Бакушев С.В. Элементарный курс теории упругости

---

ПРЕДИСЛОВИЕ				3
Часть I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ				5
ВВЕДЕНИЕ				6
ГЛАВА 1. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ				10
§1.1. Допущения в теории упругости				10
§1.2. Основные понятия теории напряжений				11
§1.3. Напряжения на параллельных площадках				18
§1.4. Напряжения на наклонных площадках				19
§1.5. Уравнения равновесия				22
§1.6. Тензор напряжений				25
§1.7. Главные напряжения				27
§1.8. Наибольшие касательные напряжений				31
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ				35
§2.1. Понятие о перемещениях				35
§2.2. Геометрические соотношения				38
§2.3. Деформация в произвольном направлении				40
§2.4. Угол сдвига между двумя произвольными направлениями				42
§2.5. Объёмная деформация				44
§2.6. Тензор деформации				45
§2.7. Главные деформации				46
§2.8. Уравнения неразрывности деформаций				49
ГЛАВА 3. ФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ				52
§3.1. Физический закон для упругого тела				52
§3.2. Обобщённый закон Гука				53
§3.3. Потенциальная энергия деформации				58
ГЛАВА 4. ПОСТАНОВКА И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ				63
§4.1. Общая система уравнений теории упругости				63
§4.2. Типы задач теории упругости				64
§4.3. Прямая задача теории упругости в перемещениях				66
§4.4. Прямая задача теории упругости в напряжениях				68
§4.5. Теории прочности				72
Первая теория прочности				73
Вторая теория прочности				73
Третья теория прочности				74
Энергетическиетеории прочности				75
Теория прочности Мора				76
Теория прочности К. Шлейхера				77
Теория прочности Ю.И. Ягна				77
Теория прочности П.П. Баландина				77
Теории прочности Г.А. Гениева				78
ГЛАВА 5. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ				81
§5.1. Общее выражение для работы внешних сил				81
§5.2. Теорема Клайперона				83
§5.3. Начало возможных перемещений. Принцип Лагранжа				83
§5.4. Вариационный принцип Кастильяно				85
ГЛАВА 6. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ				88
§6.1. Одномерная деформация				88
§6.2. Одномерное напряжённое состояние				91
§6.3. Напряжённое состояние в точке для одномерной задачи теории упругости				93
ГЛАВА 7. ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ				95
§7.1. Плоская деформация				95
§7.2. Обобщённое плоское напряжённое состояние				97
§7.3. Сводка уравнений двумерной плоской задачи теории упругости				100
§7.4. Решение плоской задачи теории упругости в перемещениях				101
§7.5. Решение плоской задачи теории упругости в напряжениях				102
Функция напряжений				103
§7.6. Определение перемещений				105
§7.7. Напряжённое состояние в точке для плоской задачи теории упругости				106
Геометрическая интерпретация напряжённого состояния в точке				112
§7.8. Деформированное состояние в точке для плоской задачи теории упругости				114
§7.9. Потенциальная энергия деформации				118
Плоская деформация				118
Обобщённое плоское напряжённое состояние				119
ГЛАВА 8. ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ				120
§8.1. Основные уравнения				120
Геометрические соотношения				121
Уравнения равновесия				123
Физические уравнения				124
Уравнение неразрывности деформаций				125
§8.2. Решение плоской задачи теории упругости в полярных координатах				127
Решение в перемещениях				127
Решение в напряжениях				128
§8.2. Главные площадки и главные напряжения в полярной системе координат				130
ГЛАВА 9. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ				134
§9.1. Решение задачи о кручении при помощи функции напряжений				134
§9.2. Мембранная аналогия				138
ГЛАВА 10. ИЗГИБ ПЛАСТИН				141
§10.1. Основные гипотезы и допущения				142
§10.2. Перемещения, деформации и напряжения в пластине				143
§10.3. Внутренние усилия в пластине				147
§10.4. Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины				156
§10.5. Условия на контуре пластины				158
§10.6. Оценка прочности пластины				160
§10.7. Потенциальная энергия при изгибе пластины				161
§10.8. Пластина на упругом основании				162
Модели сплошных оснований				163
Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины на сплошном упругом основании				168
§10.9. Пластина в полярных координатах				168
§10.10. Понятие о расчёте гибких пластин				170
ГЛАВА 11. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК				176
§11.1. Деформации, напряжения и внутренние усилия в тонких оболочках				178
§11.2. Пологие оболочки				182
Граничные условия				189
Потенциальная энергия пологой оболочки				190
§11.3. Расчёт оболочки произвольной формы по безмоментной теории				191
Краевой эффект				197
ГЛАВА 12. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИЙ				198
§12.1. Распространение упругих волн в стержнях				200
§12.2. Распространение двумерных упругих волн деформаций				204
Исследование характера разрывов				206
§12.3. Распространение волн деформаций в неограниченном упругом теле				207
ГЛАВА 13. ОБОБЩЕНИЯ НА ГЕОМЕТРИЧЕСКИ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНУЮ ТЕОРИЮ УПРУГОСТИ				211
§13.1. Общая система уравнений нелинейной теории упругости				211
§13.2. Феноменологический подход при построении замыкающих уравнений				219
Часть II. ПРАКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ				222
ВВЕДЕНИЕ				223
ГЛАВА 1. НАПРЯЖЁННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ				225
§1.1. Напряжённое состояние в точке				225
§1.2. Деформированное состояние в точке				239
ГЛАВА 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ				251
§2.1. Определение напряжённо-деформированного состояния в упругом теле				251
ГЛАВА 3. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ				275
§3.1. Решение плоской задачи теории упругости при помощи целых полиномов				275
§3.2. Решение плоской задачи теории упругости при помощи тригонометрических рядов				293
Решение Файлона и решение Рибьера				293
§3.3. Решение плоской задачи теории упругости методом конечных разностей				309
Конечно-разностные операторы				310
Метод конечных разностей для решения плоской задачи теории упругости в перемещениях				312
Метод конечных разностей для решения плоской задачи теории упругости в напряжениях				317
§3.4. Решение плоской задачи теории упругости в полярных координатах				328
§3.5. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения				341
ГЛАВА 4. РАСЧЁТ ТОНКИХ ПЛАСТИН				345
§4.1. Расчёт тонких пластинок методом конечных разностей				345
§4.2. Расчёт тонких пластинок при помощи двойных тригонометрических рядов				356
§4.3. Расчёт тонких пластинок при помощи одинарных тригонометрических рядов				365
ГЛАВА 5. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ВАРИАЦИОННЫХ ПРИНЦИПАХ				373
§5.1. Метод Ритца-Тимошенко				373
§5.2. Метод Бубнова-Галёркина				385
§5.3. Метод Власова-Канторовича				391
ГЛАВА 6. РАСЧЁТ ОБОЛОЧЕК				398
§6.1. Расчёт пологой оболочки				398
§6.2. Расчёт оболочки по безмоментной теории				404
Расчёт оболочки вращения				405
ГЛАВА 7. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ				410
§7.1. Основное уравнение метода конечных элементов				419
§7.2. Матрица жёсткости треугольного конечного элемента				422
§7.3. Составление обобщённой матрицы жёсткости совокупности конечных элементов				428
§7.4. Приведение внешних нагрузок к узловым силам				439
§7.5. Учёт условий опирания конструкции				440
§7.6. Порядок решения плоской задачи теории упругости методом конечных элементов				445
ЗАКЛЮЧЕНИЕ				452
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК				454

---

Теория упругости – это наука, область интересов которой распространяется на выявление напряжённо-деформированного состояния твёрдых деформируемых тел, находящихся под воздействием внешних силовых – статических и динамических, а также температурных полей. Общий курс теории упругости можно условно подразделить на две части. К первой части следует отнести теоретические основы определения напряжённо-деформированного состояния твёрдых деформируемых тел различной конфигурации: стержней, балок-стенок, пластин, оболочек, массивных тел. Вторую часть будут составлять практические рекомендации, методы и приёмы решения задач теории упругости: расчёт стержней, в том числе на кручение, расчёт балок-стенок, пластин, оболочек и так далее. Таким образом, вторая часть курса теории упругости должна охватывать вопросы расчёта элементов строительных конструкций и сооружений в целом.

Исторически такое разделение общей теории упругости на две части произошло с самого начала её становления как науки, поскольку существуют математическая и прикладная теории упругости. Изложение этих частей в одной книге, с самого начала, было обусловлено, видимо, тем, что теоретические изыскания требовали непосредственного практического подтверждения. Однако, в настоящее время, когда теоретические выводы успешно прошли практическую проверку, целесообразно, особенно на начальной стадии изучения теории упругости, эти две части излагать отдельно. Кроме того, расчёт элементов строительных конструкций и сооружений в целом, требует, как правило, теоретических знаний всего курса, а не отдельных его разделов.

Ввиду этого в первой части предлагаемой книги автор остановился на освещении лишь теоретических вопросов обоснования напряжённо-деформированного состояния упругих тел вплоть до постановки краевых задач. Однако при этом автор стремился к строгому, обоснованному, но предельно простому стилю изложения материала.

Первая часть книги состоит из тринадцати глав.

Первые пять глав посвящены основным положениям линейной теории упругости: здесь даны теория напряжений, теория деформаций, физические соотношения, постановка и методы решения задач теории упругости, вариационная формулировка задач теории упругости.

В следующих главах рассматриваются теоретические основы одномерной и двумерной задач теории упругости в декартовых координатах, двумерная задача в полярных координатах.

Девятая, десятая и одиннадцатая главы посвящены изложению теоретических основ расчёта призматических стержней на кручение, изгибу тонких пластин, основам теории оболочек.

В двенадцатой главе даются основы теории распространения упругих волн деформаций.

Последняя тринадцатая глава посвящена некоторым обобщениям на геометрически и физически нелинейную теорию упругости.

Во второй части данной книги излагаются примеры решения прикладных задач линейной теории упругости. Для удобства нумерации задач, нумерация глав во второй части книги начинается с первого номера.

Вторая часть книги состоит из семи глав.

В первой главе рассматриваются задачи, посвящённые оценке напряжённого и деформированного состояния в точке при известных тензорах напряжений и деформаций.

Во второй главе приводятся примеры решения обратной задачи теории упругости.

В третьей главе даются примеры решения прямой задачи теории упругости применительно к плоской задаче: решение плоской задачи теории упругости при помощи целых полиномов, тригонометрических рядов, методом конечных разностей. Кроме того, рассматривается решение плоской задачи теории упругости в полярных координатах и кручение стержня прямоугольного поперечного сечения на основе мембранной аналогии.

Четвёртая глава посвящена методам расчёта тонких жёстких пластин. Рассматриваются метод конечных разностей, метод Навье и метод Леви.

В пятой главе описаны методы решения задач прикладной теории упругости, основанные на вариационных принципах: метод Ритца - Тимошенко, метод Бубнова - Галёркина, метод Власова - Канторовича.

В шестой главе приводятся примеры расчёта оболочек, в частности даны пример расчёта пологой оболочки и пример расчёта оболочки по безмоментной теории.

Седьмая глава посвящена расчёту элементов строительных конструкций методом конечных элементов применительно к решению плоской задачи теории упругости.

---