Тер-Крикоров А.М. Оптимальное управление и математическая экономика № 11. Изд. 2, стереотип.

---

Предисловие к первому изданию				8
Глава 1. Некоторые основные сведения из теории линейных нормированных пространств				11
§ 1. Основные примеры линейных нормированных пространств				11
§ 2. Линейные операторы и функционалы				16
§ 3. Теорема Банаха —Хана о продолжении линейного функционала				20
§ 4. Слабая и слабая * сходимость				20
§ 5. Компактные множества. Вполне непрерывные операторы				23
§ 6. Производная оператора				25
§ 7 Замыкания по мере				31
Глава II. Выпуклые конусы и выпуклые множества в линейных нормированных пространствах				36
§ 1 Основные определения				36
§ 2. Теорема М. Г. Крейна о продолжении неотрицательного линейного функционала и ее следствия				37
§ 3. Теоремы отделимости для выпуклых множеств				40
§ 4. Регулярно-выпуклые множества в сопряженном пространстве				45
§ 5. Теория сопряженных конусов в л. н. п				52
Глава III Линейное программирование				56
§ 1 Конусы, связанные с линейными операторами				56
§ 2. Линейные неравенства				64
§ 3 Элементы теории линейного программирования в л. н. п				68
§ 4. Исследование замкнутости конусов, связанных с задачами линейного программирования				76
§ 5 Учет ограничений типа равенств				79
Глава IV. Вогнутое программирование				87
§ 1. Выпуклые функции и операторы				87
§ 2. Элементы выпуклого программирования в сопряженном пространстве				92
§ 3. Двойственные задачи выпуклого программирования				94
§ 4. О седловых точках функции Лагранжа				99
§ 5. Локальный экстремум в задачах более общего вида (невыпуклый случай)				100
Глава V. Сопряженные линейные задачи оптимального управления со смешанными ограничениями				105
§ 1. Постановка задачи				105
§ 2. Линейные дифференциальные операторы				107
§ 3. Сведение задач А и Б к двойственным задачам линейного программирования в банаховом пространстве				110
§ 4, Исследование замкнутости конуса, связанного с задачей А				115
§ 5 Необходимые условия оптимальности Принцип максимума Понтрягина				124
§ 6. Пример на построение оптимальных управлений				127
§ 7. Достаточные условия оптимальности				130
§ 8. Общий случай				131
§ 9 Учет ограничений типа равенств				140
Глава VI. Выпуклые задачи оптимального управления со смешанными ограничениями				148
§ 1. Постановка задачи				148
§ 2. Необходимые условия оптимальности				152
§ 3. Принцип максимума Понтрягина				156
Глава VII. Задачи оптимального управления с дискретным временем на бесконечном интервале				159
§ 1. Постановка задачи (линейный случай)				159
§ 2. Формулировка двойственной задачи				161
§ 3. Необходимые условия оптимальности в линейном случае				165
§ 4. Общий случай линейной задачи				167
§ 5 Выпуклые задачи				176
Глава VIII Динамические модели производства леонтьевского типа				183
§ 1. Модель Леонтьева «затраты — выпуск»				183
§ 2. Динамическая модель производстваЛеонтьева				184
§ 3. Сведение задачи Л к стандартной задаче оптимального управления				187
§ 4. Двойственная задача Л				188
§ 5. Экономическая интерпретация двойственной задачи				190
§ 6. Необходимые условия оптимальности и их эконо мическая интерпретация				192
§ 7. Модель леонтьевского типа с запасами (я-модель)				197
§ 8, Дискретные задачи планирования на бесконечном интервале времени				203
§ 9. Сбалансированный рост				208
Комментарии				211
Литература				215

---

Многие задачи техники и математической экономики приводятся к задачам оптимального управления со смешанными ограничениями на управления и фазовые переменные. В классическом случае, когда есть только ограничения на область управления и нет смешанных ограничений, необходимые (а в линейном случае и достаточные) условия оптимальности дает принцип максимума Понтрягина. Он же является основой для построения многих вычислительных методов теории оптимального управления. Простота формулировки делает принцип максимума Понтрягина весьма привлекательным, во многих работах прикладного характера принцип максимума Понтрягина механически записывался и для задачи со смешанными ограничениями, что позволяло делать содержательные выводы о свойствах оптимальных траекторий. К сожалению, вообще говоря, писать принцип максимума для задач со смешанными огра-ничениями в форме Понтрягина нельзя. В работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина для чрезвычайно общего класса задач со смешанными ограничениями был правильно сформулирован и доказан принцип максимума. В его формулировку входят меры, имеющие сложную связь с оптимальной траекторией. Эти же авторы выделили класс регулярных задач, для которых меры не возникают. Многие важные задачи математической экономики не являются регулярными. Это побудило автора исследовать довольно узкий в рамках общей задачи класс задач, не являющихся регулярными, но обладающих тем свойством, что в формулировку принципа максимума для них не входят меры. Многие задачи математической экономики попадают в рассмотренный автором класс. Метод исследования основан на теории линейного и выпуклого программирования в линейных нормированных пространствах. В первых главах излагается соответствующая теория.

Линейная задача оптимального управления со смешанными ограничениями приводится к задаче линей-ного программирования в пространстве, сопряженном пространству Банаха. Это естественным образом приводит к рассмотрению некоторой двойственной задачи оптимального управления. Необходимые условия можно записать в форме Понтрягина, если некоторый конус, связанный с оптимальной траекторией, замкнут. Находятся легко проверяемые условия замкнутости этого конуса. В тех случаях, когда не удается доказать замкнутость конуса, принцип максимума записывается в форме Дубовицкого и Милютина. При этом используются некоторые элементы мощного аналитического аппарата, разработанного в работах Дубовицкого и Милютина. Автор имел возможность слушать лекции А. Я. Дубовицкого и вести с ним беседы в течение довольно длительного времени в ВЦ АН СССР и выражает ему свою самую искреннюю благодарность.

Рассматриваются гладкие выпуклые задачи. Исследование необходимых условий оптимальности в этом случае приводится к написанию условий оптимальности для некоторой линейной задачи, связанной с исходной.

Исследуются также дискретные экстремальные задачи со смешанными ограничениями на бесконечном интервале времени. Они также естественно приводятся к задачам линейного и выпуклого программирования в банаховом пространстве. Необходимые условия оптимальности имеют форму принципа максимума Понтрягина. Дискретные задачи оказываются существенно более простыми, чем задачи с непрерывным временем.

Полученные результаты применяются для исследования динамических моделей производства леонтьев-ского типа. Показывается, что при достаточно простых и естественных условиях принцип максимума для таких задач может быть записан в форме Понтрягина. Дается возможная экономическая интерпретация двойственной задачи как задачи об оптимальных ценах.

Основой книги послужили лекции, прочитанные автором по инициативе Н. Н. Моисеева в Четвертой Всесоюзной школе по методам оптимизации в г. Тольятти в 1971 г. Мне чрезвычайно приятно выразить тут свою признательность Н. Н. Моисееву за постоянное внимание и благожелательное отношение к настоящей работе.

При написании книги автору была полезна возможность дискуссий и научного общения с А. А. Петровым, А. Н. Дюкаловым, А. А. Левиковым, А. В. Лотовым, В. Ю. Лебедевым, А. А. Белолипецким, Ю. Бродским. Выражаю им искреннюю благодарность.

А. Тер-Крикоров, 1977 г.

---