Александров П.С. Введение в теорию групп Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

(Это предисловие рассчитано в основном на более подготовленных из числа вероятных читателей этой книжки. Менее подготовленные читатели (в частности, учащиеся средней школы) могут без ущерба для понимания прямо приступить к чтению самой книги.)

Клейн много сделал для того, чтобы преподавание математики даже и в средней школе приучало учащегося к так называемому "функциональному мышлению", т.е. делало математическое понятие функции привычной и вполне понятной составной частью мыслительного аппарата учащегося. Надо отдать Клейну справедливость – он так много сделал для пропаганды этой точки зрения, что едва ли кому-нибудь придет в голову оспаривать ее в настоящее время: мы не можем представить себе в наши дни не только естествоиспытателя или инженера, но также и образованного врача или экономиста, вовсе не владеющего понятием функции и связанным с этим понятием методом графического изображения связи двух изменяющихся величин, зависящих одна от другой.

Однако наряду с понятием функции, продолжающим быть основным понятием всей математики, все большее и большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений приобретает понятие группы.

Я думаю, что, в самом деле, понятия числа, множества, функции и группы являются теми четырьмя краеугольными камнями, на которых зиждется все здание современной математика и к которым сводится всякое другое математическое понятие.

Развитие математики в настоящее время в основном протекает под знаком ее алгебраизации.

Все большее число математических закономерностей по существу дела оказываются закономерностями алгебраическими, и алгебра все более делается основой других математических дисциплин. Началом же и основой этого все возрастающего воздействия алгебры на всю математику служит как с исторической, так и с принципиальной точки зрения понятие группы. Понятие группы не сложнее и не труднее понятия функции; с ним можно ознакомиться на самых первых ступенях математического образования, тем более, что сделать это можно на материале так называемой элементарной математики.

Овладеть понятием группы с интересом и пользой может всякий, любящий математику, ученик старших классов средней школы; овладеть понятием группы, а также и другими понятиями так называемой общей алгебры обязан всякий, кто преподает или собирается преподавать математику в средней школе, так как только в свете этих общих алгебраических понятий выясняется логическая структура элементарной, школьной математики. В настоящее время пора по крайней мере всем лицам, преподающим математику в школе, освоиться наряду с "функциональным мышлением" с тем, что можно назвать алгебраическим мышлением. Это алгебраическое мышление начинается с теории групп, и без знания элементов этой теории нельзя быть математиком не только образованным, но и просто грамотным.

Между тем преподавание алгебраических дисциплин в высшей школе у нас все еще поставлено из рук вон плохо, и не только в педагогических учебных заведениях, но и в университетах. Обстоятельство тем более непонятное, что, как я уже сказал, преподавание это по существу касается гораздо более элементарного материала, чем едва ли не большинство разделов университетского курса математики.

В силу такого положения вещей представляется вероятным, что книжка эта, написанная в первую очередь для интересующихся математикой школьников старших классов, будет – увы – содержать в себе довольно много нового и для многих лиц "с законченным высшим математическим образованием", в особенности же для окончивших педагогические высшие учебные заведения и обучающихся в них. Для всех этих лиц, а также для всех, преподающих математику в полной и неполной средней школе, книжка эта и предназначается. Я желал бы также, чтобы она оказала некоторое влияние и на математические программы, в особенности в уже упомянутых педагогических учебных заведениях.

Что касается характера изложения, то нужно иметь в виду, что изучение элементов теории групп только тогда целесообразно (как в смысле фактического знакомства с этой теорией, так и в отношении пользы для общего математического развития), если оно происходит на почве большого числа конкретных примеров, заимствованных из различных отделов математики, прежде всего, конечно, из геометрии. Без этих примеров теория групп превратится в схоластическую игру понятиями, смысл и польза которых не смогут быть усвоены учащимися (так как именно на конкретных примерах этот смысл и раскрывается).

Я старался поэтому не давать понятий, не разъяснив их на простых, в значительной части геометрических, примерах. К сожалению, я не мог предполагать в читателе знакомства с аналитической геометрией и преобразованиями координат, и это затруднило меня в более полном рассмотрении групп движений.

Можно рекомендовать читателю по прочтении этой книжки (и, может быть, по ознакомлении с каким-нибудь элементарным учебником аналитической геометрии) прочесть книгу Шрейера-Шпернера "Линейная алгебра в геометрическом изложении".

Книгу эту, предназначенную в первую очередь для школьников и школьных учителей, я с благодарностью посвящаю моему учителю математики в школе – Александру Романовичу Эйгесу.

Болшево, дер. Комаровка, 27 апреля 1937 г.

Введение

В школе переход от арифметических задач к алгебраическим находит свое выражение в том, что в задачах численные данные заменяются буквенными. Обозначение чисел буквами отвлекает нас от специальных числовых данных, фигурирующих в той или иной задаче, и научает решать задачи в общем виде, т.е. для любых числовых значений входящих в нее величин.

В соответствии с этим, в начальных, самых важных, главах школьного курса алгебры изучаются правила действий над буквенными выражениями, или, что то же самое, законы так называемых тождественных преобразований алгебраических выражений. Постараемся с самого начала выяснить это понятие.

Каждое алгебраическое выражение представляет собой совокупность букв, связанных между собой знаками алгебраических действий; при этом для простоты мы в настоящую минуту будем рассматривать лишь действия сложения, вычитания и умножения. Смысл каждого алгебраического выражения заключается в следующем: если буквы, участвующие в выражении, заменить числами, то выражение показывает, какие действия и в каком порядке надо выполнить над этими числами; другими словами всякое алгебраическое выражение представляет собой некоторый, записанный в общем виде, рецепт для обыкновенного арифметического вычисления. Тождественное преобразование алгебраического выражения означает переход от одного выражения к другому, связанному с первым следующим соотношением: если мы в обоих выражениях каждой букве дадим совершенно произвольное числовое значение под одним условием, чтобы одна и та же буква, входящая в оба выражения, получала в обоих случаях одно и то же значение; и если после этого произведем показанные действия, то оба выражения дадут нам один и тот же числовой результат. Тождественное преобразование записывается в виде равенства двух алгебраических выражений; равенства эти справедливы при любой замене входящих в них букв числами (как указано выше). Равенства этого вида называются, как известно, тождествами. Например: a – a = 0. (1) (a + b) c=ac + bc. (2)

Всякое тождество выражает некоторое свойство входящих в него действий. Так, например, тождество (1) говорит нам, что, вычитая из какого-нибудь числа это самое число, мы всегда получим один и тот же результат, а именно нуль. Тождество (2) утверждает следующее свойство действий сложения и умножения: произведение суммы двух чисел на третье число равно сумме произведений каждого из слагаемых на это третье число.

Тождеств существует бесконечно много. Однако можно установить небольшое число основных тождеств, подобных вышенаписанным, таким образом, что любое тождество является следствием из этих основных тождеств.

Всякое алгебраическое вычисление, т.е. всякое, сколь угодно сложное тождественное преобразование одного алгебраического выражения в другое, является, таким образом, комбинацией небольшого числа основных или элементарных тождественных преобразований, излагаемых в элементарной алгебре под названием правил раскрытия скобок, правил знаков и т.п. Совершая эти комбинации элементарных преобразований, обычно даже забывают о том, что каждая буква в алгебраическом выражении есть только символ, знак, обозначающий некоторое число: вычисления, как говорят, производят механически, забывая о реальном смысле производимого в каждый момент преобразования, а заботясь лишь о соблюдении правил этих преобразований. Так поступают обычно и опытные математики, и начинающие учащиеся. Однако в последнем случае иногда, к сожалению, бывает, что этот реальный смысл производимых преобразований и вообще ускользает из сознания.

В механическом осуществлении алгебраических операций есть и другая, более серьезная сторона. Она заключается в том, что под буквами, входящими в алгебраическое выражение, во многих случаях можно понимать не числа, а разнообразные другие объекты математического исследования: не только над числами, но и над другими вещами – примеры этому мы сейчас увидим – можно производить действия, которые имеют ряд общих основных свойств с алгебраическими действиями и которые поэтому естественно называть сложением, умножением и т.д. Например, силы в механике не суть числа; они являются так называемыми векторами, т.е. величинами, имеющими не только числовое значение, но и направление. Между тем силы можно складывать, и это сложение обладает основными свойствами обычного алгебраического сложения чисел. Это приводит к тому, что над силами можно производить вычисления по правилам алгебры. Таким образом могущество алгебраических преобразований идет гораздо дальше, чем запись в общей форме действий над числами: алгебра учит вычислять с любыми объектами, для которых определены действия, удовлетворяющие основным алгебраическим аксиомам.

Об авторе

Александров Павел Сергеевич

Выдающийся ученый-математик, создатель отечественной топологической школы, получившей мировое признание. Лауреат Сталинской премии первой степени за научные работы в области математики: «Общая комбинаторная топология» и «О гомологических свойствах расположения комплексов и замкнутых множеств». Герой Социалистического Труда. Награжден шестью орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, орденом «Знак Почета». Лауреат Премии имени Н. И. Лобачевского за цикл работ по гомологической теории размерностей.

Окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова в 1917 г. Доцент Московского университета с 1921 г., профессор с 1929 г. В том же году был избран членом-корреспондентом АН СССР, а в 1953 г. — академиком. В 1932–1964 гг. — президент Московского математического общества, в 1958–1962 гг. — вице-президент Международного математического союза.

П. С. Александров ввел ряд фундаментальных понятий и конструкций топологии, создал теорию существенных отображений и гомологическую теорию размерности, основал и развил теорию компактных и бикомпактных пространств. Получил большое количество важных результатов в области теории множеств, теории функций действительного переменного. Среди его учеников такие известные математики, как Л. С. Понтрягин, А. Н. Тихонов, Л. Д. Кудрявцев, А. Г. Курош, Ю.М. Смирнов.