Бахтин В.И., Лебедев А.В. Конечномерные экстремальные задачи

2023. 112 с.

Белая офсетная бумага

Мягкая обложка

Аннотация

Учебное пособие описывает методы решения конечномерных экстремальных задач. Его главным отличием и преимуществом, по сравнению с большинством других учебников по оптимизации, является тщательное описание геометрических идей и конструкций, лежащих в основе аналитических методов решения экстремальных задач, где центральную роль играют принцип Лагранжа и теоремы отделимости выпуклых множеств. Использование геометрического аппарата позволяет... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие				5
Предварительные сведения				7
Глава I. Гладкие задачи				13
§ 1. Принцип множителей Лагранжа: иллюстрация идеи				13
§ 2. Выпуклые множества				18
§ 3. Теоремы отделимости				19
§ 4. Двойственные конусы				22
§ 5. Контингентные векторы				29
§ 6. Направления убывания. Необходимые геометрические условия экстремума				30
§ 7. Вычисление направлений убывания. Предварительный принцип Лагранжа				32
§ 8. Касательные векторы. Теорема Люстерника				36
§ 9. Принцип Лагранжа в случае условий типа равенств				40
§ 10. Аналитический подход к принципу Лагранжа				43
§ 11. Внутренние направления. Необходимые геометрические условия экстремума II				45
§ 12. Геометрический подход к принципу Лагранжа				48
§ 13. Доказательство принципа Лагранжа методом штрафных функций				52
§ 14. Принцип Лагранжа: подведение итогов				54
§ 15. Достаточные условия второго порядка				59
§ 16. Пример				62
§ 17. Гладкие задачи на безусловный экстремум				70
Глава II. Линейные задачи				72
§ 18. Графическая иллюстрация линейной задачи на плоскости				72
§ 19. Крайние точки выпуклых множеств				73
§ 20. Крайние точки в канонической линейной задаче				77
§ 21. Симплекс-метод				79
§ 22. Решение задач симплекс-методом				83
§ 23. Принцип Лагранжа в линейной задаче				87
§ 24. Теория двойственности				92
Глава III. Выпуклые задачи				96
§ 25. Выпуклые функции				96
§ 26. Критерий экстремума для выпуклых задач				97
§ 27. Принцип Лагранжа для выпуклых задач. Теорема Куна– Таккера				98
§ 28. Теорема о седловой точке				102
Литература				105
Предметный указатель				106

Предисловие

В наше время проблемы оптимизации приобретают все возрастающее значение, и современное математическое, инженерное и экономическое образование немыслимо без владения методами теории экстремальных задач.

По данной области анализа написано много учебников (например, [1] – [10] списка литературы), рассчитанных на разный уровень математической подготовки.

Главной целью предлагаемой читателю книги является описание геометрических идей и конструкций, лежащих в основе аналитических методов решения экстремальных задач. Пионерское изложение большинства из этих идей в учебной форме дано в замечательной книге

И. В. Гирсанова [6]. У нас они представлены в конечномерной ситуации, что позволяет раскрыть их суть прозрачно и с минимальными требованиями к математической подготовке читателя. При этом изложение построено таким образом, что позволяет без каких-либо трудностей перенести все принципиальные конструкции на общую бесконечномерную ситуацию (рассматриваемую на математических факультетах в курсе «Вариационное исчисление и методы оптимизации» и требующую освоения ряда разделов функционального анализа).

Авторы в течение многих лет в разных объёмах читали данный курс в различных учебных заведениях. На математических факультетах теория экстремальных задач, как правило, изучается на втором или третьем курсах. Исходя из этого, авторы предполагают, что читатель знаком с соответствующим понятиями и результатами математического анализа (которые кратко представлены в разделе «Предварительные сведения»). Ряд утверждений в книге не сопровождаются доказательством. Это означает, что данный результат либо общеизвестен (и читатель должен быть знаком с ним из курса анализа), либо легко доказывается стандартными рассуждениями. В любом случае читателю предлагается освоить это утверждение самостоятельно.

Позволим себе также высказать методический совет по поводу того, как можно пользоваться книгой.

Если у вас в распоряжении имеется лишь несколько часов, то мы предлагаем прочесть § 1 и § 13 (последний параграф можно прочитать6 Предисловие только для того, чтобы быть уверенным в том, что все изложенное в § 1 строго обосновано) и приступать к решению задач.

Если в вашем распоряжении есть один-два дня, то предлагаем прочесть §§ 1–9 и главу III. Это позволит почувствовать в основных чертах геометрические идеи теории экстремальных задач.

Наконец, для получения целостной картины советуем прочитать всю книгу.

Об авторах

Бахтин Виктор Иванович

Доктор физико-математических наук, профессор. Выпускник механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Основные работы в области детерминированных и стохастических динамических систем, теории особенностей дифференцируемых отображений, теории больших уклонений, спектрального и энтропийного анализа трансфер-операторов.

Лебедев Андрей Владимирович

Доктор физико-математических наук, профессор. Заведующий кафедрой функционального анализа и аналитической экономики Белорусского государственного университета. Основные работы в области операторных алгебр, спектрального анализа операторов, порожденных динамическими системами, и экономико-математического моделирования. Автор более 130 научных работ, в том числе трех монографий.