URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Корпусов М.О. Эллиптические уравнения второго порядка: Курс лекций Обложка Корпусов М.О. Эллиптические уравнения второго порядка: Курс лекций
Id: 301406
889 р.

Эллиптические уравнения второго порядка:
Курс лекций

URSS. 2024. 314 с. ISBN 978-5-9710-7647-6.
Белая офсетная бумага

Аннотация

В курсе лекций изложены классические результаты о решениях эллиптических уравнений второго порядка. Излагается как теория потенциала, дающая интегральное представление для классических решений краевых задач, так и теория слабых решений. Кроме того, излагается сильный принцип максимума и теория априорных оценок Шаудера.

Материал книги используется в курсе «Эллиптические уравнения», который автор читает на кафедре математики физического факультета... (Подробнее)


Оглавление
top
Введение8
I. Оператор Лапласа10
Лекция 1. Оператор Лапласа10
§ 1. Пространства непрерывных и дифференцируемых функций10
§ 2. Фундаментальное решение11
§ 3. Теорема Остроградского–Гаусса–Грина13
§ 4. Решение уравнения Пуассона19
§ 5. Теорема о среднем25
§ 6. Примеры решения задач28
§ 7. Литературные указания31
Лекция 2. Принципы максимума и минимума32
§ 1. Сильный принцип максимума32
§ 2. Лемма Олейник–Хопфа40
§ 3. Примеры решения задач46
§ 4. Литературные указания56
Лекция 3. Свойства гармонических функций57
§ 1. Гладкость гармонических функций57
§ 2. Локальные оценки для гармонических функций59
§ 3. Теорема Лиувилля62
§ 4. Неравенство Харнака63
§ 5. Примеры решения задач65
§ 6. Литературные указания70
Лекция 4. Функция Грина задачи Дирихле71
§ 1. Третья формула Грина71
§ 2. Функция Грина задачи Дирихле73
§ 3. Литературные указания77
II. Теория потенциала для оператора Лапласа79
Лекция 5. Операторы с особенностью в RN79
§ 1. Операторы со слабой особенностью в RN79
§ 2. Литературные указания89
Лекция 6. Объемный потенциал90
§ 1. Определение потенциалов90
§ 2. Объемный потенциал91
§ 3. Литературные указания100
Лекция 7. Теория поверхностей Ляпунова101
§ 1. Поверхности Ляпунова101
§ 2. Операторы со слабой особенностью на поверхности Ляпунова108
§ 3. Литературные указания114
Лекция 8. Потенциал двойного слоя115
§ 1. Гармоничность поверхностных потенциалов115
§ 2. Прямое значение потенциала двойного слоя116
§ 3. Интеграл Гаусса118
§ 4. Предельные значения потенциала двойного слоя121
§ 5. Литературные указания125
Лекция 9. Потенциал простого слоя126
§ 1. Нормальная производная потенциала простого слоя126
§ 2. Предельные свойства нормальной производной потенциала простого слоя129
§ 3. Литературные указания134
Лекция 10. Разрешимость задач Дирихле и Неймана135
§ 1. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа135
§ 2. Теоремы единственности решения задач De и Ne136
§ 3. Теория Фредгольма. Формулировка результатов138
§ 4. Интегральные уравнения теории потенциала139
§ 5. Однозначная разрешимость задач Di и Ne141
§ 6. Исследование пары сопряжённых интегральных уравнений De и Ni143
§ 7. Разрешимость внутренней задачи Неймана Ni146
§ 8. Разрешимость внешней задачи Дирихле De147
§ 9. Литературные указания150
III. Принцип максимума152
Лекция 11. Слабый принцип максимума152
§ 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения152
§ 2. Слабый принцип максимума в общем случае156
§ 3. Примеры решения задач157
§ 4. Литературные указания159
Лекция 12. Сильный принцип максимума160
§ 1. Сильный принцип максимума160
§ 2. Следствия из принципа Хопфа166
§ 3. Признак сравнения для нелинейных эллиптических операторов и некоторые примеры173
§ 4. Примеры решения задач176
§ 5. Литературные указания177
Лекция 13. Лемма Жиро178
§ 1. Лемма Жиро178
§ 2. Следствия из леммы Жиро184
§ 3. Примеры решения задач189
§ 4. Литературные указания190
Лекция 14. Единственность и признаки сравнения для некоторых нелинейных задач191
§ 1. Единственность и признак сравнения для задачи Дирихле191
§ 2. Единственность и признак сравнения для задачи Неймана198
§ 3. Периодическая задача201
§ 4. Литературные указания204
IV. Оценки Шаудера206
Лекция 15. Пространства Гёльдера206
§ 1. Определения пространств Гёльдера206
§ 2. Интерполяционные неравенства209
§ 3. Литературные указания215
Лекция 16. C2+α –априорная оценка Шаудера для оператора Лапласа216
§ 1. Постановка задачи216
§ 2. Гёльдеровские оценки второй смешанной производной217
§ 3. Литературные указания232
Лекция 17. C 2+α –априорная оценка Шаудера для равномерно эллиптического оператора233
§ 1. Гёльдеровские оценки233
§ 2. Метод продолжения по параметру и доказательство однозначной разрешимости задачи Дирихле237
§ 3. Литературные указания241
Лекция 18. Метод верхних и нижних решений в пространстве Гельдера C2+α (Ω)242
§ 1. Верхние и нижние решения. Определения242
§ 2. Основная теорема243
§ 3. Коэффициентная устойчивость решения249
§ 4. Литературные указания257
Лекция 19. Оценки типа Бернштейна градиента решения258
§ 1. Повышенная гладкость решения258
§ 2. Оценка Бернштейна градиента решения264
§ 3. Оценки градиента решения на границе268
§ 4. Литературные указания278
V. Слабые решения280
Лекция 20. Пространства С. Л. Соболева280
§ 1. Слабая производная280
§ 2. Пространства С. Л. Соболева H1 (Ω) и H 1 0 (Ω)284
§ 3. Литературные указания291
Лекция 21. Метод априорных оценок292
§ 1. Вывод априорной оценки292
§ 2. Существование приближений Галёркина293
§ 3. Предельный переход296
§ 4. Литературные указания299
Предметный указатель300
Список литературы302

Об авторе
top
photoКорпусов Максим Олегович
Доктор физико-математических наук. В 1995 г. окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1998 г. — аспирантуру по кафедре математики; защитил кандидатскую диссертацию на тему «Динамические потенциалы и их приложения к двумерному уравнению внутренних волн». В 2005 г. защитил докторскую диссертацию «Метод энергетических оценок и их приложения к нелинейным уравнениям псевдопараболического типа». Является известным специалистом по теории нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.