Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры Изд. 3, испр.

URSS. 2024. 408 с. ISBN 978-5-9519-4162-6.

Белая офсетная бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 1599 р. ››

Аннотация

Работа посвящена обзору основных понятий, идей и направлений алгебры. Ее цель — дать представление о духе алгебры и ее связях с другими частями математики. Особое внимание уделено мотивировке алгебраических понятий и постановке задач.

У читателя предполагается владение линейной алгеброй и основами анализа. Другие используемые понятия определяются за исключением встречающихся при разборе некоторых изолированных примеров. Начиная с изложения... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие		12
1.	Что такое алгебра?	15
	Идея координатизации	15
	Словарь квантовой механики	19
	Конечные интерпретации системы аксиом соединения и параллельности	19
2.	Поля	23
	Аксиомы поля	24
	Изоморфизм	25
	Поле рациональных функций от независимых переменных, поле рациональных функций на плоской алгебраической кривой, поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана	27
	Поле рядов Лорана и формальных рядов Лорана	31
3.	Коммутативные кольца	33
	Аксиомы кольца	33
	Кольцо многочленов	33
	Делители нуля и целостные кольца	36
	Поле частных	36
	Прямые суммы колец	36
	Кольцо непрерывных функций	37
	Кольцо степенных рядов и формальных степенных рядов	38
	Кольцо полиномиальных функций на плоской алгебраической кривой	38
	Булевы кольца	39
	Разложение на множители	40
	Факториальные кольца	40
	Примеры факториальных колец	41
4.	Гомоморфизмы и идеалы	43
	Гомоморфизмы, идеалы, факторкольца	43
	Гомоморфизмы ограничения в кольцах функций	45
	Кольца главных идеалов	47
	Связь с факториальностью	47
	Умножение идеалов	49
	Целые числа как функции	49
	Теорема о гомоморфизмах	51
	Расширение, в котором заданный многочлен имеет корень. Алгебраически замкнутые поля	52
	Конечные поля	52
	Характеристика поля	54
	Представление элементов общих колец как функций на максимальных и простых идеалах	55
	Целые числа как функции	55
	Ультрапроизведения и нестандартный анализ	56
	Коммутирующие дифференциальные операторы	58
5.	Модули	59
	Прямые суммы и свободные модули	60
	Эквивалентность идеалов и изоморфизм модулей	62
	Тензорные произведения	65
	Тензорная, симметрическая и внешняя степень модуля, двойственный модуль	66
	Модули дифференциальных форм и векторных полей	68
	Семейства векторных пространств и модули	69
6.	Алгебраический аспект размерности	71
	Ранг модуля	72
	Модули конечного типа	73
	Модули конечного типа над кольцом главных идеалов	74
	Нётеровы модули и кольца	76
	Нётеровы кольца и кольца конечного типа	78
	Случай градуированных колец	78
	Степень трансцендентности расширения	81
	Конечные расширения	83
7.	Алгебраический аспект инфинитезимальных понятий	87
	Функции с точностью до бесконечно малых второго порядка и касательное пространство к многообразию	89
	Векторные поля и дифференциальные операторы первого порядка	90
	Особые точки	92
	Бесконечно малые высших порядков	93
	Струи и дифференциальные операторы	93
	Пополнения колец, p-адические числа	96
	Поля p-адических чисел в теории чисел	96
	Нормированные поля. Нормы поля рациональных чисел и рациональных функций	97
8.	Некоммутативные кольца	105
	Основные определения	105
	Кольцо эндоморфизмов модуля	106
	Алгебры над кольцами	107
	Групповая алгебра	108
	Кватернионы и тела	109
	Твисторное расслоение	111
	Эндоморфизмы n-мерного пространства над телом	113
	Тензорная алгебра и кольцо некоммутативных многочленов	113
	Левые и правые идеалы кольца эндоморфизмов векторного пространства над телом	115
	Внешняя алгебра	117
	Супералгебры	118
	Алгебра Клиффорда	118
	Простые кольца и алгебры	120
9.	Модули над некоммутативными кольцами	123
	Модули и представления	124
	Представления алгебр на матричном языке	126
	Лемма Шура	128
	Простые модули, композиционные ряды, теорема Жордана–Гёльдера	128
	Длина модуля и кольца	129
	Эндоморфизмы модулей	130
10.	Полупростые модули и кольца	133
	Полупростота	133
	Полупростота групповой алгебры	135
	Модули над полупростым кольцом	136
	Полупростые кольца конечной длины: теорема Веддербёрна	138
	Простые кольца конечной длины и основная теорема проективной геометрии	141
	Факторы и непрерывные геометрии	144
	Полупростые алгебры конечного ранга над алгебраически замкнутым полем	145
	Применения к представлениям конечных групп	146
11.	Тела конечного ранга	151
	Тела конечного ранга над полем вещественных чисел и конечными полями	151
	Теорема Тзена и квазиалгебраически замкнутые поля	152
	Центральные тела конечного ранга над полем p-адических и полем рациональных чисел	154
12.	Понятие группы	159
	Группы преобразований	159
	Симметрии	160
	Симметрии динамических систем и законы сохранения	162
	Автоморфизмы	163
	Симметрии физических законов	164
	Группы, регулярное действие	164
	Группа классов идеалов	169
	Группа расширений модуля	170
	Группа Брауэра	171
	Подгруппы, нормальные делители, факторгруппы	172
	Прямое произведение двух групп	177
13.	Примеры групп: конечные группы	179
	Симметрические и знакопеременные группы	179
	Группы симметрий правильных многоугольников и правильных многогранников	182
	Группы симметрий решеток	187
	Кристаллографические классы	188
	Конечные группы, порожденные отражениями	195
14.	Примеры групп: бесконечные дискретные группы	199
	Дискретные группы преобразований	199
	Кристаллографические группы	201
	Дискретные группы движений плоскости Лобачевского	210
	Модулярная группа	211
	Свободные группы	211
	Задание групп соотношениями	212
	Логические проблемы	214
	Фундаментальная группа	215
	Группа узла	217
	Группа кос	217
15.	Примеры групп: группы Ли и алгебраические группы	221
	Группы Ли	224
	Торы. Их роль в теореме Лиувилля	225
	Классические компактные группы и некоторые связи между ними	227
	Классические комплексные группы Ли	231
	Группа Лоренца	233
	Алгебраические группы	235
	Группы аделей	236
16.	Общие результаты теории групп	239
	Прямые произведения	241
	Теорема Веддербёрна–Ремака–Шмидта	242
	Композиционные ряды	243
	Теорема Жордана–Гёльдера	243
	Простые группы	244
	Разрешимые группы	245
	Простые компактные группы Ли	247
	Простые комплексные группы Ли	249
	Простые конечные группы	250
17.	Представления групп	253
	Представления конечных групп	257
	Соотношения ортогональности	263
	Представления компактных групп	264
	Интеграл по группе	264
	Теорема Гельмгольца–Ли	265
	Характеры коммутативных компактных групп и ряды Фурье	268
	Тензоры Вейля и Риччи в четырехмерной римановой геометрии	271
	Представления групп SU(2) и SO(3)	271
	Эффект Зеемана	274
	Полная приводимость представлений конечномерных классических комплексных групп Ли	275
	Представления некомпактных групп Ли	277
18.	Некоторые приложения групп	279
	Теория Галуа	279
	Разрешимость уравнений в радикалах	283
	Теория Галуа дифференциальных уравнений	284
	Классификация неразветвленных накрытий и фундаментальная группа	285
	Первая основная теорема теории инвариантов	288
	Представления групп и классификация элементарных частиц	289
19.	Алгебры Ли и неассоциативная алгебра	297
	Скобка Пуассона как пример алгебры Ли	298
	Кольца и алгебры Ли	298
	Теория Ли	301
	Группы Ли и движения твердого тела	310
	Числа Кэли	312
	Квазикомплексная структура на шестимерных подмногообразиях восьмимерного пространства	313
	Неассоциативные вещественные тела	314
20.	Категории	317
	Диаграммы и категории	317
	Функторы	325
	Функторы, возникающие в топологии: пространства петель, надстройки	326
	Группы в категории	328
	Гомотопические группы	331
21.	Гомологическая алгебра	335
	Комплексы и их гомологии	335
	Гомологии и когомологии полиэдров	335
	Теорема о неподвижной точке	338
	Дифференциальные формы и когомологии де Рама	339
	Теорема де Рама	340
	Точная последовательность когомологий	342
	Когомологии модулей	344
	Когомологии групп	348
	Топологический смысл когомологии дискретных групп	351
	Пучки	353
	Когомологии пучков	356
	Теоремы конечности	357
	Теорема Римана–Роха	359
22.	K-теория	361
	Топологическая K-теория	361
	Векторные расслоения и функтор Vec(X)	361
	Теорема периодичности и функторы K_n(X)	364
	Группа K₁(X) и бесконечномерная линейная группа	365
	Символ эллиптического дифференциального оператора	365
	Теорема об индексе	367
	Алгебраическая K-теория	368
	Группа классов проективных модулей	368
	Группы K₀, K₁ и K_n кольца	370
	Группа K₂ поля и ее связь с группой Брауэра	372
	K-теория и арифметика	373
Комментарий к литературе		376
Литература		385
Именной указатель		394
Предметный указатель		397

Об авторе

Шафаревич Игорь Ростиславович

Выдающийся советский и российский математик, доктор физико-математических наук, профессор, академик АН СССР и РАН. Еще в школе изучал программу механико-математического факультета МГУ и сдавал экстерном экзамены. После окончания школы был принят на последний курс этого факультета и окончил его в 1940 г. (в 17 лет). Защитил кандидатскую диссертацию в 1942 г. (в 19 лет), докторскую — в 1946 г. (в 23 года). В 1944 г., после окончания аспирантуры, стал преподавателем механико-математического факультета МГУ. С 1946 г. — сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова (МИАН). В 1953–1974 гг. — профессор кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. В 1960–1995 гг. работал в должности заведующего отделом алгебры МИАН, с 1995 г. — главный научный сотрудник МИАН (советник РАН). В 1958 г. избран членом-корреспондентом АН СССР, с 1991 г. — академик. Лауреат Ленинской премии (1959). Президент Московского математического общества (1970–1973).

В область научных интересов И. Р. Шафаревича входили алгебра, теория чисел, алгебраическая геометрия. В теории алгебраических чисел он нашел самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел, что явилось в известной мере завершающим этапом 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Леонарду Эйлеру и Карлу Гауссу. Внес фундаментальный вклад в развитие теории Галуа. За работы по алгебраической теории чисел (открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи Галуа для разрешимых групп), опубликованные в 1950–1954 гг., был удостоен Ленинской премии. В 1970-1980-х гг. И. Р. Шафаревич, Д. К. Фаддеев и их ученики получили важные результаты, относящиеся к теории групп, теории целочисленных представлений групп и теории Галуа. Кроме того, И. Р. Шафаревич получил известность как общественный деятель и автор историко-философских публикаций.

Фото И. Р. Шафаревича: Konrad Jacobs, Erlangen, CC BY-SA 2.0 de, commons.wikimedia.org