Предисловие | 12 |
1. | Что такое алгебра? | 15 |
| Идея координатизации | 15 |
| Словарь квантовой механики | 19 |
| Конечные интерпретации системы аксиом соединения и параллельности | 19 |
2. | Поля | 23 |
| Аксиомы поля | 24 |
| Изоморфизм | 25 |
| Поле рациональных функций от независимых переменных, поле рациональных функций на плоской алгебраической кривой, поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана | 27 |
| Поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана | 31 |
3. | Коммутативные кольца | 33 |
| Аксиомы кольца | 33 |
| Кольцо многочленов | 33 |
| Делители нуля и целостные кольца | 36 |
| Поле частных | 36 |
| Прямые суммы колец | 36 |
| Кольцо непрерывных функций | 37 |
| Кольцо степенных рядов и формальных степенных рядов | 38 |
| Кольцо полиномиальных функций на плоской алгебраической кривой | 38 |
| Булевы кольца | 39 |
| Разложение на множители | 40 |
| Факториальные кольца | 40 |
| Примеры факториальных колец | 41 |
4. | Гомоморфизмы и идеалы | 43 |
| Гомоморфизмы, идеалы, факторкольца | 43 |
| Гомоморфизмы ограничения в кольцах функций | 45 |
| Кольца главных идеалов | 47 |
| Связь с факториальностью | 47 |
| Умножение идеалов | 49 |
| Целые числа как функции | 49 |
| Теорема о гомоморфизмах | 51 |
| Расширение, в котором заданный многочлен имеет корень. Алгебраически замкнутые поля | 52 |
| Конечные поля | 52 |
| Характеристика поля | 54 |
| Представление элементов общих колец как функций на максимальных и простых идеалах | 55 |
| Целые числа как функции | 55 |
| Ультрапроизведения и нестандартный анализ | 56 |
| Коммутирующие дифференциальные операторы | 58 |
5. | Модули | 59 |
| Прямые суммы и свободные модули | 60 |
| Эквивалентность идеалов и изоморфизм модулей | 62 |
| Тензорные произведения | 65 |
| Тензорная, симметрическая и внешняя степень модуля, двойственный модуль | 66 |
| Модули дифференциальных форм и векторных полей | 68 |
| Семейства векторных пространств и модули | 69 |
6. | Алгебраический аспект размерности | 71 |
| Ранг модуля | 72 |
| Модули конечного типа | 73 |
| Модули конечного типа над кольцом главных идеалов | 74 |
| Нётеровы модули и кольца | 76 |
| Нётеровы кольца и кольца конечного типа | 78 |
| Случай градуированных колец | 78 |
| Степень трансцендентности расширения | 81 |
| Конечные расширения | 83 |
7. | Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий | 87 |
| Функции с точностью до бесконечно малых второго порядка и касательное пространство к многообразию | 89 |
| Векторные поля и дифференциальные операторы первого порядка | 90 |
| Особые точки | 92 |
| Бесконечно малые высших порядков | 93 |
| Струи и дифференциальные операторы | 93 |
| Пополнения колец, p-адические числа | 96 |
| Поля p-адических чисел в теории чисел | 96 |
| Нормированные поля. Нормы поля рациональных чисел и рациональных функций | 97 |
8. | Некоммутативные кольца | 105 |
| Основные определения | 105 |
| Кольцо эндоморфизмов модуля | 106 |
| Алгебры над кольцами | 107 |
| Групповая алгебра | 108 |
| Кватернионы и тела | 109 |
| Твисторное расслоение | 111 |
| Эндоморфизмы n-мерного пространства над телом | 113 |
| Тензорная алгебра и кольцо некоммутативных многочленов | 113 |
| Левые и правые идеалы кольца эндоморфизмов векторного пространства над телом | 115 |
| Внешняя алгебра | 117 |
| Супералгебры | 118 |
| Алгебра Клиффорда | 118 |
| Простые кольца и алгебры | 120 |
9. | Модули над некоммутативными кольцами | 123 |
| Модули и представления | 124 |
| Представления алгебр на матричном языке | 126 |
| Лемма Шура | 128 |
| Простые модули, композиционные ряды, теорема Жордана–Гёльдера | 128 |
| Длина модуля и кольца | 129 |
| Эндоморфизмы модулей | 130 |
10. | Полупростые модули и кольца | 133 |
| Полупростота | 133 |
| Полупростота групповой алгебры | 135 |
| Модули над полупростым кольцом | 136 |
| Полупростые кольца конечной длины: теорема Веддербёрна | 138 |
| Простые кольца конечной длины и основная теорема проективной геометрии | 141 |
| Факторы и непрерывные геометрии | 144 |
| Полупростые алгебры конечного ранга над алгебраически замкнутым полем | 145 |
| Применения к представлениям конечных групп | 146 |
11. | Тела конечного ранга | 151 |
| Тела конечного ранга над полем вещественных чисел и конечными полями | 151 |
| Теорема Тзена и квазиалгебраически замкнутые поля | 152 |
| Центральные тела конечного ранга над полем p-адических и полем рациональных чисел | 154 |
12. | Понятие группы | 159 |
| Группы преобразований | 159 |
| Симметрии | 160 |
| Симметрии динамических систем и законы сохранения | 162 |
| Автоморфизмы | 163 |
| Симметрии физических законов | 164 |
| Группы, регулярное действие | 164 |
| Группа классов идеалов | 169 |
| Группа расширений модуля | 170 |
| Группа Брауэра | 171 |
| Подгруппы, нормальные делители, факторгруппы | 172 |
| Прямое произведение двух групп | 177 |
13. | Примеры групп: конечные группы | 179 |
| Симметрические и знакопеременные группы | 179 |
| Группы симметрий правильных многоугольников и правильных многогранников | 182 |
| Группы симметрий решеток | 187 |
| Кристаллографические классы | 188 |
| Конечные группы, порожденные отражениями | 195 |
14. | Примеры групп: бесконечные дискретные группы | 199 |
| Дискретные группы преобразований | 199 |
| Кристаллографические группы | 201 |
| Дискретные группы движений плоскости Лобачевского | 210 |
| Модулярная группа | 211 |
| Свободные группы | 211 |
| Задание групп соотношениями | 212 |
| Логические проблемы | 214 |
| Фундаментальная группа | 215 |
| Группа узла | 217 |
| Группа кос | 217 |
15. | Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы | 221 |
| Группы Ли | 224 |
| Торы. Их роль в теореме Лиувилля | 225 |
| Классические компактные группы и некоторые связи между ними | 227 |
| Классические комплексные группы Ли | 231 |
| Группа Лоренца | 233 |
| Алгебраические группы | 235 |
| Группы аделей | 236 |
16. | Общие результаты теории групп | 239 |
| Прямые произведения | 241 |
| Теорема Веддербёрна–Ремака–Шмидта | 242 |
| Композиционные ряды | 243 |
| Теорема Жордана–Гёльдера | 243 |
| Простые группы | 244 |
| Разрешимые группы | 245 |
| Простые компактные группы Ли | 247 |
| Простые комплексные группы Ли | 249 |
| Простые конечные группы | 250 |
17. | Представления групп | 253 |
| Представления конечных групп | 257 |
| Соотношения ортогональности | 263 |
| Представления компактных групп | 264 |
| Интеграл по группе | 264 |
| Теорема Гельмгольца–Ли | 265 |
| Характеры коммутативных компактных групп и ряды Фурье | 268 |
| Тензоры Вейля и Риччи в четырехмерной римановой геометрии | 271 |
| Представления групп SU(2) и SO(3) | 271 |
| Эффект Зеемана | 274 |
| Полная приводимость представлений конечномерных классических комплексных групп Ли | 275 |
| Представления некомпактных групп Ли | 277 |
18. | Некоторые приложения групп | 279 |
| Теория Галуа | 279 |
| Разрешимость уравнений в радикалах | 283 |
| Теория Галуа дифференциальных уравнений | 284 |
| Классификация неразветвленных накрытий и фундаментальная группа | 285 |
| Первая основная теорема теории инвариантов | 288 |
| Представления групп и классификация элементарных частиц | 289 |
19. | Алгебры Ли и неассоциативная алгебра | 297 |
| Скобка Пуассона как пример алгебры Ли | 298 |
| Кольца и алгебры Ли | 298 |
| Теория Ли | 301 |
| Группы Ли и движения твердого тела | 310 |
| Числа Кэли | 312 |
| Квазикомплексная структура на шестимерных подмногообразиях восьмимерного пространства | 313 |
| Неассоциативные вещественные тела | 314 |
20. | Категории | 317 |
| Диаграммы и категории | 317 |
| Функторы | 325 |
| Функторы, возникающие в топологии: пространства петель, надстройки | 326 |
| Группы в категории | 328 |
| Гомотопические группы | 331 |
21. | Гомологическая алгебра | 335 |
| Комплексы и их гомологии | 335 |
| Гомологии и когомологии полиэдров | 335 |
| Теорема о неподвижной точке | 338 |
| Дифференциальные формы и когомологии де Рама | 339 |
| Теорема де Рама | 340 |
| Точная последовательность когомологий | 342 |
| Когомологии модулей | 344 |
| Когомологии групп | 348 |
| Топологический смысл когомологии дискретных групп | 351 |
| Пучки | 353 |
| Когомологии пучков | 356 |
| Теоремы конечности | 357 |
| Теорема Римана–Роха | 359 |
22. | K-теория | 361 |
| Топологическая K-теория | 361 |
| Векторные расслоения и функтор Vec(X) | 361 |
| Теорема периодичности и функторы Kn(X) | 364 |
| Группа K1(X) и бесконечномерная линейная группа | 365 |
| Символ эллиптического дифференциального оператора | 365 |
| Теорема об индексе | 367 |
| Алгебраическая K-теория | 368 |
| Группа классов проективных модулей | 368 |
| Группы K0, K1 и Kn кольца | 370 |
| Группа K2 поля и ее связь с группой Брауэра | 372 |
| K-теория и арифметика | 373 |
Комментарий к литературе | 376 |
Литература | 385 |
Именной указатель | 394 |
Предметный указатель | 397 |