| Предисловие | 6
|
| Глава 1. Вероятностные пространства | 8
|
| 1.1. Введение. Случайные события | 8
|
| 1.1.1. Примеры случайных экспериментов | 9
|
| 1.2. Классическая вероятность | 13
|
| Примеры решения задач | 15
|
| Задачи для самостоятельного решения | 25
|
| 1.3. Геометрическая вероятность | 28
|
| Примеры решения задач | 29
|
| Задачи для самостоятельного решения | 35
|
| 1.4. Элементы теории множеств | 38
|
| 1.4.1. Основные свойства операций над множествами | 40
|
| 1.4.2. Предел последовательности множеств | 41
|
| 1.4.3. Мощность множества | 42
|
| Примеры решения задач | 43
|
| Задачи для самостоятельного решения | 49
|
| 1.5. Аксиомы вероятности | 51
|
| 1.5.1. Аксиомы вероятности | 52
|
| Примеры решения задач | 53
|
| Задачи для самостоятельного решения | 58
|
| 1.6. Условная вероятность. Независимость событий | 60
|
| 1.6.1. Свойства условной вероятности | 61
|
| 1.6.2. Формула полной вероятности | 62
|
| 1.6.3. Формулы Байеса | 62
|
| Примеры решения задач | 62
|
| 1.6.4. Независимость событий | 66
|
| 1.6.5. Свойства независимых событий | 67
|
| Примеры решения задач | 67
|
| Задачи для самостоятельного решения | 69
|
| 1.7. Независимые испытания | 73
|
| Примеры решения задач | 75
|
| 1.7.1. Асимптотика биномиального распределения | 78
|
| Примеры решения задач | 80
|
| Задачи для самостоятельного решения | 83
|
| 1.8. Ответы к задачам | 85
|
| Глава 2. Теория случайных величин | 90
|
| 2.1. Понятие случайной величины | 90
|
| 2.1.1. Свойства функции распределения | 91
|
| 2.1.2. Основные типы случайных величин | 92
|
| Примеры решения задач | 95
|
| 2.1.3. Многомерные случайные величины | 102
|
| 2.1.4. Независимость случайных величин | 105
|
| Примеры решения задач | 106
|
| Задачи для самостоятельного решения | 108
|
| 2.2. Функции от случайных величин | 110
|
| Примеры решения задач | 110
|
| 2.2.1. Функции от нескольких случайных величин | 112
|
| Примеры решения задач | 113
|
| Задачи для самостоятельного решения | 123
|
| 2.3. Моменты случайных величин | 125
|
| 2.3.1. Свойства математического ожидания | 128
|
| Примеры решения задач | 130
|
| Задачи для самостоятельного решения | 134
|
| 2.4. Условные распределения и моменты | 136
|
| Примеры решения задач | 141
|
| Задачи для самостоятельного решения | 152
|
| 2.5. Сходимости последовательностей случайных величин | 154
|
| Примеры решения задач | 156
|
| Задачи для самостоятельного решения | 162
|
| 2.6. Предельные теоремы | 163
|
| 2.6.1. Свойства характеристических функций | 165
|
| Примеры решения задач | 166
|
| Задачи для самостоятельного решения | 170
|
| 2.7. Однородные цепи Маркова | 172
|
| 2.7.1. Свойства матриц перехода | 173
|
| Примеры решения задач | 175
|
| Задачи для самостоятельного решения | 179
|
| 2.8. Случайные блуждания по прямой | 182
|
| 2.8.1. Понятие траектории и принцип отражения | 183
|
| 2.8.2. Первое возвращение в исходную точку | 184
|
| 2.8.3. Общий случай возвращений в исходную точку | 185
|
| 2.8.4. Последние возвращения | 185
|
| Примеры решения задач | 186
|
| Задачи для самостоятельного решения | 190
|
| 2.9. Ответы к задачам | 192
|
| Приложение. Некоторые распределения | 197
|
| Предметный указатель | 200
|
| Список литературы | 203
|
Сердобольская Мария Львовна Кандидат физико-математических наук. Окончила физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1985 г. и с тех пор работает на физическом факультете; в настоящее время — в должности доцента кафедры математического моделирования и информатики. В 1989 г. защитила кандидатскую диссертацию. В течение многих лет читает лекции и ведет семинары по теории вероятностей и теории случайных процессов, а также специальные курсы, посвященные основам функционального анализа и его применению в прикладных задачах. Ее научные интересы лежат в области статистических методов анализа данных, таких как оценивание параметров измеряемых сигналов, верификация математических моделей эксперимента, анализ естественных сред, в том числе геологических образцов.
Чуличков Алексей Иванович Доктор физико-математических наук. Окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1978 г. С 1978 по 1980 гг. обучался в аспирантуре Института физики высоких энергий (Протвино, Серпухов). В 1983 г. защитил кандидатскую, а в 1993 г. — докторскую диссертацию. С 1980 г. работает на физическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова, с 2020 г. — в должности заведующего кафедрой математического моделирования и информатики.
Им разработаны математические и численные методы анализа и интерпретации данных измерительных экспериментов, позволившие реализовать на практике концепцию измерительно-вычислительных систем, в частности, в рентгеноструктурном анализе, дистанционном зондировании атмосферы и поверхности Земли, в системах анализа и интерпретации изображений. Результаты этих работ нашли применение в микро- и нанотехнологиях, в биофизике, геофизике, в системах мониторинга промышленного оборудования и других областях.
