|
Список обозначений От автора Введение Глава 1. Уравнения Дирака-Максвелла 1.1. Пространство Минковского и тензорные поля 1.2. Уравнения Дирака-Максвелла в пространстве Минковского 1.3. Зарядовое сопряжение спиноров Дирака Глава 2. Модельные уравнения Дирака-Максвелла 2.1. Модельная система уравнений Дирака-Максвелла 2.2. Модельные уравнения Дирака-Максвелла с калибровочной псевдоунитарной симметрией 2.3. Формула для Сu 2.4. Спиноризация модельных уравнений Глава 3. Алгебры Клиффорда 3.1. Группы, векторные пространства, алгебры 3.2. Алгебры Грассмана A(n) 3.3. Алгебры Клиффорда Сl(р, q) 3.4. Клиффордово умножение элементов алгебры Грассмана 3.5. Коммутаторы и антикоммутаторы 3.6. Теорема о свертке генераторов 3.7. Операторы сопряжения 3.8. Структура унитарного (или евклидова) пространства на алгебрах Клиффорда 3.9. Эрмитовы идемпотенты и смежные структуры 3.10. Нормальные представления элементов алгебр Клиффорда в виде комплексных матриц 3.11. Матричные представления алгебры Cl(1,3) 3.12. Другие матричные представления алгебры Сl{1,3) 3.13. Вторичные генераторы алгебры Сl(1,3) 3.14. Простейшие операции над элементами алгебры Сl(1,3)
3.15. Множество Сleoo (1,3)
Глава 4. Группы и алгебры Ли, связанные с алгебрами Клиффорда
4.1. Унитарная группа алгебры Клиффорда
4.2. Случай алгебры Клиффорда Cl(1,3)
4.3. Псевдоунитарная группа алгебры Клиффорда
4.4. Симплектическая подгруппа псевдоунитарной группы
4.5. Спинорные и ортогональные группы
4.6. Две экспоненты от элементов второго ранга
4.7. Группы Pin(l,3), Pin+(1,3), Spin(l,3) и Spin+(1,3)
4.8. Унитарные подгруппы псевдоунитарной, симплектической и спинорных групп
Глава 5. Модельные уравнения теории поля в формализме алгебры Клиффорда
5.1. Тензоры со значениями в алгебре Клиффорда
5.2. Уравнения Янга-Миллса
5.3. Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса
5.4. Гамильтонова форма модельных уравнений Дирака-Максвелла
5.5. Локализация псевдоунитарной симметрии
5.6. Модельные уравнения с двумя полями Янга-Миллса
5.7. Полудивергентный вид модельного уравнения Дирака
5.8. Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса с локальной спинорной симметрией
5.9. Операция зарядового сопряжения
Глава 6. Модельные уравнения на псевдоримановом многообразии
6.1. Псевдориманово спинорное многообразие
6.2. Модельные уравнения на псевдоримановом многообразии
6.3. Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией на псевдоримановом многообразии
Глава 7. Модельные уравнения в формализме алгебры Атьи-Кэлера
7.1. Дифференциальные формы и тетрада на спинорном многообразии
7.2. Тензоры со значениями в алгебре Атьи-Кэлера
7.3. Унитарные, псевдоунитарные и спинорные группы в формализме алгебры Атьи-Кэлера
7.4. Формальные частные производные Du
7.5. Операторы *, d, 5
7.6. Связь спинорного многообразия X1,3 с пространствами Ри-мана-Картана
7.7. Формальные ковариантные производные
7.8. Модельные уравнения с псевдоунитарной симметрией
7.9. Модельные уравнения с локальной спинорной симметрией
Глава 8. Модельные уравнения теории поля в матричном формализме
8.1. Модельные уравнения Дирака-Максвелла
8.2. Связь между стандартными и модельными уравнениями Дирака-Максвелла
8.3. Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса
8.4. Модельные уравнения Дирака-Янга-Миллса с локальной псевдоунитарной симметрией
8.5. Модельные уравнения с двумя полями Янга-Миллса
8.6. Модельная система уравнений со спинорной локальной симметрией
Глава 9. Специальные модельные уравнения
9.1. Основная идея
9.2. Алгебры Ли антиэрмитовых дифференциальных форм
9.3. Основные уравнения
9.4. Неабелевы законы сохранения заряда
9.5. Унитарная и спинорная калибровочные симметрии
Глава 10. Амплитуда в релятивистских уравнениях поля
10.1. Модельные уравнения Дирака-Максвелла с локальной спинорной симметрией
10.2. Специальные модельные уравнения Дирака-Максвелла
10.3. Фиксация спинорной калибровки
10.4. Частный случай аu = 0
Глава 11. Дополнения
11.1. Ковариантные преобразования и симметрии модельных уравнений
11.2. Формулы для коммутаторов и антикоммутаторов
11.3. Матричные представления генераторов алгебр Клиффорда
11.4. Выражение компонент тетрады через компоненты метрического тензора
11.5. Алгебраические операции над тензорами
11.6. Гипотезы
11.7. P.S
Литература
Предметный указатель
От автора
 Работа, результаты которой отражены в книге, носит поисковый характер. Начало работы можно отнести к 1983 году. Рассматривая некоторый вопрос теории симметрических гиперболических по Фридрихсу систем уравнений первого порядка, я придумал новое умножение неоднородных дифференциальных форм, котороезадаетнамножестведифференциальных форм структуру алгебры Клиффорда. Позже узнал, что эта конструкция была предложена Е. Келером (1962) и переоткрыта М. Атьи (1970). В литературе она называется алгеброй Атьи–Келера. Важный рубеж в работе и жизни составила командировка в Индию (Indian Institute of Science, 1992-1994), где я начал систематические исследования, направленные на применение алгебры Клиффорда и алгебры Атьи–Келера к уравнению Дирака. В литературе удалось найти три уравнения, аналогичные (или эквивалентные) уравнению Дирака и использующие алгебру Клиффорда или алгебру Атьи–Келера. Вместе со стандартным уравнением Дирака получился следующий список из четырех уравнений: • стандартное уравнение Дирака (1928), в нем используются матрицы и спиноры; • уравнение Дирака–Рисса (1947), в нем используются элементы алгебры Клиффорда и левые идеалы; • уравнение Дирака–Хестенеса (1967), в нем используются четные элементы алгебры Клиффорда; • уравнение Иваненко–Ландау–Келера (1928, 1962), в нем используются неоднородные дифференциальные формы. Первые три уравнения из этого списка эквивалентны друг другу, тогда как уравнение Иваненко–Ландау–Келера не эквивалентно трем указанным уравнениям т.к., во-первых, волновая функция в нем имеет 16 комплексных компонент (по сравнению с 4 в уравнении Дирака) и, во-вторых, волновая функция представляется неоднородной дифференциальной формой (т.е. описывается тензорными величинами), тогда как волновая функция уравнения Дирака является спинором. Цель работы состояла в том, чтобы на основе анализа общего и различий уравнения Иваненко–Ландау–Келера по сравнению с первыми тремя уравнениями, попытаться найти такие модификации ILK– уравнения, которые естественным образом соотносятся с уравнением Дирака. То обстоятельство, что базой исследования было не одно, а четыре уравнения, позволило существенно расширить круг идей и методов, с помощью которых велась работа. Введя в рассмотрение локальную тетраду на псевдоримановом многообразии (т.е.фактически перейдя к многообразиям Римана–Картана) и «поколдовав» с оператором d − δ, удалось получить модификации уравнения ILK в которых волновая функция принадлежит левому идеалу алгебры Атьи–Келера и имеет либо 4, либо 8, либо 12, либо 16 комплексных компонент. Показано, что соответствующие уравнения имеют либо U(1), либо U(2), либо U(3), либо U(4) унитарную калибровочную симметрию. Таким образом, вопрос об уменьшении числа компонент волновой функции в ILK–уравнении был решен. Второй вопрос – почему волновая функция в ILK–уравнении описывается тензорными (а не спинорными) величинами, был решен в 2000 году. Удалось построить специальные варианты модифицированных уравнений ILK (в книге они называются модельными уравнениями Дирака) обладающие дополнительной симметрией по отношению к псевдоунитарной группе SU(2, 2) (эта группа среди своих подгрупп содержит симплектическую и спинорную группы). Псевдоунитарная симметрия является внутренней симметрией модельных уравнений и никак не связана с заменами координат (пространства Минковского, либо псевдориманова многообразия). Тензоры и спиноры являются разными алгебро-геометрическими объектами, которые, вообще говоря, не сводятся друг к другу. Это ясно видно в пространстве Минковского, где тензоры и спиноры реализуют разные (тензорные и спинорные) представления группы Лоренца. Но если рассматривать не просто тензоры, а тензорные решения модельного уравнения Дирака с псевдоунитарной симметрией, то ситуация изменится. Из любого тензорного решения модельного уравнения Дирака можно получить спинорное решение с помощью процедуры спиноризации, состоящей в следующем: каждую лоренцеву замену координат пространства Минковского надо сопроводить соответствующим (синхронизованным) преобразованием из спинорной подгруппы псевдоунитарной группы симметрии. Таким образом приходим к модельному уравнению Дирака (а также к модельным системам уравнений Дирака–Максвелла и Дирака– Янга–Миллса), которые можно рассматривать как обобщения соответствующих стандартных (спинорных) уравнений теории поля. Логично предположить, что из модельных уравнений могут быть выведены все следствия, которые могут быть выведены из стандартных уравнений поля (Дирака, Дирака–Максвелла, Дирака–Янга–Миллса). Вместе с тем, как мы увидим, из модельных уравнений выводятся такие математические следствия, которые принципиально не могут быть выведены из стандартного уравнения Дирака. В этой связи встает интригующий вопрос: можно ли из новых математических следствий модельных уравнений получить новые физические следствия? Ответ на этот вопрос мне пока не известен. Несмотря на тот длинный путь, который привел к модельным уравнениям теории поля, конечные уравнения получились достаточно простыми. Они допускают формулировку не только в технике дифференциальных форм и алгебры Атьи–Келера, но и в более простой и привычной технике матриц (см. главу 1), либо в технике алгебры Клиффорда. Если попытаться позиционировать модельные уравнения по отношению к четырем уравнениям в вышеприведенном списке, то они будут занимать место между тремя первыми уравнениями (уравнения Дирака, Дирака–Рисса, Дирака–Хестенеса) и уравнением Иваненко– Ландау–Келера. Планирую продолжать работу по развитию излагаемого в книге подхода к уравнениям теории поля. Еще многое предстоит сделать. Надеюсь, что выход книги позволит большему числу специалистов познакомиться с новыми результатами в теории поля и принять участие в развитии этого направления, либо использовать изложенные идеи и методы для решения своих задач. 6 ноября 2006
Об авторе
 Марчук Николай Гурьевич Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва.
Доктор физико-математических наук, является ведущим научным сотрудником отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН. С 1992 г. реализует исследовательский проект построения теории поля на основе математического аппарата алгебры Клиффорда и алгебры генформ. |
