| Введение | 8
|
| I. Оператор Лапласа | 10
|
| Лекция 1. Оператор Лапласа | 10
|
| § 1. Пространства непрерывных и дифференцируемых функций | 10
|
| § 2. Фундаментальное решение | 11
|
| § 3. Теорема Остроградского–Гаусса–Грина | 13
|
| § 4. Решение уравнения Пуассона | 19
|
| § 5. Теорема о среднем | 25
|
| § 6. Примеры решения задач | 28
|
| § 7. Литературные указания | 31
|
| Лекция 2. Принципы максимума и минимума | 32
|
| § 1. Сильный принцип максимума | 32
|
| § 2. Лемма Олейник–Хопфа | 40
|
| § 3. Примеры решения задач | 46
|
| § 4. Литературные указания | 56
|
| Лекция 3. Свойства гармонических функций | 57
|
| § 1. Гладкость гармонических функций | 57
|
| § 2. Локальные оценки для гармонических функций | 59
|
| § 3. Теорема Лиувилля | 62
|
| § 4. Неравенство Харнака | 63
|
| § 5. Примеры решения задач | 65
|
| § 6. Литературные указания | 70
|
| Лекция 4. Функция Грина задачи Дирихле | 71
|
| § 1. Третья формула Грина | 71
|
| § 2. Функция Грина задачи Дирихле | 73
|
| § 3. Литературные указания | 77
|
| II. Теория потенциала для оператора Лапласа | 79
|
| Лекция 5. Операторы с особенностью в RN | 79
|
| § 1. Операторы со слабой особенностью в RN | 79
|
| § 2. Литературные указания | 89
|
| Лекция 6. Объемный потенциал | 90
|
| § 1. Определение потенциалов | 90
|
| § 2. Объемный потенциал | 91
|
| § 3. Литературные указания | 100
|
| Лекция 7. Теория поверхностей Ляпунова | 101
|
| § 1. Поверхности Ляпунова | 101
|
| § 2. Операторы со слабой особенностью на поверхности Ляпунова | 108
|
| § 3. Литературные указания | 114
|
| Лекция 8. Потенциал двойного слоя | 115
|
| § 1. Гармоничность поверхностных потенциалов | 115
|
| § 2. Прямое значение потенциала двойного слоя | 116
|
| § 3. Интеграл Гаусса | 118
|
| § 4. Предельные значения потенциала двойного слоя | 121
|
| § 5. Литературные указания | 125
|
| Лекция 9. Потенциал простого слоя | 126
|
| § 1. Нормальная производная потенциала простого слоя | 126
|
| § 2. Предельные свойства нормальной производной потенциала простого слоя | 129
|
| § 3. Литературные указания | 134
|
| Лекция 10. Разрешимость задач Дирихле и Неймана | 135
|
| § 1. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа | 135
|
| § 2. Теоремы единственности решения задач De и Ne | 136
|
| § 3. Теория Фредгольма. Формулировка результатов | 138
|
| § 4. Интегральные уравнения теории потенциала | 139
|
| § 5. Однозначная разрешимость задач Di и Ne | 141
|
| § 6. Исследование пары сопряжённых интегральных уравнений De и Ni | 143
|
| § 7. Разрешимость внутренней задачи Неймана Ni | 146
|
| § 8. Разрешимость внешней задачи Дирихле De | 147
|
| § 9. Литературные указания | 150
|
| III. Принцип максимума | 152
|
| Лекция 11. Слабый принцип максимума | 152
|
| § 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения | 152
|
| § 2. Слабый принцип максимума в общем случае | 156
|
| § 3. Примеры решения задач | 157
|
| § 4. Литературные указания | 159
|
| Лекция 12. Сильный принцип максимума | 160
|
| § 1. Сильный принцип максимума | 160
|
| § 2. Следствия из принципа Хопфа | 166
|
| § 3. Признак сравнения для нелинейных эллиптических операторов и некоторые примеры | 173
|
| § 4. Примеры решения задач | 176
|
| § 5. Литературные указания | 177
|
| Лекция 13. Лемма Жиро | 178
|
| § 1. Лемма Жиро | 178
|
| § 2. Следствия из леммы Жиро | 184
|
| § 3. Примеры решения задач | 189
|
| § 4. Литературные указания | 190
|
| Лекция 14. Единственность и признаки сравнения для некоторых нелинейных задач | 191
|
| § 1. Единственность и признак сравнения для задачи Дирихле | 191
|
| § 2. Единственность и признак сравнения для задачи Неймана | 198
|
| § 3. Периодическая задача | 201
|
| § 4. Литературные указания | 204
|
| IV. Оценки Шаудера | 206
|
| Лекция 15. Пространства Гёльдера | 206
|
| § 1. Определения пространств Гёльдера | 206
|
| § 2. Интерполяционные неравенства | 209
|
| § 3. Литературные указания | 215
|
| Лекция 16. C2+α –априорная оценка Шаудера для оператора Лапласа | 216
|
| § 1. Постановка задачи | 216
|
| § 2. Гёльдеровские оценки второй смешанной производной | 217
|
| § 3. Литературные указания | 232
|
| Лекция 17. C 2+α –априорная оценка Шаудера для равномерно эллиптического оператора | 233
|
| § 1. Гёльдеровские оценки | 233
|
| § 2. Метод продолжения по параметру и доказательство однозначной разрешимости задачи Дирихле | 237
|
| § 3. Литературные указания | 241
|
| Лекция 18. Метод верхних и нижних решений в пространстве Гельдера C2+α (Ω) | 242
|
| § 1. Верхние и нижние решения. Определения | 242
|
| § 2. Основная теорема | 243
|
| § 3. Коэффициентная устойчивость решения | 249
|
| § 4. Литературные указания | 257
|
| Лекция 19. Оценки типа Бернштейна градиента решения | 258
|
| § 1. Повышенная гладкость решения | 258
|
| § 2. Оценка Бернштейна градиента решения | 264
|
| § 3. Оценки градиента решения на границе | 268
|
| § 4. Литературные указания | 278
|
| V. Слабые решения | 280
|
| Лекция 20. Пространства С. Л. Соболева | 280
|
| § 1. Слабая производная | 280
|
| § 2. Пространства С. Л. Соболева H1 (Ω) и H 1 0 (Ω) | 284
|
| § 3. Литературные указания | 291
|
| Лекция 21. Метод априорных оценок | 292
|
| § 1. Вывод априорной оценки | 292
|
| § 2. Существование приближений Галёркина | 293
|
| § 3. Предельный переход | 296
|
| § 4. Литературные указания | 299
|
| Предметный указатель | 300
|
| Список литературы | 302
|
Корпусов Максим Олегович 
