:
задача на прямой x ∈ R1 (18). 5. Система уравнений BBM-KdV–
BBM-KdV: задача на отрезке x ∈ (0, L) (20). 6. Система урав-
нений BBM-KdV–BBM-KdV: задача на полупрямой x > 0 (20).
7. Система уравнений BBM-KdV–BBM-KdV: задача на прямой x ∈
∈ R1 (22). 8. Уравнение В. П. Кузнецова (24).
§ 2. Разрушение решений нелинейных N + 1 − мерных уравнений типа
Кадомцева–Петвиашвили и Захарова–Кузнецова . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 25
1. Введение (25). 2. Разрушение решений уравнений Кадомцева–
Петвиашвили: задача в слое x ∈ (0, L) (26). 3. Разрушение реше-
ний уравнений Кадомцева–Петвиашвили: задача в полупростран-
стве x > 0 (30). 4. Разрушение решений уравнений Кадомцева–
Петвиашвили: задача во всем пространстве R N (34). 5. Раз-
рушение решений уравнений типа KP-BBM: задача в слое x ∈
∈ (0, L) (38). 6. Разрушение решений уравнений типа KP-BBM:
задача в полупространстве x > 0 (42). 7. Разрушение решений
уравнений типа KP-BBM: задача Коши (44). 8. Разрушение реше-
ний уравнения Линя-Рейснера-Цзяня: задачи в слое x ∈ (0, L) и в
полупространстве x > 0 (47). 9. Разрушение решений уравнения
Захарова–Кузнецова: задача в слое x ∈ (0, L) (51). 10. Разруше-
ние решений уравнения Захарова–Кузнецова: задача в полупро-
странстве x ∈ (0, + ∞ ) (53). 11. Разрушение решений уравнения
Захарова–Кузнецова: задача Коши (56).
§ 3. Локальная разрешимость и разрушение решений уравнений
ББМБ, Розенау–Бюргерса и КдВ-ББМ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 59
1. Разрушение решения уравнения ББМБ (59). 2. Разрушение в
уравнении Розенау–Бюргерса (68). 3. Разрушение решения урав-
нения Кортевега де Фриза–Бенджамена–Бона–Махони (72).
§ 4. Разрушение в нелинейной модели проводника с некоэрцитивной
нелинейностью . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 78
1. Вывод уравнения (78). 2. Задачи Неймана и Навье (78).
§ 5. Волновые уравнения типа Хохлова–Заболоцкой . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 81
1. Введение (81). 2. Разрушение слабых решений задач Коши
для уравнений (5.1)–(5.3) (82). 3. Разрушение за конечное время
смешанных краевых задач для уравнений (5.1)–(5.3) (94).
§ 6. Литературные указания. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 98
Г л а в а 2. Тепло–электрические модели: «пробой», локальная и
глобальная во времени корректность . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 99
§ 1. Разрушение решения первой краевой задачи для системы уравне-
ний. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 99
1. Введение (99). 2. Вывод системы уравнений (99). 3. Обозна-
чения и вспомогательные результаты (100). 4. Постановка пер-
вой краевой задачи (102). 5. Существование непродолжаемого во
времени решения интегрального уравнения (104). 6. Существо-
вание классического решения задачи (1.25)–(1.28) (106). 7. Раз-
рушение классического решения первой краевой задачи (1.25)–
(1.28) (108).
§ 2. Глобальная во времени разрешимость первой краевой задачи для
системы уравнений с квадратичной нелинейностью. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 112
1. Введение (112). 2. Вывод системы уравнений (113).
3. Постановка первой краевой задачи (113). 4. Существование
непродолжаемого во времени решения интегрального уравне-
ния (115). 5. Существование классического решения задачи
(2.9)–(2.12) (117). 6. Глобальная во времени разрешимость при
σ = 0 (118).
§ 3. Разрушение решения уравнения типа Гамильтона–Якоби. .. .. .. .. .. . 122
1. Вывод уравнения (122). 2. Задача Дирихле в Ω ⊂ R N при
N > 3 (123).
§ 4. Локальная во времени корректность одной трехмерной тепло–
электрической модели полупроводника в магнитном поле. .. .. .. .. .. . 146
1. Введение (146). 2. Вывод уравнения (147). 3. Обозначе-
ния (148). 4. Мгновенное разрушение слабого решения задачи
Коши (149). 5. Формулы Грина (153). 6. Существование непро-
должаемого решения вспомогательного интегрального уравнения
при q > 3/2 (164). 7. Разрешимость задачи Коши в слабом смысле
(4.17) при q > 3/2 (183).
§ 5. Локальная во времени корректность одной двумерной тепло–
электрической модели полупроводника в магнитном поле. .. .. .. .. .. . 195
1. Вывод уравнения (195). 2. Мгновенное разрушение локального
слабого решения задачи Коши при 1 < q 6 2 (197). 3. Формулы
Грина (200). 4. Задача Коши при q > 2 (209).
§ 6. Литературные указания. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 227
Г л а в а 3. Нелинейные ионно–звуковые и дрейфовые волны в плаз-
ме: «обострение», локальная и глобальная во времени кор-
ректность . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 228
§ 1. Модельные нелинейные уравнения теории ионно–звуковых и дрей-
фовых волн в плазме . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 228
1. Введение (228). 2. Изотропная и однородная плазма (229).
3. Плазма во внешнем электрическом поле (230). 4. Плазма во
внешнем магнитном поле (234). 5. Плазма во внешнем магнитном
поле: слабая диссипация (236). 6. Дрейфовые и ионно–звуковые
волны в плазме (239). 7. Вырожденное уравнение дрейфовых
волн (242).
§ 2. Обострение нелинейных ионно–звуковых и дрейфовых волн в
плазме. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 243
1. Введение (243). 2. Обозначения (244). 3. Фундаментальное
решение (246). 4. Оценки фундаментального решения (250).
5. Вторая формула Грина (251). 6. Третья формула Грина в
ограниченной области (253). 7. Третьи формулы Грина во всем
пространстве (259). 8. О некоторых интегралах (260). 9. Объем-
ный и поверхностный потенциалы в пространствах Гельдера (272).
10. Априорная оценка типа Шаудера (305). 11. Оценки типа Ша-
удера потенциалов с весом (306). 12. Гладкость весового потен-
циала (322). 13. Задача Коши 1 (326). 14. Задача Коши 2 (338).
15. Задача Коши 3 (344).
§ 3. Вырожденное уравнение дрейфовых волн в плазме: «пробой», ло-
кальная корректность . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 352
1. Обозначения (352). 2. Фундаментальное решение и связан-
ные с ним оценки (353). 3. Слабое обобщенное решение задачи
Коши (360). 4. Свойства объемного и поверхностных потенци-
алов (365). 5. Однозначная разрешимость одного интегрально-
го уравнения (373). 6. Разрушение слабых решений задачи Ко-
ши (378). 7. Разрушение сильных решений задачи Коши (391).
8. Приложение 1: некоторые результаты о ∗ –слабых пределах по-
следовательностей обобщенных функций (396). 9. Приложение 2:
о плотном вложении D( −∞ , T )
ds
⊂ C
(2)
0
[0, T ] (402).
§ 4. Литературные указания. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 406
Г л а в а 4. Волны в магнетиках: «обострение», локальная и гло-
бальная во времени корректность . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 407
§ 1. «Обострение» волн в ферритах . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 407
1. Введение (407). 2. Обозначения (407). 3. Фундаментальное
решение (411). 4. Вторая формула Грина (415). 5. Третья фор-
мула Грина в ограниченной области (417). 6. Третья формула
Грина во всем пространстве (425). 7. Слабые решения задач
Коши (428). 8. Свойства объемного и поверхностных потенци-
алов (435). 9. Задача Коши (1.121), (1.122): существование ло-
кальных и отсутствие локальных и глобальных во времени слабых
решений (453). 10. Задача Коши (1.123), (1.124): существование локальных и отсутствие локальных и глобальных во времени
слабых решений (464). 11. Задача Коши (1.125), (1.126): суще-
ствование локальных и отсутствие локальных и глобальных во
времени слабых решений (473).
§ 2. Литературные указания. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 477
Г л а в а 5. Разрушение решения абстрактной задачи Коши для нели-
нейного уравнения с некоэрцитивным источником . .. .. .. .. .. .. . 478
§ 1. Введение. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 478
§ 2. Условия на операторные коэффициенты . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 479
§ 3. Вспомогательные результаты . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 481
§ 4. Решение одного дифференциального неравенства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 485
§ 5. Постановка задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 488
§ 6. Существование непродолжаемого классического решения задачи
Коши (5.1) . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 492
§ 7. Разрушение сильного решения задачи (5.1) при q + 2 > p . .. .. .. .. . 497
§ 8. Глобальная во времени разрешимость задачи Коши (5.1) при q +
+ 2 6 p . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 506
§ 9. Примеры . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 508
§ 10. Литературные указания. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 509
Предметный указатель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 510
Список литературы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 511
В данной книге мы отразили наши достижения за последние 10 лет, полученные вместе с коллегами — профессорами А. Г. Свешниковым, А. Е. Шишковым, доцентами А. А. Паниным и А. В. Овчинниковым, а также с учениками — доцентом Е. В. Юшковым, аспирантом Е. А. Овсянниковым, аспирантом Г. И. Шляпугиным, аспирантом Р. С. Шафиром. Автор искренне признателен всем коллегам за полезное обсуждение содержания и тематики книги. В данной монографии мы продолжаем исследования, начатые в работах [40], [41], [42], [43], [44], [69] и посвященные получению достаточных (близких к необходимым) условий разрушения решений начально-краевых задач для нелинейных уравнений псевдопараболического, псевдогиперболического и гиперболического типов. Прежде всего несколько слов о терминологии. В названии книги мы употребили термин «пробой». Обычно под «пробоем» понимают всем известное явление, когда, например, в результате катастрофических процессов внутри компьютер приходит в негодность. Лично автор несколько раз слышал характерный треск в жестких дисках, после которых диск был безвозвратно испорчен. Однако «пробой» может происходить не только в твердых устройствах, но и в жидких, газообразных, а также в плазме. «Пробой» в плазме может быть вызван некоторыми волновыми процессами и в этом случае говорят об «обострении» волн в плазме. В данной книге мы делаем упор на рассмотрение реальных физических процессов, описываемых разнообразными известными и не очень известными нелинейными уравнениями в частных производных. При этом перед нами стоят несколько задач. Во-первых, мы должны получить достаточные условия возникновения «пробоя». Во-вторых, мы должны доказать, что рассматриваемая модель корректна локально во времени, т.е. решение некоторой начально-краевой задачи существует локально во времени в некотором классе. И здесь мы сталкиваемся с ситуацией, что для некоторых нелинейных задач локальной во времени корректности нет! ... Книга состоит из четырех основных глав, в которых рассмотрены модельные начальные и начально-краевые задачи для нелинейных уравнений в частных производных высокого порядка в том числе так называемого типам С. Л. Соболева. Кроме того, пятая глава посвящена нашему результату о абстрактной задаче Коши для нелинейного уравнения с некоэрцитивным источником. Книга предназначена для студентов, аспирантов и специалистов, специализирующихся по направлению «Дифференциальные уравнения и математическая физика». Для чтения книги требуются базовые знания из теории уравнений в частных производных и теории обобщенных функций в объеме университетского курса. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фонда (проект РНФ N 23-11-00056), а также при поддержке программы стратегического академического лидерства РУДН. Автор книги является ведущим научным сотрудником Математического Института имени С. М. Никольского Российского Университета Дружбы Народов (117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6), а также профессором кафедры математики Физического Факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова, дом 1, строение 2, Физический Факультет).
Корпусов Максим Олегович Доктор физико-математических наук. В 1995 г. окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1998 г. — аспирантуру по кафедре математики; защитил кандидатскую диссертацию на тему «Динамические потенциалы и их приложения к двумерному уравнению внутренних волн». В 2005 г. защитил докторскую диссертацию «Метод энергетических оценок и их приложения к нелинейным уравнениям псевдопараболического типа». Является известным специалистом по теории нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
|