URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Бескин Н.М. Замечательные дроби Обложка Бескин Н.М. Замечательные дроби
Id: 304163
399 р.

Замечательные дроби № 349. Изд. 2, стереотип.

URSS. 2024. 128 с. ISBN 978-5-9710-8581-2.
Белая офсетная бумага
Две исторические загадки: загадка Архимеда и загадка Григория XIII • Образование цепных дробей • Подходящие дроби • Бесконечные цепные дроби • Аппроксимация действительных чиселм • Разгадки.

Аннотация

Настоящая книга посвящена одному из самых увлекательных разделов арифметики --- приближению действительных чисел рациональными. В ней популярно излагаются основные факты теории цепных дробей, позволяющих эффективно находить такие приближения. Цепные дроби стали одним из самых совершенных и увлекательных творений математиков XVII–XVIII веков (Гюйгенса, Эйлера, Лагранжа, Лежандра), и знакомство с их свойствами поражает воображение.

Книга... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие к первому изданию3
Глава I. Две исторические загадки5
§ 1. Загадка Архимеда5
1. Архимедово число5
2. Аппроксимация6
3. Погрешность аппроксимации10
4. Выгодность аппроксимации10
§ 2. Загадка Григория XIII15
5. Математическая проблема календаря15
6. Юлианский и григорианский календари17
Глава II. Образование цепных дробей19
§ 3. Разложение действительного числа в цепную дробь19
7. Алгоритм разложения в цепную дробь19
8. Обозначение цепных дробей22
9. Разложение в цепную дробь отрицательных чисел22
10. Примеры, когда процесс разложения бесконечен23
§ 4. Алгоритм Евклида27
11. Алгоритм Евклида27
12. Примеры применения алгоритма Евклида30
13. Итоги31
Глава III. Подходящие дроби33
§ 5. Понятие о подходящих дробях33
14. Предварительное определение подходящей дроби33
15. Закон образования подходящих дробей35
16. Окончательное определение подходящей дроби38
17. Техника вычисления подходящих дробей40
18. Полные частные41
§ 6. Свойства подходящих дробей44
19. Разность соседних подходящих дробей44
20. Сравнение соседних подходящих дробей45
21. Несократимость подходящих дробей48
Глава IV. Бесконечные цепные дроби50
§ 7. Действительные числа50
22. Пропасть между конечным и бесконечным50
23. Принцип вложенных отрезков52
24. Множество рациональных чисел57
25. Существование нерациональных точек на прямой58
26. Бесконечные десятичные дроби60
27. Введение иррациональных чисел62
28. Действительные числа63
29. Изображение действительных чисел на числовой оси65
30. Условие рациональности бесконечной десятичной дроби67
§ 8. Бесконечные цепные дроби68
31. Числовое значение бесконечной цепной дроби68
32. Представление иррационального числа бесконечной цепной дробью71
33. Однозначность представления действительного числа цепной дробью72
§ 9. Природа чисел, выраженных цепными дробями76
34. Классификация иррациональностей76
35. Квадратичные иррациональности79
36. Теорема Эйлера87
37. Теорема Лагранжа91
Глава V. Аппроксимация действительных чисел95
§ 10. Аппроксимация подходящими дробями95
38. Выгодная аппроксимация95
39. Основное свойство подходящих дробей96
40. Подходящие дроби — самые выгодные102
Глава VI. Разгадки110
§11. Тайна архимедова числа110
41. Ключ ко всем тайнам110
42. Тайна архимедова числа111
§ 12. Решение проблемы календаря113
43. Использование цепных дробей113
44. Как выбрать календарь115
45. Тайна Григория XIII117
Литература120

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
top

Эта книжка предназначена школьникам, интересующимся математикой. Она посвящена одному из самых увлекательных разделов арифметики — приближению действительных чисел рациональными.

В последние годы среди некоторой части молодых математиков (да и не только молодых) появилось пренебрежительное отношение к «классической» и «чистой» математике в противовес «современной» и «прикладной». Такое противопоставление неправильно.

Во-первых, вся математика стоит на обширном фундаменте, и каждый математик должен быть знаком с основными классическими результатами. В частности, теория цепных дробей, представляющая раздел классической чистой математики, в настоящее время широко применяется для вычисления значений функций при помощи ЭВМ.

Во-вторых, в процессе развития науки многие старые разделы и теории теряют значение и засыхают, как ветви дерева. Многие, но не все! Есть теории, существующие много столетий (иногда даже тысячелетия) и тем не менее сохранившие свою актуальность. Цепные (раньше был принят термин «непрерывные») дроби — одно из самых совершенных творений математиков XVII—XVIII веков (Гюйгенса, Эйлера, Лагранжа, Лежандра). Знакомство с их свойствами поражает воображение.

При чтении этой книжки надо иметь в виду два обстоятельства.

1. В ней два разных уровня трудности: крупным шрифтом изложен легкий материал, а мелким — более трудный. Мелким шрифтом даются доказательства трудных теорем, и его можно пропустить без ущерба для понимания. В этом случае соответствующие теоремы придется принять на веру.

Но лучше его не пропускать!

Математика — не только занимательное чтение. Будущий математик (а также физик или инженер) должен приобрести опыт в проведении сложных выкладок и доказательств. Возьмите карандаш и бумагу и тщательно проработайте мелкий шрифт. Может быть, Вам удастся упростить некоторые доказательства или заменить их лучшими.

2. Теория цепных дробей весьма обширна. В этой книжке изложены лишь основные факты. Однако здесь есть все, что полезно знать каждому, интересующемуся математикой. Специалисты должны знать больше.

Ник. Веский, 1980 г.


Об авторе
top
photoБескин Николай Михайлович
Советский математик и педагог. Доктор физико-математических наук, профессор. Родился в Люблине (Царство Польское Российской империи). Учился в Москве, в единой трудовой школе на Знаменке и в Московском университете, где находился в «научном и личном поле» двух великих математиков — Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина. Всю жизнь преподавал математику в технических вузах. В 1945 г. был избран членом Московского математического общества; активно работал в секции втузов и в секции средней школы общества. С 1953 г. и до конца жизни преподавал в Московском электротехническом институте связи (МЭИС, ныне Московский технический университет связи и информатики, МТУСИ). Много лет сотрудничал с редакцией журнала «Математика в школе», вел кропотливую работу рецензента, с 1965 г. входил в состав редакционной коллегии журнала.

Научные интересы Н. М. Бескина в начале его деятельности относились к классической дифференциальной геометрии. В 1945 г. он сформулировал и доказал основную теорему центральной аксонометрии для трехмерного случая (аналог теоремы Польке—Шварца). После 1945 г. долго сотрудничал с Московским семинаром Н. Ф. Четверухина по начертательной геометрии. В последующие годы трудами Н. М. Бескина, а также его последователей и учеников сложилось научное направление, которое можно условно назвать теорией вырожденных отображений в пятимерном пространстве. Им было написано несколько неординарных книг по преподаванию математики для учителей и учащихся. Он также успешно выступал в роли популяризатора математики; его популярные книги переводились на английский, испанский и португальский языки.