| Предисловие | 3
|
| § 1. Введение | 4
|
| § 2. Системы с отношениями и алгебраическими операциями | 9
|
| 2.1. Прямое произведение | 9
|
| 2.2. n-членные отношения и n-арные алгебраические операции | 10
|
| 2.3. Отображения | 16
|
| 2.4. Системы с отношениями и операциями | 21
|
| 2.5. Полугруппы и группы | 22
|
| 2.6. Полукольца, кольца, тела и поля | 25
|
| 2.7. Векторные пространства и линейные алгебры | 31
|
| 2.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебраических систем | 35
|
| 2.9. Отношение эквивалентности | 37
|
| 2.10. Расширения алгебраических систем | 41
|
| § 3. Аксиоматические теории | 43
|
| 3.1. Аксиоматическая теория | 43
|
| 3.2. Схема построения неформальной аксиоматической теории | 44
|
| 3.3. Интерпретация и модель аксиоматической теории | 44
|
| 3.4. Формулировка аксиоматической теории | 46
|
| 3.5. Свойства аксиоматических теорий | 47
|
| 3.6. Формальные аксиоматические теории | 49
|
| § 4. Содержательная аксиоматическая теория натуральных чисел | 52
|
| 4.1. Первичные термины | 52
|
| 4.2. Аксиомы | 53
|
| 4.3. Свойства сложения | 53
|
| 4.4. Свойства умножения | 55
|
| 4.5. Порядок во множестве натуральных чисел | 56
|
| 4.6. Свойства неравенств | 58
|
| 4.7. Конечные множества | 60
|
| 4.8. Сумма и произведение нескольких элементов полугруппы | 63
|
| 4.9. Независимость аксиомы индукции и роль аксиомы индукции в обосновании теории неравенств, теории делимости и свойств арифметических действий | 68
|
| 4.10. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел | 72
|
| 4.11. Аксиома минимальности | 74
|
| 4.12. Непротиворечивость арифметики и другие вопросы | 76
|
| § 5. Упорядоченные множества и алгебраические системы | 78
|
| 5.1. Упорядоченные множества | 78
|
| 5.2. Упорядоченные полугруппы | 85
|
| 5.3. Упорядоченные полукольца | 88
|
| 5.4. Линейно упорядоченные кольца и тела | 90
|
| § 6. Системы целых и рациональных чисел | 95
|
| 6.1. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории целых чисел | 95
|
| 6.2. Свойства целых чисел | 96
|
| 6.3. Категоричность системы целых чисел | 98
|
| 6.4. Непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел | 100
|
| 6.5. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории рациональных чисел | 102
|
| 6.6. Свойства рациональных чисел | 104
|
| 6.7. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел | 106
|
| 6.8. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел | 107
|
| § 7. Последовательности в нормированных полях | 110
|
| 7.1. Нормированные поля | 110
|
| 7.2. Последовательности в нормированных полях | 112
|
| 7.3. Свойства последовательностей в нормированных полях | 115
|
| 7.4. Последовательности элементов линейно упорядоченного поля | 121
|
| 7.5. Последовательности элементов архимедовски линейно упорядоченного поля | 122
|
| § 8. Система действительных чисел | 126
|
| 8.1. Первичные термины и аксиомы теории действительных чисел | 126
|
| 8.2. Свойства действительных чисел | 127
|
| 8.3. Систематические дроби какаппарат для представления действительных чисел | 133
|
| 8.4. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел | 135
|
| 8.5. Непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел | 136
|
| 8.6. Система р-адических чисел | 139
|
| 8.7. Конечные и бесконечные цепные дроби | 143
|
| § 9. Система комплексных чисел, кватернионы и теорема Фробе-ниуса | 164
|
| 9.1. Первичные термины и аксиомы теории комплексных чисел | 164
|
| 9.9» Свойства комплексных чисел | 165
|
| 9.3. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел | 166
|
| 9.4. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел | 167
|
| 9.5. Алгебры конечного ранга | 168
|
| 9.6. Алгебры над полем действительных чисел | 171
|
| Указания и решения | 177
|
| Предметный указатель | 188
|
| Указатель обозначений | 191
|
| Литература | 194
|
| О Василии Ильиче Нечаеве | 197
|
Книга написана в соответствии с программой курса «Числовые системы» для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов. Важный вопрос школьного курса математики — построение основных числовых систем рассматривается в ней с позиций современной науки.
В этой книге глубокие математические идеи, с которыми студенты знакомятся в курсах математического анализа, алгебры и теории чисел, применяются для последовательного построения основных числовых систем — натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных, а также р-адических чисел и кватернионов.
Книга построена с учетом выделения части материала для самостоятельного изучения студентами и для проработки на семинарских занятиях. Этому способствуют вопросы, сопутствующие каждому параграфу. Некоторые из них затрагивают дополнительный материал, который может служить основой курсовых работ.
Автор признателен всем лицам и особенно Л. Л. Степановой, высказавшим свои замечания по рукописи этой книги.
Нечаев Василий Ильич Советский и российский математик и педагог. Доктор физико-математических наук, профессор. Окончил Московский городской педагогический институт имени В. И. Ленина (МГПИ). Участник Великой Отечественной войны (ушел добровольцем в 1941 г., войну закончил в звании младшего лейтенанта). После войны приступил к активной научной работе. Вся его последующая деятельность связана с МГПИ и Математическим институтом имени В. А. Стеклова (МИАН). Был заведующим кафедрой алгебры и элементарной математики МГПИ, старшим, а затем ведущим научным сотрудником МИАН. С 1978 г. и до конца жизни руководил кафедрой теории чисел МГПИ (позже МПГУ). Член редакционной коллегии журнала «Математические заметки».
В. И. Нечаев получил важные результаты в области аналитической теории чисел. Он занимался аддитивными проблемами варинговского типа для многочленов специального вида; здесь им были получены новые оценки как сверху, так и снизу для числа слагаемых, необходимого для представления всех чисел. Другим направлением его деятельности была теория рекуррентных последовательностей, ставшая областью применения его теоретико-числовых результатов, оказавших значительное влияние на развитие этой ветви прикладной математики. Он также был выдающимся специалистом в области математического образования; им были написаны учебные программы по различным разделам математики, учебники, многочисленные статьи в энциклопедиях.
