URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Малышев В.А. Кратчайшее введение в современные вероятностные модели Обложка Малышев В.А. Кратчайшее введение в современные вероятностные модели
Id: 300989
685 р.

Кратчайшее введение в современные вероятностные модели №10. Изд. 2, испр. и доп.

URSS. 2024. 164 с. ISBN 978-5-9710-6197-7.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Перед читателем — второе издание краткого курса по теории вероятностей, написанного выдающимся отечественным математиком Вадимом Александровичем Малышевым. Первое издание 2009 г. быстро разошлось и стало раритетом. Книга содержит элементы теории вероятностей и легко читаемое введение в ее современные проблемы. Цель первых двух частей — научить студента самостоятельно выполнять элементарные вычисления, начиная с нуля или почти с нуля.... (Подробнее)


Оглавление
top
Предисловие к серии «Учебник Школы прикладной математики и информатики МФТИ» (А. М. Райгородский)5
Предисловие7
Глава 1. Введение без вероятностей10
1.1. Меры на конечных множествах10
1.2. Уход от конечности15
1.3. Слова, деревья, грамматики. Рекуррентные соотношения и производящие функции19
Глава 2. Элементарные вычисления25
2.1. Схема Бернулли25
2.2. Конечные цепи Маркова с дискретным временем30
2.3. Одномерные гиббсовские меры35
2.4. Случайные блуждания38
2.5. Цепи Маркова с непрерывным временем44
2.6. Гауссовы системы и функции от них49
2.7. Обратимость: равновесие и динамика58
Глава 3. Вероятностная интуиция на разных шкалах для малых систем63
3.1. Стохастические игры и жизненные принципы63
3.2. Детерминизм на грубых шкалах68
3.3. Условные меры для маловероятных событий76
3.4. Диффузия80
3.5. Уход в бесконечность86
Глава 4. Макро- и микрошкалы для больших систем91
4.1. Равновесные распределения91
4.1.1. Идеальный газ91
4.1.2. Случайные графы, перколяция, фракталы94
4.1.3. Взаимодействия и фазовые переходы100
4.1.4. Ренормгруппа и эвклидовы случайные поля105
4.2. Неравновесные процессы114
4.2.1. Существование бесконечночастичной динамики114
4.2.2. Явные решения116
4.2.3. Приближение Больцмана119
4.2.4. Гидродинамическое приближение122
Литература125
Предметный указатель127
Приложение. Статьи и логика их появления129
Вадим Александрович Малышев. Штрихи к портрету (Л. Б. Баяхунова)150

Предисловие
top

Основой математической жизни всегда был здоровый консерватизм, сохранение логичности, строгости, чистоты (особенно от приложений, что часто переваливало через край). Только на этом общем фоне были возможны совершенно другие тенденции. Но наступили времена перемен, и не только в политической и социальной сфере. Математика разрослась — не хватает ни людей, ни денег, чтобы поддерживать статус царицы наук. Все мельчает, рассасывается, а число угроз растет. Последние идут прежде всего от прошлых отростков самой математики. Так, физики-теоретики проделали красивые и глубокие алгебраизованные вычисления, которые тем не менее нельзя считать математикой (по крайней мере в прежнем смысле слова) по банальной причине отсутствия четко определенных понятий. Приложения перешли в руки вычислителей и программистов. Многие из последних никогда не знали математики, а те, кто знал, — быстро забыли.

С другой стороны, на математику или на такие ее части, как теория вероятностей, можно смотреть как на большую макросистему, развивающуюся по неизвестным законам. Каждый входящий в нее незаметно для себя становится винтиком этой системы. Иногда некоторые области испытывают бум или просто объявляются важнейшими, далеко не всегда серьезно влияя на последующее развитие. Иногда наоборот, незаметные работы порождают в дальнейшем множество продолжений.

Сейчас для математика влиться в реальную жизнь означает почти всегда уход из самой математики. Но если не влиться, то по крайней мере понять окружающий мир человеку с математическими наклонностями проще с помощью моделей.

Особенно богата моделями теория вероятностей. Примеров моделей множество: от суммы независимых величин в схеме Бернулли и экспоненциальной очереди до стохастических микромоделей жидкостей и микроэкономики. Как правило, можно выделить первичные модели, каждая из которых породила множество работ, производящих впечатление технических обобщений и образующих ветви дерева, выросшего из одного корня. Однако кроны этих деревьев переплетаются вверху, и получающийся лес недоступен анализу. Аналог классического труда В. Феллера (сейчас сильно устаревшего, но остающегося чрезвычайно полезным) с попыткой изложить как основные понятия, так и большинство современных моделей с достаточной полнотой трудно даже представить.

Однако то, что можно сделать, — это кратко описать круг таких первичных моделей с акцентом на интуицию, оставаясь в рамках элементарных вычислений, но чтобы было ясно, какие более глубокие вещи надо искать в детальных монографиях. В этой попытке я руководствовался простыми, но, может быть, нестандартными, тремя принципами, на которых основывается ремесло пишущего вероятностника:

• на интуиции в предсказании результата. Для этого необходимо, чтобы студент сам делал основные вычисления, а не запоминал теоремы, особенно их названия. Опытный математик при написании статьи по анализу или теории вероятностей не говорит о теоремах Вейерштрасса, Коши, Фубини, Бореля—Кантелли и т. д., но может легко доказать или придумать множество подобных утверждений. Поменьше авторитетов, особенно среди современников — наука не религия, не набор сакральных истин, а материал для интеллектуальной игры и построения своих собственных планов;

• на краткости, за которую приходится платить неполнотой изложения. Но можно использовать возможность разбиения работы математика на два этапа: начальная идея с некоторым планом доказательства и полное его проведение. Последнее становится автоматическим, хотя, конечно, по-прежнему требующим времени и энергозатрат. Очень хотелось бы переложить второй этап на компьютер. В двух последних главах я ограничивался первым этапом;

• на придумывании новых хороших моделей, для чего как минимум надо знать много старых, но читать не легче, чем писать.

Может быть, эти лекции облегчат выбор и чтение фундаментальных монографий.

Эти заметки — сильно расширенное и систематизированное изложение двух полугодовых курсов 2008–2009 учебного года на механико-математическом факультете МГУ.

Цель первых двух глав — научить студента делать самостоятельно элементарные вычисления, начиная с нуля или почти с нуля. Цель двух последних глав — дать начальное интуитивное представление об основных вероятностных моделях в современных теориях.


Об авторе
top
photoМалышев Вадим Александрович
Известный отечественный математик, доктор физико-математических наук (1973), профессор (1992), лауреат Государственной премии РСФСР (1991). В 1961 г. окончил механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. С 1967 г. работал на кафедре теории вероятностей МГУ. В 1991 г. основал и возглавил Лабораторию больших случайных систем на механико-математическом факультете университета.

В 1994 г. В. А. Малышев создал международный математический журнал «Markov processes and related fields» и стал его главным редактором. Более 15 лет работал в крупнейшем научно-исследовательском институте Франции INRIA.

Научные результаты В. А. Малышева известны в самых разных областях математики: математическая физика, теория вероятностей, алгебра, анализ. В. А. Малышев — основоположник крупной вероятностно-аналитической школы, он воспитал более двух десятков учеников — кандидатов и докторов наук. Автор свыше 240 статей и 16 книг. Организатор и участник большого количества международных математических конференций.