URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Корпусов М.О. Параболические уравнения второго порядка: Курс лекций Обложка Корпусов М.О. Параболические уравнения второго порядка: Курс лекций
Id: 301404
889 р.

Параболические уравнения второго порядка:
Курс лекций

URSS. 2024. 300 с. ISBN 978-5-9710-7648-3.
Белая офсетная бумага

Аннотация

В книге излагается качественная теория параболических уравнений второго порядка как для линейных, так и нелинейных уравнений. Материал книги используется в курсе «Параболические уравнения», который автор читает на кафедре математики физического факультета МГУ.

Данный курс входит в учебный план кафедры математики физического факультета МГУ и представляет значительный интерес для широкого круга студентов, аспирантов и научных работников,... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие7
I. Оператор теплопроводности9
Лекция 1. Задача Коши9
§ 1. Уравнение теплопроводности9
§ 2. Сферическая система координат11
§ 3. Задача Коши для уравнения теплопроводности12
§ 4. Неоднородная задача Коши15
§ 5. Литературные указания19
Лекция 2. Принцип максимума20
§ 1. Слабый принцип максимума для уравнения теплопроводности20
§ 2. Примеры решения задач29
§ 3. Литературные указания37
Лекция 3. Класс единственности А. Н. Тихонова38
§ 1. Слабый принцип максимума для задачи Коши38
§ 2. Единственность решения задачи Коши42
§ 3. Примеры решения задач43
§ 4. Литературные указания46
II. Теория функции Грина и тепловых потенциалов48
Лекция 4. Формулы Грина и потенциалы48
§ 1. Функциональные пространства и теоремы Гаусса–Остроградского– Грина48
§ 2. Вторая формула Грина53
§ 3. Третья формула Грина56
§ 4. Функция Грина первой смешанной задачи59
§ 5. Литературные указания61
Лекция 5. Тепловой потенциал по нижней крышке62
§ 1. Предельные формулы62
§ 2. Непрерывность и дифференцируемость69
§ 3. Литературные указания70
Лекция 6. Тепловой объёмный потенциал71
§ 1. Непрерывность71
§ 2. Непрерывная дифференцируемость74
§ 3. Основная теорема78
§ 4. Непрерывность и ограниченность старших производных объемного потенциала88
§ 5. Литературные указания99
Лекция 7. Тепловой потенциал двойного слоя100
§ 1. Свойства дифференцируемости100
§ 2. Предельные формулы102
§ 3. Литературные указания108
Лекция 8. Тепловой потенциал простого слоя и разрешимость первой смешанной краевой задачи109
§ 1. Непрерывность109
§ 2. Предельные формулы для производной по нормали111
§ 3. Решение первой смешанной краевой задачи116
§ 4. Литературные указания123
III. Принцип максимума125
Лекция 9. Постановка задач125
§ 1. Области. Верхняя и нижняя крышки125
§ 2. Постановка задач для параболических операторов130
§ 3. Литературные указания134
Лекция 10. Слабый принцип максимума135
§ 1. Слабый принцип максимума135
§ 2. Слабый принцип максимума в цилиндрической области140
§ 3. Литературные указания145
Лекция 11. Сильный принцип максимума146
§ 1. Сильный принцип максимума146
§ 2. Следствия из принципа максимума158
§ 3. Первая краевая задача161
§ 4. Примеры решения задач165
§ 5. Литературные указания165
Лекция 12. Теорема типа Жиро166
§ 1. Теорема типа Жиро166
§ 2. Вторая и третья смешанные краевые задачи176
§ 3. Примеры решения задач179
§ 4. Литературные указания179
Лекция 13. Задача Коши180
§ 1. Положительные решения задачи Коши180
§ 2. Примеры решения задач185
§ 3. Литературные указания192
Лекция 14. Теоремы сравнения193
§ 1. Теорема сравнения решений первой краевой задачи193
§ 2. Теорема сравнения для решений второй и третьей краевых задач197
§ 3. Случай нелинейного параболического оператора общего вида. Теоремы сравнения198
§ 4. Примеры решения задач202
§ 5. Литературные указания213
IV. Оценки Шаудера215
Лекция 15. Пространства Гёльдера215
§ 1. Параболические пространства Гёльдера215
§ 2. Эквивалентные полунормы222
§ 3. Литературные указания227
Лекция 16. Оценки Бернштейна и Шаудера228
§ 1. Оценки Бернштейна228
§ 2. Априорная оценка Шаудера в R N+1231
§ 3. Литературные указания235
Лекция 17. Метод продолжения по параметру236
§ 1. Априорная оценка Шаудера в ограниченной области D236
§ 2. Решение первой краевой задачи237
§ 3. Литературные указания240
Лекция 18. Метод верхних и нижних решений241
§ 1. Интерполяционное неравенство241
§ 2. Определение верхних и нижних решений243
§ 3. Итерационная схема245
§ 4. Основная теорема248
§ 5. Устойчивость решения250
§ 6. Литературные указания258
Лекция 19. Оценки типа Бернштейна градиента решения259
§ 1. Повышенная гладкость решения259
§ 2. Оценка Бернштейна градиента решения266
§ 3. Оценки градиента решения на параболической границе269
§ 4. Оценка производной по времени решения на параболической границе274
§ 5. Литературные указания277
Предметный указатель278
Список литературы279

Об авторе
top
photoКорпусов Максим Олегович
Доктор физико-математических наук. В 1995 г. окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1998 г. — аспирантуру по кафедре математики; защитил кандидатскую диссертацию на тему «Динамические потенциалы и их приложения к двумерному уравнению внутренних волн». В 2005 г. защитил докторскую диссертацию «Метод энергетических оценок и их приложения к нелинейным уравнениям псевдопараболического типа». Является известным специалистом по теории нелинейного функционального анализа и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.