|
Оглавление
Предисловие к серии
«Учебник Школы прикладной математики и информатики МФТИ» Физтех-школа прикладной математики и информатики (ФПМИ) — это активно развивающееся подразделение МФТИ, возникшее в результате успешного объединения двух факультетов — факультета управления и прикладной математики и факультета инноваций и высоких технологий. Сейчас ФПМИ занимает лидерские позиции в России и в мире, давая своим студентам как традиционно мощное физтехов-ское фундаментальное образование, так и столь же традиционные для МФТИ выходы на самые современные прикладные задачи, возникающие в высокотехнологичной индустрии. Разумеется, ФПМИ старается быть открытой всем. Например, в интернет-проекте «Лекторий ФПМИ» выложены записи многих лекций, читаемых в нашей Школе. В 2017 году был создан региональный научно-образовательный «Кавказский математический центр» в Майкопе, который получает постоянную поддержку от ФПМИ. А в 2021 году аналогичный проект стартовал в Пскове. И это только начало! Мы мотивируем наших лучших студентов хотя бы на время возвращаться в регионы, в олимпиадное, кружковое и проектное движение для поддержки высокого уровня этого движения во всей нашей стране. Мы с удовольствием делимся с региональными вузами нашими программами в рамках сетевых образовательных проектов, инициируемых Физтехом и призванных помогать регионам удерживать у себя достаточно сильных абитуриентов. И конечно, мы очень рады представить наше новое начинание — «Учебник Школы прикладной математики и информатики МФТИ». В серии книг наши ведущие специалисты поделятся своими знаниями и методическими наработками со студентами, аспирантами, учеными, педагогами и просто со всеми, кто любит математику и ее приложения, хочет оказаться на гребне знаний и увидеть далекую перспективу. Как я часто говорю в своих выступлениях: «Присоединяйтесь к нам!» А. М. Райгородский, директор Школы прикладной математики и информатики МФТИ, заведующий кафедрой дискретной математики, профессор, доктор физико-математических наук Предисловие
В основе предлагаемого пособия лежат лекции, которые автор читал на механико-математическом факультете МГУ. В пособии подробно излагается метод множителей Лагранжа и основные задачи оптимального управления, поэтому оно может быть полезно студентам МФТИ, изучающим курсы «Методы оптимизации» и «Методы оптимального управления». Автор во многом опирался на книгу В. М. Алексеева, В. М. Тихомирова, С. В. Фомина и конспекты лекций Г. Г. Магарил-Ильяева. Своим приятным долгом автор считает выражение глубокой благодарности за ценные обсуждения и советы своим коллегам — профессорам Э. М. Галееву, Г. Г. Магарил-Ильяеву и В. М. Тихомирову. Введение
Многие причины побуждают ставить и решать экстремальные задачи, т. е. задачи на максимум и минимум. Интерес к ним проявился уже на заре развития математики и основными стимулами были любознательность и стремление к совершенству. Среди наиболее ранних, точно решенных задач — так называемая изопериметрическая задача — задача о форме кривой заданной длины, охватывающей наибольшую площадь (ответ к ней приводил в своих сочинениях еще Аристотель — IV в. до н. э.) и задача о форме поверхности заданной площади, охватывающей наибольший объем. Ответы на эти задачи для мыслителей Древней Греции были символами совершенства человеческого разума. Крупнейшие их представители: Евклид, Архимед и Аполлоний ставили и решали различные геометрические задачи на экстремум. Задача о параллелограмме наибольшей площади, который можно вписать в треугольник, приводится в «Началах» Евклида (III в. до н. э.); задача о шаровом сегменте максимального объема при заданной площади шаровой части поверхности этого сегмента содержится в сочинениях Архимеда (тоже III в. до н. э.); задача о минимальном расстоянии от точки плоскости до эллипса и о нормалях к эллипсу из произвольной точки плоскости была поставлена и решена Аполлонием (III-II вв. до н. э.) в его знаменитых «Кониках». Долгое время каждая задача решалась индивидуально, по-своему. Первый шаг к исследованию экстремальных задач был сделан в 1638 году П. Ферма, который доказал, что (в современных терминах) производная функции в точке ее локального экстремума равна нулю (хотя понимание этого явления можно увидеть и в более ранних высказываниях И. Кеплера). Данное событие обычно считают началом становления теории экстремума. Затем от рассмотрения задач на максимум и минимум для функций одного переменного перешли к рассмотрению экстремальных задач, где переменные — сами функции, т. е. элементы бесконечномерных пространств. Эти задачи породили новое направление в математике, получившее название вариационного исчисления. Рождение вариационного исчисления часто связывают с задачей о брахистохроне, поставленной И. Бернулли в 1696 году. Это задача о форме кривой наискорейшего ската, т. е. о форме кривой, соединяющей две точки в вертикальной плоскости, вдоль которой тело под действием силы тяжести без трения проходит путь от одной точки до другой за кратчайшее время (постановка, по-видимому, была навеяна более ранними размышлениями Галилея на эту тему). Основным мотивом для развития вариационного исчисления явилось то, что многие законы природы, как выяснилось, имеют экстремальный характер, т. е. они неким загадочным образом являются решениями задач на максимум и минимум. Л. Эйлер по этому поводу высказался так: «В мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума».
Об авторе
 Осипенко Константин Юрьевич Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Читает курсы лекций по выпуклому анализу, вариационному исчислению и оптимальному управлению на механико-математическом факультете МГУ и на кафедре математических основ управления МФТИ. Область научных интересов: теория приближений, теория оптимального восстановления. Автор более 160 научных работ.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||