Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение (с решениями) Изд. стереотип.

Оглавление

Из предисловия к 16-му изданию

При изменении своей книги автору предстояли две задачи неодинаковой трудности: или довести книгу до полного научного совершенства по современным источникам, удалив ее таким образом от средней школы, или, сделав возможные улучшения в научном смысле, не удалять книги от области среднего образования.

Дело еще осложнялось тем, что, по отзывам нескольких компетентных лиц, книга в России и за границей с успехом служила для самостоятельных занятий учащихся – без руководства преподавателей. При этом одни учащиеся находили книгу слишком трудной, другие – недостаточной и неохватывающей весь предмет.

Автор в течение многих лет видел очень много случаев чрезвычайно полезного влияния построений на ум учащегося и потому ни секунды не колебался в выборе и избрал второй путь, стараясь не удалять книги от средней школы и не жертвуя совсем развитием ее научности.

С такими намерениями автор в первой трети своей книги сохранил ее несколько ученический язык, оставил в ней задачи с двойным номером на случай повторения пройденного в классе, – эти двойные номера ручаются за сходство идеи и содержания решения – оставил также задачи, разнящиеся только формой выражения с целью дать учащемуся время освоиться с этим явлением. Задач последнего типа, начиная с N 150, II, уже совсем не встречается. Краткие обозначения и специальные термины введены окончательно только во второй половине книги. От самого начала автор строго различает термины "прямая" и "отрезок прямой", "касательные окружности" и "касательные круги" и т.п.

Искусство решать задачи на построение слагается главным образом из уменья читать чертежи, из находчивости в проведении вспомогательной линии (см., напр., 2, 8, 156), II) и, наконец, равным образом, из знания и уменья применять методы. С углублением в дело должна развиваться находчивость уже высшего порядка – она состоит в уменье свести одну задачу на другую и, главным образом, в уменье применить к делу идеи метода.

Всего лучше это покажут задачи: 112, 156, 160, IV и 339, 386, 502, 503, 505, II.

Соответственно этому пополнены задачи на чтение чертежей (9–50, II) не в смысле числа задач, а в смысле разнообразия геометрических идей решения. Это достигнуто исключением задач одной идеи с заменой их задачами других идей. В дальнейшем было принято не брать более двух вариантов одной задачи, за исключением оригинальных и трудных случаев – таковы применение задач 69, I и 7, IV, задачи на инверсию и т.п. Общее число задач в книге приблизительно осталось то же, хотя прибавлено более ста новых задач (на половину собственной композиции, не считая первого отдела). Таким образом книга, не отдаляясь от области средней школы, стала более содержательной и более свободной от балласта.

Метод инверсии изложен заново с достаточным числом примеров, и ему дано надлежащее место. Из книги исключены все стереометрические задачи, за исключением тех, которые решаются планиметрическими методами (130, 133, IV). Прибавлены специальные указания к построению параллелограмов (386, II).

В отделе третьем я остановился на мысли помещать лишь те задачи, которые решаются с помощью алгебры или легче, или с тою же трудностью (в некоторых случаях это сделано по способу Лемуана). Поэтому число задач сократилось. Но зато я поместил новую статью о возможности решения задачи циркулем и линейкой, разбирая этот вопрос с двух точек зрения. Кроме примеров, написанных по этому вопросу с подробным решением, приложено 20 задач для упражнения.

В отделе первом, согласно указанию многих лиц, я сократил число задач на непосредственное применение основных задач, но зато поместил до 50 теорем, впоследствии играющих важную роль. Переделка этих маленьких упражнений может оказать существенную помощь в дальнейших построениях (см. 83, I и 154, IV, 82, I и 435, II). Число этих теорем можно увеличивать произвольно – я остановился на главнейших.

Четвертый отдел отличается тем, что учащийся должен сам разыскать подходящий метод решения. В него же вошли задачи наиболее трудные и предназначенные для лиц, имеющих особую склонность к этому предмету. Число ключей к решению и намеков на решение я всюду значительно увеличил, полагая, что те лица, которым они не нужны, могут не обращать на них внимания.

За страшно быстрым темпом современной жизни я не успел поместить элементарную теорию поляр и гармонических фигур; в будущем я надеюсь их изложить совершенно просто. Эти теории решают весьма изящно некоторые задачи (156–160, IV).

Книга была отдана решениям с помощью циркуля и линейки. В настоящее время такую постановку дела уже нельзя признать правильной. Поэтому, в особом пятом отделе, изложены построения Маскерони, Штейнера, а также решения задач с помощью простейших инструментов, способных решить не только квадратную задачу, но и задачу третьей и четвертой степени. Сюда же вошло мое маленькое исследование о конструктивных задачах с неприступными точками.

Согласно опыту последние два отдела книги практиковались в школе мало; поэтому эти отделы напечатаны особо и составляют 2-ю часть всего труда.

Как и в прежних изданиях я указываю, как надо пользоваться моей книгой в школе. Прежде всего надо пройти основные построения (I, 1–17) и достаточное количество задач, приучающих глаз и руку к построениям, не требующим анализа (18–36, I и 73–93, II). Параллельно с этими задачами или раньше полезно пройти соответствующие вопросы первого отдела. Далее необходимо обратить достаточное внимание на чтение чертежей, как на одну из самых важных сторон всего дела (NN 1–52, II). При дальнейшем постепенном и осторожном возвышении трудности задач следует кроме методов решения познакомить с очень важными приемами решения alpha, beta, gamma..., nu (стр.84, 103 и 104); венцом этого дела является указание на то, что некоторые геометрические идеи, как выразился один из моих рецензентов, оказываются рычагами решения целого класса задач. Число пройденных задач, число изученных методов и идей наперед указаны быть не могут; все это определяется в каждом частном случае интересом учащихся и тактом преподавателя.

При перерабатывании моей книги, кроме периодических изданий и собственной работы, я пользовался трудами Петерсена, Адлера, Вебера, Enriques'a, Rouche et Comberousse и задачником Е.М.Пржевальского.

Заключительное мое слово позволяю себе направить к учащимся.

Неудача в решении задач наиболее часто выпадает на долю конструктивных задач. Такая неудача не должна подавать повода к понижению энергии. С пишущим эти строки неоднократно бывало, что иная задача несколько лет не поддавалась решению, в конце же всего решалась обыкновенно довольно быстро. Вообще же, если задача, разрешимая по существу дела, не поддается решению, то это чаще всего зависит от того, что мы недостаточно терпеливо и послушно идем туда, куда нам указывают логика и идеи метода.

Прим. Для желающих скорее ознакомиться с сущностью предлагаемой книги выписываем номера задач, служащих представителями различных методов.

Метод геометрических мест: 117, 157, 173, 67, 210, II и 62, 105, IV.

Радикальные оси: 240–260, II.

Метод подобия и умножения фигур: 268, 295, 307, 270, 271, 318, II и 114, 130, IV.

Метод симметрии и спрямления: 340, 346, 376, 355, II и 136, 118, IV.

Метод параллельного перенесения: 380, 386, 404, 409, II и 156, IV.

Метод вращения около оси: 438–454, II.

Метод вращения около точки: 455–500, II и 154, IV.

Метод инверсии: 501–505, II и 160, IV.

На задачах подобного рода сосредоточивается научный интерес всей книги.

Об авторе