Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. Вся высшая математика.
Том 5: ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, ТЕОРИЯ ИГР. Т.5. Изд. 7, стереот.

Вся высшая математика. Том 5: Теория вероятностей, математическая статистика, теория игр 2024. 304 с. Увеличенный формат (170мм x 240мм).

Белая офсетная бумага

Твердый переплет
Онлайн-книга 739 ₽ ››

Аннотация

Вниманию читателей предлагается учебник по высшей математике, который охватывает практически все разделы математики, но при этом представляет собой не набор разрозненных глав, а единое целое. Отбор материала и способы его изложения строились авторами так, чтобы у читателя постепенно складывалось цельное представление об основных математических идеях и методах, и вместе с тем так, чтобы вложить в руки пользователя простой, но эффективный... (Подробнее)

Оглавление

Теория вероятностей				7
Глава XXXVII. Элементарные соображения				8
§ 1. Схема случаев				8
1.1. Вероятность исхода. Событие. Вероятность события				8
§ 2. Геометрические вероятности				13
§ 3. Условные вероятности. Взаимное влияние и независимость				16
§ 4. Формула полной вероятности				20
Глава XXXVIII. Случайные события. Вероятность				23
§ 1. Эксперимент. Исходы эксперимента. События				23
1.1. Эксперимент. Элементарные исходы эксперимента				23
1.2. События				24
§ 2. Алгебра событий				27
2.1. Диаграммы Эйлера—Венна				27
2.2. Совмещение событий				28
2.3. Подчиненность событий				29
2.4. Сумма событий				30
2.5. Противоположные события. Тождества де Моргана				32
2.6. Разность событий				34
§ 3. Вероятность. Случайные события				35
3.1. Вероятность события				36
3.2. Вероятность в экспериментах с дискретной структурой				38
3.3. Вероятность в экспериментах с недискретной структурой				41
3.4. Числовая прямая				43
3.5. Координатная плоскость в R2				45
3.6. Геометрические вероятности				45
§ 4. Условные вероятности				48
4.1. Правило умножения вероятностей				50
4.2. Формула полной вероятности				50
4.3. Формула Бейеса				52
4.4. Независимость случайных событий				53
§ 5. Совмещение экспериментов				55
§ 6. Счетные совмещения				60
Глава XXXIX. Случайные величины и законы распределения				63
§ 1. Случайная величина				63
1.1. Функция распределения				65
1.2. Плотность распределения				71
1.3. Ряд распределения				75
1.4. Теорема Лебега. Обобщенные плотности				77
§ 2. Системы случайных величин — случайные векторы				80
2.1. Законы распределения случайных векторов				81
2.2. Независимость случайных величин. Условные законы распределения				86
Глава XL. Функции случайных величин				94
§ 1. Функции одного переменного				94
§ 2. Функции двух переменных. Действия над случайными величинами				97
2.1. Сложение случайных величин. Свертка распределений				98
2.2. Другие действия над случайными величинами				104
§ 3. Функции нескольких переменных				107
3.1. Экстремумы и порядковые статистики				107
3.2. Кратные свертки. Некоторые специальные распределения				109
3.3. Многомерное нормальное распределение				113
§ 4. Независимость функций независимых аргументов				115
Глава XLI. Числовые характеристики случайных величин				116
§ 1. Характеристики положения				116
1.1. Математическое ожидание случайной величины				116
1.2. Теорема о математическом ожидании функции от случайных величин. Свойства математического ожидания.				118
1.3. Другие характеристики положения				120
§ 2. Характеристики рассеяния				121
2.1. Дисперсия и ее свойства				121
2.2. Неравенство Чебышёва				123
2.3. Другие характеристики рассеяния				124
§ 3. Характеристики связи				125
3.1. Ковариация и корреляция				126
3.2. Корреляционное отношение				129
§ 4. Старшие моменты. Асимметрия и эксцесс				131
Глава XLII. Законы больших чисел и предельные теоремы				132
§ 1. Законы больших чисел				132
§ 2. Предельные теоремы				135
2.1. Теорема Муавра—Лапласа				136
2.2. Теорема Ляпунова				141
Задачи к разделу				144
Примеры решения задач				151
Математическая статистика				165
Глава XLIII. Оценки				167
§ 1. Выборки и выборочные характеристики				167
§ 2. Параметры распределений. Точечное оценивание				172
2.1. Метод моментов				174
2.2. Метод максимального правдоподобия				176
§ 3. Интервальное оценивание				179
3.1. Точность и надежность оценивания математического ожидания нормальной случайной величины				180
3.2. Точность и надежность оценивания дисперсии нормальной случайной величины				183
3.3. Точность и надежность оценивания для негауссовских распределений				185
3.4. Эффективность оценивания. Неравенство Рао—Крамера				187
Глава XLIV. Статистическая проверка гипотез				190
§ 1. Общие сведения				190
§ 2. Параметрические гипотезы. Лемма Неймана—Пирсона				195
2.1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания нормальной случайной величины числу a				196
2.2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии нормальной случайной величины ε числу b				198
2.3. Проверка гипотезы о равенстве средних нормальных случайных величин				200
§ 3. Критерии согласия				202
3.1. Критерий Колмогорова—Смирнова				202
3.2. Критерий х^2 Пирсона				204
Глава XLV. Статистическое исследование зависимостей				207
§ 1. Случайные переменные. Корреляционные связи				208
1.1. Значимость коэффициента корреляции				209
1.2. Множественная регрессия. Метод наименьших квадратов				211
1.3. Значимость множественного коэффициента корреляции				215
§ 2. Случайные переменные. Нелинейные зависимости				216
§ 3. Неслучайные переменные. Линейные по параметрам регрессионные модели				217
3.1. Основные допущения				217
3.2. Оценивание коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов				219
3.3. Свойства оценок коэффициентов регрессии				221
3.4. Оценивание параметра σ^2				221
3.5. Адекватность модели				223
3.6. Точность и надежность оценивания коэффициентов регрессии				224
3.7. Прогнозирование результатов эксперимента. Точность и надежность прогноза				227
Заключение				229
Введение в теорию игр				230
Глава XLVI. Матричные игры				232
§ 1. Равновесная ситуация				233
§ 2. Смешанные стратегии				237
2.1. Основные определения				238
2.2. Основная теорема теории матричных игр				241
2.3. Основные свойства оптимальных смешанных стратегий				241
§ 3. Методы решения матричных игр				242
3.1. 2 х n игры				242
3.2. m х 2 игры				245
3.3. m х n игры				247
3.4. Итерационный метод решения матричных игр				249
3.5. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования				252
§ 4. Примеры задач, сводимых к матричным играм				254
§ 5. Несколько слов в заключение				256
§ 6. О классификации игр				257
Глава XLVII. Позиционные игры				259
§ 1. Структура позиционной игры				259
§ 2. Нормализация позиционной игры				261
§ 3. Позиционные игры с полной информацией				269
§ 4. Несколько слов в заключение				271
Глава XLVIII. Биматричные игры				273
§ 1. Примеры биматричных игр				274
§ 2. Смешанные стратегии				276
§ 3. 2 2 биматричные игры. Ситуация равновесия				277
§ 4. Поиск равновесных ситуаций				280
§ 5. Оптимальность по Парето				284
5.1. Множество Парето				285
5.2. Метод идеальной точки				286
5.3. Оптимальность по Парето в биматричной игре				287
§ 6. Несколько слов в заключение				288
Заключение				290
Задачи к разделу				293
Приложение 1. Подсчет численностей выборочных совокупностей. Принцип умножения. Комбинаторика				295
Предметный указатель				298
Об авторах				301

Об авторах

Краснов Михаил Леонтьевич

Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Московского энергетического института (МЭИ). Родился в Оренбурге, в семье учителей. В 1943 г., не окончив школу, ушел добровольцем на фронт Великой Отечественной войны. Окончил военное училище, служил командиром взвода в артиллерийском полку. Награжден медалью "За победу над Германией". В 1946–1951 гг. учился на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова, который окончил с отличием. С 1951 г. работал на кафедре высшей математики МЭИ. В 1953–1956 гг. учился в аспирантуре кафедры; в 1957 г. защитил кандидатскую диссертацию, посвященную некоторым вопросам, связанным с уравнениями эллиптического типа. С 1961 г. доцент кафедры, с 1980 г. — профессор. В 1986 г. по состоянию здоровья ушел на пенсию, но продолжал работать в МЭИ до 1991 г. Был членом Редакционного совета МЭИ, работал в Совете по математическому образованию при Министерстве высшего образования СССР.

В область научных интересов М. Л. Краснова входили дифференциальные уравнения. Им были написаны научные статьи, посвященные уравнениям в частных производных и некоторым прикладным задачам. Вместе с А. И. Киселевым и Г. И. Макаренко он придумал и осуществил простую и в то же время гениальную идею — учить будущих инженеров сложным разделам высшей математики на рассмотрении подробных решений тщательно подобранных типовых примеров при минимальном изложении теории. В результате более чем тридцатилетней совместной работы ими были написаны ставшие классическими учебные пособия ("Векторный анализ", "Вариационное исчисление" и другие). Созданное ими многотомное издание "Вся высшая математика" стало лауреатом конкурса по созданию новых учебников Министерства образования России. Все эти книги многократно выходили в издательстве URSS, а также были переведены и изданы на испанском, португальском, английском, французском, японском, польском и других языках.

Киселев Александр Иванович

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1962 гг. работал в Институте физических проблем АН СССР. В 1962–1996 гг. — доцент кафедры высшей математики Московского энергетического института. Область научных интересов: теория функций.

Макаренко Григорий Иванович

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1951 г. В 1951–1960 гг. работал на кафедре высшей математики Московского энергетического института. В 1960–1978 гг. — старший научный сотрудник Объединенного института ядерных исследований в Дубне. В 1978–1989 гг. — профессор кафедры математики Московского государственного института путей сообщения. Область научных интересов: дифференциальные уравнения.

Шикин Евгений Викторович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (1982–2001), заведующий кафедрой математических методов в управлении факультета государственного управления МГУ (2002–2016). Заслуженный профессор МГУ. Лауреат премии Президента Российской федерации, лауреат многих научных премий. Был удостоен государственных наград. Член Американского математического общества и других иностранных академий наук. Область научных интересов: геометрия, геометрическое моделирование, игры поиска, компьютерная графика. Подготовил 12 кандидатов наук; в числе его учеников — три доктора наук. Автор более 210 опубликованных работ, в числе которых монографии и учебники.

Заляпин Владимир Ильич

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова в 1969 г., аспирантуру Отделения математики МГУ — в 1972 г. Кандидат физико-математических наук, доцент, профессор кафедры математического анализа Южно-Уральского государственного университета.

Автор 86 научных и более 40 учебных и методических публикаций. Заместитель председателя Челябинского регионального отделения научно-методического Совета по математике Минобрнауки РФ, председатель Совета по математике ЮУрГУ. Награжден нагрудным знаком "Почетный работник высшей школы РФ".