Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы.
(Меры и псевдомеры. Интегралы Фейнмана. Представление решений дифференциальных уравнений континуальными интегралами). Изд. 2, перераб. и сущ. доп.

2024. 328 с.

Серия: Классический учебник МГУ

Белая офсетная бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 1341 р. ››

Меры и псевдомеры на векторных пространствах • Определения интегралов Фейнмана • Представление решений дифференциальных уравнений функциональными интегралами • Формулы Фейнмана и их применения.

Аннотация

В книге рассматриваются математические задачи, связанные с одним из центральных объектов математической физики и бесконечномерного анализа — континуальным, или функциональным, интегралом. Его наиболее важный для приложений в квантовой теории вариант носит название интеграла Фейнмана; именно ему и уделяется основное внимание в книге. Континуальные интегралы — это интегралы по бесконечномерным пространствах функций; их значение определяется... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				\|III
1 Меры и псевдомеры на векторных пространствах				1
1 Цилиндрические подмножества векторных пространств				1
2 Цилиндрические меры				11
3 Мера Винера				28
4 Псевдомеры				37
5 Признак счетной аддитивности цилиндрических мер				41
6 Меры на топологических пространствах				70
2 Определения интегралов Фейнмана				107
1 Интегралы Фейнмана как пределы кратных интегралов				107
2 Два класса функций, интегрируемых по псевдомере Фейнмана				126
3 Аналитические продолжения гауссовских интегралов				148
4 Класс функций, интегрируемых по псевдомере Фейнмана				168
5 Определение интегралов Фейнмана равенством Парсеваля				176
3 Представление решений дифференциальных уравнений функциональными интегралами				184
1 Лагранжевы функциональные интегралы для решения уравнения Шредингера в конфигурационном пространстве				184
2 Гамильтоновы функциональные интегралы для уравнения Шредингера				201
3 Потенциалы, являющиеся полиномами четвертого порядка; случай бесконечномерного пространства				243
4 Интеграл по траекториям для решения конечномерного уравнения Шредингера с полиномиальным потенциалом				250
Дополнения: Формулы Фейнмана и их применения				254
1 Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца				254
2 Формулы Фейнмана для эволюционных уравнений				255
3 Формулы Фейнмана и самосопряженные расширения				258
4 Поверхностные меры				260
5 Формулы Фейнмана для регуляризованных следов дифференциальных операторов				263
6 Открытые квантовые системы				267
7 Обобщенные плотности и преобразования псевдомер Фейнмана				270
8 Системы Гамильтона-Дирака				271
9 Функциональные интегралы для уравнений относительно функций p-адического аргумента				272
10 Список определений псевдомер (=интегралов) Фейнмана				274
11 Направления дальнейших исследований				282
Литература				285

Об авторах

Смолянов Олег Георгиевич

Доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончил радиотехнический факультет Московского авиационного института (МАИ), очень популярного в годы триумфа советской космической программы. За полгода до окончания МАИ поступил на заочное отделение механико-математического факультета МГУ, которое окончил менее чем за три года (одновременно работая на одном из предприятий космической отрасли), после чего окончил аспирантуру отделения математики механико-математического факультета.

Является автором около 250 научных статей, трех монографий и учебника "Действительный и функциональный анализ" (2009 и 2011; в соавт. с В. И. Богачевым). Среди этих статей есть как работы по "чистой" математике: теории топологических векторных пространств, теории меры, теории случайных процессов, стохастическому анализу на римановых многообразиях, p-адическому анализу, суперанализу, нестандартному анализу, дифференциальным уравнениям, — так и работы по различным областям математической физики и ее приложений: радиофизике, квантовой теории, функциональному интегрированию, интегралам Фейнмана, статистической механике, квантовому управлению. В одной из них была предложена конструкция объекта, который стал называться поверхностной мерой О. Г. Смолянова. В других были решены проблемы, поставленные или обсуждавшиеся Дьедонне, Лораном Шварцем, Гротендиком, Кёте, Келли, Птаком, И. Пригожиным, Ф. А. Березиным, Брайсом де Виттом, Онзагером, Сесиль де Витт-Моретт, Фейнманом. Почти все эти работы связаны с бесконечномерным анализом, одним из основоположников которого является О. Г. Смолянов. Более сорока учеников О. Г. Смолянова защитили кандидатские диссертации; не менее 9 из них стали докторами наук.

Шавгулидзе Евгений Тенгизович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Окончил механико-математический факультет МГУ и аспирантуру отделения математики. Является автором около 100 научных работ в различных областях математики и квантовой физики.