Боровков А.А. Теория вероятностей Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Настоящее издание существенно отличается от предыдущего. С момента выхода в свет последних двух изданий накопилось довольно много соображений, связанных с возможностью усовершенствования некоторых глав книги. Кроме того, были выявлены возможности для доступного изложения ряда новых разделов теории вероятностей, ранее в учебной литературе отсутствовавших, но представляющих несомненный интерес для приложений и отражающих актуальные направления развития современной теории вероятностей. Все это и привело к необходимости очередной переработки книги. В результате в нее внесено много методологических изменений и добавлено много нового материала, что делает книгу более цельной, логически стройной и полной. Мы назовем здесь лишь наиболее значительные изменения в том порядке, в каком они идут в тексте книги.

Существенно переработан § 4.4 "Математическое ожидание сумм случайного числа случайных величин". Добавлены широкие достаточные условия, обеспечивающие справедливость тождества Вальда. Приведен пример, показывающий, что, если слагаемые разнораспределены, то тождество Вальда может не иметь место даже в случае, когда его правая часть имеет смысл. Позже в теореме 11.3.3 доказано, что для одинаково распределенных слагаемых тождество Вальда справедливо всегда, когда его правая часть имеет смысл.

В § 6.1  построен критерий равномерной интегрируемости последовательности случайных величин, который упрощает использование этого понятия. Из него сразу следует, например, равномерная интегрируемость взвешенных сумм равномерных интегрируемых величин.

§ 7.2, посвященный формулам обращения, значительно расширен и пополнен утверждениями, полезными для доказательства интегро-локальных предельных теорем в § 8.7.

В главу 8 добавлены интегро-локальные предельные теоремы для сумм одинаково распределенных случайных величин (§ 8.7, 8.8). Эти теоремы, являясь значительно более точными утверждениями по сравнению с интегральными теоремами, не требуют дополнительных условий и играют важную роль при изучении вероятностей больших уклонений в гл.9.

Написана новая глава (гл.9) о вероятностях больших уклонений сумм случайных величин, в которой дано систематическое и весьма полное изложение теории больших уклонений как при выполнении условия Крамера (быстрое убывание распределений на бесконечности), так и при его отсутствии. Получены как интегральные, так и интегро-локальные теоремы. Установлен принцип больших уклонений.

В главу 10 (в новой нумерации) "Процессы восстановления" добавлены утверждения для разнораспределенных случайных величин. К ним относятся теоремы восстановления, а также закон больших чисел и центральная предельная теорема для процессов восстановления. Написан новый раздел об обобщенных процессах восстановления.

В главу 11 добавлено обобщение усиленного закона больших чисел Колмогорова на случай разнораспределенных слагаемых, имеющих лишь первый момент. Написан также новый параграф "Усиленный закон больших чисел для обобщенных процессов восстановления".

Глава 12 "Случайные блуждания и факторизационные тождества" существенно переработана. Добавлен ряд новых разделов: об отыскании компонент факторизации в явном виде, об асимптотических свойствах распределения супремума последовательных сумм и обобщенных процессов восстановления, о распределении времен первого прохождения.

В главу 13, посвященную цепям Маркова, добавлен раздел "Закон больших чисел и центральная предельная теорема для сумм случайных величин, заданных на цепи Маркова".

Написаны три новых Приложения (под номерами 6, 7, 8): "Основные свойства правильно меняющихся функций и субэкспоненциальных распределений", "Доказательство теорем о сходимости к устойчивым законам", "Оценки сверху и снизу для распределений сумм и максимума сумм независимых случайных величин".

Как уже отмечалось, это лишь наиболее серьезные изменения; есть и много других. Устранено много опечаток и иных погрешностей. Процесс появления опечаток и описок по ходу книги (увы, они неизбежны) является случайным и хорошо описывается пуассоновским процессом в качестве математической модели (определение пуассоновских процессов см. в главах 10, 19). Важной характеристикой качества книги является интенсивность этого процесса. К сожалению, в двух последних изданиях книги (1999 и 2003 гг.) эта интенсивность, как мне кажется, превзошла некоторый допустимый уровень. Не снимая ответственности с автора, я все же допускаю, что это обусловлено в какой-то мере и тем, что выход в свет этих изданий пришелся на период некоторого упадка издательского дела в стране, связанного, конечно, с общим положением дел в экономике в то время (в изданиях 1972, 1976, 1986 гг. такого брака было значительно меньше).

Перед тем как приступить к работе над новым изданием я обратился к моим коллегам по лаборатории в институте математики и по кафедре в университете с просьбой подготовить мне списки всех замеченных опечаток и иных погрешностей, а также предложения по поводу улучшения изложения. Я очень признателен всем, кто такие сведения мне предоставил. Особую благодарность я хотел бы выразить И.С.Борисову, В.И.Лотову, А.А.Могульскому, С.Г.Фоссу, предложившим, кроме того, ряд методологических усовершенствований.

Я глубоко признателен также Т.В.Беляевой за неоценимую помощь по набору нового текста и многочисленных переделок. Без этой помощи работа над новым изданием была бы делом гораздо более трудным.

Предисловие к третьему и четвертому изданиям

Настоящая книга написана на основе книги "Теория вероятностей", вышедшей в 1986 году в издательстве "Наука" (г.Москва). Многие разделы подверглись значительной переработке, появились новые главы. Автором руководило при этом стремление к более совершенному и связному изложению, к более простым и наглядным доказательствам. Изданию 1986 года предшествовали еще два издания (1972 и 1976 годов). Первое из них появилось как обработка курсов лекций, которые читались автором на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета. Каждое новое издание учитывало замечания читателей и пополнялось новыми разделами, которые делали изложение более цельным и полным.

Предполагается, что читатели в дополнение к традиционному курсу математического анализа знакомы также с элементами теории меры и, в частности, с понятием интеграла по мере на абстрактном пространстве и с его простейшими свойствами. Однако отсутствие этих дополнительных знаний не помешает успешному освоению книги, если только читатель будет готов некоторые утверждения принять не в их максимально общей форме. Есть и другая возможность. Читатель полностью избежит затруднений, если он при чтении соответствующих разделов ознакомится с краткими приложениями, которые помещены в конце книги и в которых получены все необходимые результаты.

Первые 10 глав книги посвящены основаниям теории вероятностей (включая основные предельные теоремы для сумм растущего числа случайных величин), и их лучше читать подряд. Дальнейшие главы излагают более специальные разделы теории вероятностей, среди которых можно выделить 2 блока: случайные процессы с дискретным временем (случайные последовательности: главы 12, 14–16) и случайные процессы с непрерывным временем (главы 17–21).

В книге есть также главы, которые стоят несколько в стороне от основного русла изложения, намеченного выше. К ним относится глава 11 "Факторизационные тождества", которая не только предлагает ряд очень полезных вероятностных результатов, но и обнаруживает интересные связи задач о случайных блужданиях при наличии границ с граничными задачами теории функций комплексного переменного. Несколько в стороне стоят также главы 13 "Информация и энтропия" и 19 "Функциональные предельные теоремы". Проблемы первой из них тесно связаны с теорией вероятностей, но они появляются в книгах по этой дисциплине крайне редко. Вторая излагает предельные теоремы о сходимости процессов, порожденных последовательными суммами случайных величин, к винеровскому и пуассоновскому процессам; там же устанавливается в качестве следствия закон повторного логарифма.

Книга содержит много методологических усовершенствований. Некоторые разделы публикуются в учебной монографической литературе впервые (такие, например, как глава 16 о стохастически рекурсивных последовательностях, играющих важную роль в приложениях).

Книга может служить основой учебных курсов для студентов, обладающих достаточно хорошей математической подготовкой (скажем, в рамках двух лет математических специальностей университетов), а также для аспирантов. Приведем перечень разделов, которые могут составить (вариантов тут может быть много) содержание семестрового или полуторасеместрового курса теории вероятностей. Вот один из вариантов: главы 1,2; § 1–4 главы 3; § 1–6 главы 4 (частично); § 2,4 главы 5 (частично); § 1–3 главы 6 (частично);§ 1,2,4–6 главы 7;§ 1,2,4 главы 8 ( § 4 частично);§ 1,3 главы 10; основные результаты из главы 12.

В процессе работы над изданиями этой книги я получал советы и помощь от многих моих коллег и друзей. Я благодарен Ю.В.Прохорову, В.В.Петрову и Б.А.Рогозину за многие полезные советы, которые помогли улучшить первый вариант книги. Я глубоко признателен А.Н.Колмогорову, чьи замечания и ценные рекомендации, особенно методологического характера, способствовали усовершенствованию второго варианта книги. В связи со вторым и третьим вариантами я вновь обязан В.В.Петрову, сообщившему мне свои замечания, и П.Франкену, с которым я имел много полезных обсуждений при переводе книги на немецкий язык.

В заключение я хотел бы поблагодарить В.В.Юринского, А.И.Саханенко, К.А.Боровкова и других моих коллег, также сообщивших мне свои замечания по рукописи. Мне хотелось бы поблагодарить здесь всех, кто тем или иным образом содействовал подготовке и улучшению книги.

Вниманию читателя!

Нумерация формул, лемм, теорем, следствий, замечаний и подразделов в каждом параграфе самостоятельная и состоит из двух цифр, первая из которых означает номер параграфа. При ссылке на материал из других глав добавляется третья цифра, указывающая номер главы. Например, ссылка на формулу (6.11) означает формулу (6.11) той главы, которую Вы читаете, а ссылка (5.3.2) означает формулу (3.2) главы 5, если Вы читаете не пятую главу. Аналогично, теорема 4.3.1 означает теорему 3.1 (из § 3) главы 4, если Вы читаете не четвертую главу. В главе 4 эта теорема будет носить номер 3.1. § 6.2 означает § 2 главы 6.

Значок в конце абзаца означает окончание доказательства или некоторого значимого рассуждения, когда нужно отметить, что оно закончено. Параграфы, отмеченные звездочкой, а также тексты, набранные мелким шрифтом, при первом чтении книги можно опустить.

Соотношение :=, систематически используемое в книге, означает, что левая его часть по определению полагается равной правой части. Соотношение =: имеет обратный смысл: правая его часть по определению полагается равной левой.

При чтении книги могут оказаться полезными Список основных обозначений и Предметный указатель, помещенные в конце книги.

Введение

1. Возникновение теории вероятностей относят обычно к XVII веку и связывают с комбинаторными задачами азартных игр. Азартные игры трудно считать серьезным занятием. Но именно они привели к задачам, которые не укладывались в рамки существовавших тогда математических моделей и стимулировали тем самым введение новых понятий, подходов и идей. Эти новые элементы можно встретить уже у Ферма, Паскаля, Гюйгенса и, в более развитой форме, чуть позже, у Якоба Бернулли, Лапласа, Гаусса и др. Имена перечисленных ученых, безусловно, украшают родословную теории вероятностей, в какой-то мере связанную, как мы видели, с пороками общества. Впрочем, как выяснилось, иногда именно это обстоятельство может сообщать ей в глазах читателей некоторую дополнительную привлекательность.

Первым руководством по теории вероятностей был трактат Гюйгенса "О расчетах в азартной игре", вышедший в 1657 году. Предмет этого трактата тот же, что и в работах Ферма и Паскаля: игральные кости и карточные игры (см. задачи в рамках главы 1). Словно предвидя дальнейшее развитие событий, Гюйгенс писал: "Я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории". Трактат Гюйгенса, известный также тем, что в нем впервые вводится понятие математического ожидания, был включен позднее Якобом Бернулли в знаменитую книгу "Искусства предположений", опубликованную уже после его смерти в 1713 году. С этой книгой связаны понятие схемы Бернулли (см.  главы 1) и доказательство первой предельной теоремы теории вероятностей – закона больших чисел. Доказательство Бернулли хотя и громоздко (ср. с  главы 5), но математически безупречно.

В конце XIX и начале XX века стали возникать более серьезные проблемы, порожденные нуждами естествознания и приведшие к развитию большого, в значительной мере самостоятельного раздела математики, именуемого сегодня теорией вероятностей. Эта область знаний вплоть до настоящего времени находится в состоянии интенсивного развития. Своей стройностью, современной формой и многими своими достижениями теория вероятностей во многом обязана трудам наших замечательных соотечественников П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, А.Н.Колмогорова и др.

То обстоятельство, что увеличение наших знаний о природе предъявляет все новые требования к теории вероятностей, на первый взгляд представляется парадоксом. Ведь основной объект теории вероятностей, как читатель, по-видимому, уже знает, есть случайность или неопределенность, как правило, связанная с незнанием. Именно так обстоит дело в классическом примере с подбрасыванием монеты, где трудно учесть все факторы, влияющие на положение монеты после падения.

Однако отмеченный парадокс является лишь видимым. На самом деле точных, детерминированных количественных законов в природе почти не существует. Скажем, классический пример таких законов – закон о зависимости давления газа от его температуры – есть на самом деле результат вероятностного характера о числе соударений частиц о стенки сосуда и их скоростях. Просто в области обычных температур и давлений случайные отклонения, которые тут имеют место, с большой вероятностью очень малы и не регистрируются нашими приборами. Иначе обстоит дело при изучении более редких потоков частиц, скажем, космического излучения, хотя качественной разницы между этими двумя примерами нет.

Можно пойти и в несколько ином направлении и указать на принцип неопределенности, в силу которого для любой пары физических характеристик, связанных этим принципом, фиксация одной из них делает невозможным точное определение другой. Тут уже случайность появляется не как следствие недостаточности наших знаний, а как принципиальное явление и отражение природы вещей. Например, время жизни радиоактивного ядра случайно по существу, и эта случайность не может быть устранена увеличением наших познаний.

Таким образом, неопределенность стояла в начале процесса познания, она будет стоять и на всем пути его. Эти замечания носят, конечно, общий характер. Но вопрос о том, когда следует применять методы теории вероятностей и когда нет, по-видимому, всегда будет определяться соотношением между степенью точности, с которой мы хотим изучать данное явление, и сведениями о его природе, которыми мы располагаем.

2. Почти во всех областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда те или иные эксперименты или наблюдения могут быть повторены большое число раз в одинаковых условиях. Теорию вероятностей интересуют те эксперименты, результат которых, выраженный каким-либо образом, может меняться от опыта к опыту. События, относящиеся к результату эксперимента, которые при этом могут происходить или не происходить, называют обычно случайными событиями.

Мы можем, например, подбрасывать монету. Эксперимент имеет всего два исхода: монета падает либо гербом вверх, либо решеткой. При этом до получения результата эксперимента нельзя сказать, какой именно исход осуществится. Как уже отмечалось, это происходит оттого, что мы практически не в состоянии учесть все факторы, влияющие на положение монеты в момент падения. Примерно то же самое будет происходить, если вы при каждой лотерее будете покупать один билет и будете пытаться предугадать, выиграет он или нет. Или, наблюдая за работой достаточно сложного механизма, будете пытаться заранее определить, выйдет он из строя до назначенного срока или после. В таких ситуациях при рассмотрении результатов отдельных экспериментов бывает очень трудно обнаружить какие-либо закономерности. И, стало быть, здесь мало оснований строить какую-либо теорию.

Однако, если обратить внимание на последовательность большого числа такого рода одинаковых экспериментов, то обнаружится интересное явление. Если индивидуальные результаты опытов ведут себя "неправильно", то средние результаты обнаруживают устойчивость. Будем, например, повторять наш эксперимент с подбрасыванием монеты и обозначим через n_г число выпадений герба после первых n испытаний. Построим следующий график: на оси абсцисс отложим число проведенных экспериментов, а на оси ординат – отношение n_г/n (рис.; график построен для последовательности исходов грргрргггрггр, где г – герб, р – решетка).

Мы заметим, что ломаная, соединяющая точки (n,n_г/n), с ростом n очень быстро прижимается к прямой n_г/n=1/2. Чтобы проверить это обстоятельство, Бюффон в XVIII веке провел 4040 подбрасываний монеты. Из них герб выпал 2048 раз, так что частота выпадения герба n_г/n оказалась равной 0,508. Пирсон провел 24000 бросаний монеты; герб выпал 12012 раз, n_г/n=0,5005.

Оказывается, это явление имеет общий характер: частота осуществления какого-либо исхода в последовательности повторяемых в одинаковых условиях экспериментов приближается к некоторому числу p принадлежит [0,1] при росте числа экспериментов. Это объективный закон природы, который лежит в основе теории вероятностей.

Естественно было бы принять за вероятность некоторого исхода в эксперименте как раз то число p, к которому приближается частота появления этого исхода. Но такое определение вероятности (его связывают обычно с именем Мизеса) оказывается неудобным. Причина, прежде всего, в том, что на самом деле мы каждый раз будем иметь не бесконечную последовательность частот, а только конечное число ее элементов. Получить всю последовательность невозможно. В связи с этим частота (пусть это будет снова {n_г/n}) появления некоторого исхода при проведении одной серии экспериментов будет, как правило, отличаться от частоты появления того же исхода при другой серии экспериментов.

Это обстоятельство породило бурное обсуждение и большие разногласия по поводу того, как все-таки надо определять понятие вероятности. К счастью, существовал класс явлений, обладающих известной "симметрией" (в азартных играх, в опытах с бросанием монеты и проч.), для которых можно было заранее, до опыта, определить ожидаемые числовые значения вероятностей. Если взять, например, куб, сделанный из достаточно однородного материала, то нет никаких причин, по которым бы он чаще падал на какую-то одну, а не на любую другую грань. Поэтому естественно ожидать, что при большом числе n бросаний игральной кости частота выпадения каждой из граней будет близка к 1/6. Исходя из этих соображений Лаплас, например, считал, что основополагающим в теории вероятностей является понятие равновозможности. При этом вероятность события определялась как отношение числа "благоприятных" исходов к общему их числу. Например, вероятность выпадения при одном бросании кости, скажем, нечетного числа очков (т.е., 1, 3 и 5) объявлялась равной 3/6 (т.е. число "нечетных" граней делилось на число всех граней). Если число бросаний кости было 10, то в знаменателе появится 6¹⁰, так как именно столько в этом случае будет равновозможных исходов, а вычисление вероятности сводится к подсчету числа "благоприятных исходов" (при которых происходит рассматриваемое событие).

С того момента, когда вероятность стали определять как отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов и началось развитие математической теории вероятностей, а сам этот подход к определению вероятности позже стали называть "классическим" (подробнее об этом см. в гл.1).

Позже, в начале XX века, началась жесткая критика этого подхода за его ограниченность. Инициатором ее был Мизес. Как уже отмечалось, концепция Мизеса исходила из постулирования устойчивости частот появления событий при проведении экспериментов. Здесь происходило смешение физических представлений и математических. Предельный переход не может быть основанием для определения понятия "вероятности". Если бы, например, сближение n_г/n с пределом, равным 1/2 на рис. было бы слишком медленным, то это означало бы, что значение этого предела в общем (не "классическом") случае никто никогда не мог бы обнаружить. Ясно, что здесь кроется уязвимое место: получалось, что вся теория вероятностей относится лишь к тем случаям, когда предел частоты существует. А почему он существует, неизвестно, и это не обсуждалось.

В связи со сказанным, концепция Мизеса, в свою очередь, подверглась острой критике со стороны многих математиков, среди которых были Хинчин, Бернштейн, Колмогоров и др. Несколько позднее был предложен новый подход, который оказался плодотворным для развития математической теории вероятностей. В общих чертах он был намечен С.Н.Бернштейном в 1908 году.

В 1933 году вышла в свет знаменитая, очень небольшая по объему книга А.Н.Колмогорова "Основные понятия теории вероятностей", в которой ясно и полно излагалась аксиоматика теории вероятностей. Общая конструкция понятия вероятностей, основанная на аксиоматике Колмогорова, сняла все препятствия для развития математической теории вероятностей и является сегодня общепринятой.

Появление аксиоматической теории вероятностей явилось решением 6-й проблемы Гильберта (в части, касающейся теории вероятностей), которая была сформулирована им в 1900 году на Втором математическом конгрессе в Париже и ставила задачу аксиоматизации ряда физических наук, к которым Гильберт относил тогда и теорию вероятностей.

Аксиоматика отделяет математическую сторону дела от физической – более не требуется объяснять, как и откуда берется понятие вероятности; оно просто кладется в основу путем формального описания его свойств с помощью аксиом (по сути аксиом теории меры). При этом, правда, остается открытой проблема об отношении так определяемой вероятности к реальному миру, т.е. проблема приложений. Однако эта проблема во многом снимается тем замечательным фактом, что при аксиоматическом построении имеет место и приобретает точную форму желаемое фундаментальное свойство частоты появления события – свойство сходиться с ростом числа испытаний к вероятности этого события. (Подробнее об этом см. в гл.2,5.)

Мы определим вероятность сначала в несколько упрощенной ситуации – в так называемом дискретном случае.

Об авторе

Боровков Александр Алексеевич

Математик, специалист в области теории вероятностей и математической статистики. Доктор физико-математических наук, профессор. Член-корреспондент (1966), действительный член (1990) АН СССР (ныне РАН). В 1954 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1959 г. — аспирантуру Математического института имени В. А. Стеклова АН СССР. С 1960 г. работает в Институте математики имени С. Л. Соболева СО РАН, с 2003 г. — советник РАН. С 1961 г. преподает в Новосибирском государственном университете (НГУ). В 1963 г. А. А. Боровковым был основан отдел теории вероятностей и математической статистики в Институте математики; в 1966 г. — кафедра того же наименования в НГУ. Эти подразделения А. А. Боровков возглавлял более 30 лет. Основные научные результаты получены А. А. Боровковым в граничных задачах теории вероятностей, в области предельных теорем для случайных процессов и их приложений и др.

А. А. Боровков — автор около 300 научных работ, в том числе свыше 10 монографий и учебных пособий для университетов. Основал журналы «Siberian Advances in Mathematics» и «Математические труды», возглавлял их более 20 лет; является членом редколлегий журналов «Теория вероятностей и ее применения», «Сибирский математический журнал».

Заслуги А. А. Боровкова отмечены Государственной премией СССР (1979), премией РАН им. А. А. Маркова (2003), премией правительства РФ в области образования (2003), премией РАН им. А. Н. Колмогорова (2013), орденами и медалями СССР и Российской Федерации.