|
Содержание
Предисловие к первому изданию
Этот курс призван повысить общую культуру мышления учащихся и тем самым подготовить их к сознательному и глубокому усвоению математических дисциплин общего и специального циклов. Знакомство с языком математической логики и некоторыми ее методами поможет учащимся приобрести навыки правильного рассуждения, отчетливых формулировок, краткой и корректной записи математических предложений. В этом смысле курс является скорее «гуманитарным», нежели математическим, а его название «Математическая логика» — всего лишь дань традиции, согласно которой учебные, общеобразовательные курсы, излагающие азы, элементы какой-либо науки, именуются так же, как и сама эта наука. В книге содержится необходимый минимум теоретических сведений и набор упражнений и задач для активного усвоения материала, закрепления и повторения. При изучении курса целесообразно не отделять изложение теории от практических занятий, а перемежать их в рамках одного урока. Символика, используемая в книге, согласована с символикой действующих школьных учебников математики. Считаю своим приятным долгом выразить признательность рецензентам канд. физ.-мат. наук, доц. Ф. А. Кабакову и преподавателю Н. М. Плещенкову, чьи замечания существенно способствовали улучшению книги. Автор ВВЕДЕНИЕ
Слово «логика» и производные от него часто можно встретить на страницах всевозможных печатных изданий и услышать в разговорной речи. Каков же смысл этого слова? Заглянем в толковый словарь С. И. Ожегова. Там сказано: «Логика — наука о законах мышления и его формах» и еще: «Логика — ход рассуждений, умозаключений». Слово «логика» происходит от греческого «логос», что, с одной стороны, означает «слово» или «речь», а с другой — то, что выражается в речи, т. е. мышление. Логика изучает лишь те акты мышления, которые фиксированы в языке в виде слов, предложений и их совокупностей. Таким образом, логика имеет непосредственное отношение к языку, речи. Поэтому логика соприкасается с грамматикой и, более широко, с лингвистикой (наукой о языке). С помощью логических средств наш естественный язык уточняется, приобретает четкость и определенность. Логика как наука сформировалась очень давно — в IV в. до н. э. Ее создал древнегреческий ученый Аристотель. В течение многих веков логика почти совсем не развивалась. Это, конечно, свидетельствует о гениальности Аристотеля, которому удалось создать столь полную научную систему, что, казалось, «не убавить, не прибавить». Однако в силу такой неизменности логика приобрела славу мертвой, застывшей науки и вызывала у многих скептическое к себе отношение. Сухость и видимую бесплодность логики высмеивали Рабле, Свифт и др. В XVII в. великий немецкий ученый Лейбниц задумал создать новую логику, которая была бы «искусством исчисления». В этой логике, по мысли Лейбница, каждому понятию соответствовал бы символ, а рассуждения имели бы вид вычислений. Эта идея Лейбница, не встретив понимания современников, не получила распространения и развития. Только в середине XIX в, ирландский математик Дж« Буль частично воплотил в жизнь идею Лейбница. Им была создана алгебра логики, в которой действуют законы, схожие с законами обычной алгебры, но буквами обозначаются не числа, а предложения. На языке булевой алгебры можно описывать рассуждения и «вычислять» их результаты; однако ею охватываются далеко не всякие рассуждения, а лишь определенный тип их, в некотором смысле — простейший. Алгебра логики Буля явилась зародышем новой науки— математической логики. В отличие от нее логику, восходящую к Аристотелю, называют традиционной формальной логикой. В названии «математическая логика» отражены две характерные черты этой науки: во-первых, математическая логика — это логика, использующая язык и методы математики; во-вторых, математическая логика была вызвана к жизни потребностями математики. В конце XIX в. у математиков появилась надежда навести порядок в своей науке, которая так разрослась, что представители различных ее областей стали зачастую плохо понимать друг друга: созданная Г. Кантором теория множеств представлялась надежным фундаментом для построения единого и прочного математического здания. При попытках реализовать эту идею возникли трудности логического характера, которые оказалось невозможным преодолеть средствами традиционной формальной логики. Эти трудности окончательно не преодолены и по сей день, но попытки их преодоления дали мощный толчок становлению и развитию математической логики. Математическая логика сама стала областью математики, поначалу казавшейся в высшей степени абстрактной и бесконечно далекой от практических приложений. Однако эта область недолго оставалась уделом «чистых» математиков. В начале нынешнего века П. С. Эренфест указал на возможность применения аппарата логики высказываний (раздела математической логики) в технике. В середине столетия была обнаружена теснейшая связь математической логики с новой наукой — кибернетикой. Эта связь открыла возможности многочисленных и разнообразных приложений математической логики. Достаточно сказать, что сегодня математическая логика используется в биологии, медицине, лингвистике, педагогике, психологии, экономике, технике. Чрезвычайно важна роль математической логики в развитии вычислительной техники: она используется в конструировании электронно-вычислительных машин (ЭВМ) и при разработке искусственных языков для общения с машинами. Математическая логика уточнила и по-новому осветила понятия и методы традиционной формальной логики, существенно расширила ее возможности и сферу применимости. Предлагаемый курс вводит в круг некоторых основных понятий и методов математической логики путем знакомства с первым и фундаментальным ее разделом — логикой высказываний и отдельными вопросами из других разделов.
Об авторе
 Никольская Инна Львовна Кандидат педагогических наук, профессор кафедры начального обучения в Московском педагогическом университете. Основное направление научной и педагогической деятельности: развитие логического мышления и формирование логической культуры и общих интеллектуальных умений у учащихся в процессе изучения математики. Преподавала в Московском педагогическом университете, в МГОПУ, работала в лаборатории обучения математике НИИ Академии педагогических наук (АПН) СССР (сейчас Российская академия образования, РАО).
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||