Предисловие к первому изданию | 3
|
Глава I. Векторы и координаты на плоскости | 4
|
§ 1. Скалярные и векторные величины. Векторы | 4
|
§ 2. Сумма и разность векторов | 9
|
§ 3. Умножение вектора на число. Коллинеарность векторов | 15
|
§ 4. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Базис. Координаты вектора | 21
|
§ 5. Прямоугольные координаты. Действия над векторами в координатной форме | 26
|
§ 6. Угол между векторами. Проекция вектора на ось | 32
|
§ 7. Скалярное произведение векторов | 38
|
§ 8. Скалярное произведение векторов в координатной форме. Вычисление длины вектора и угла между векторами | 43
|
§ 9. Деление отрезка в данном отношении | 47
|
§ 10. Полярная система координат | 51
|
Глава II. Прямая на плоскости и ее уравнения | 55
|
§11. Метод координат на плоскости. Уравнение линии | 55
|
§ 12. Прямая. Параметрические уравнения прямой | 61
|
§13. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой | 65
|
§ 14. Уравнение прямой с угловым коэффициентом | 69
|
§ 15. Общее уравнение прямой и его исследование. Нормальный вектор прямой | 74
|
§ 16. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Системы линейных уравнений с двумя переменными | 80
|
§ 17. Вычисление угла между прямыми. Расстояние от точки до прямой | 86
|
§ 18. Нормальное уравнение прямой | 93
|
Глава III. Кривые второго порядка | 96
|
§ 19. Уравнение второй степени с двумя переменными. Понятие о кривых второго порядка | 96
|
§ 20. Окружность | 98
|
§ 21. Эллипс | 102
|
§ 22. Гипербола | 110
|
§ 23. Парабола | 120
|
Глава IV. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве | 126
|
§ 24. Стереометрия. Основные понятия и. аксиомы | 126
|
§ 25. Взаимное расположение двух прямых в пространстве | 131
|
§ 26. Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости | 135
|
§ 27. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей | 143
|
§ 28. Параллельное проектирование. Изображение фигур в стереометрии | 148
|
Глава V. Векторы и координаты в пространстве | 154
|
§ 29. Векторы в пространстве. Линейные операции над векторами | 154
|
§ 30. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов | 158
|
§31. Компланарные векторы. Разложение вектора по трем неко мпланарным векторам. Базис и координаты | 162
|
§ 32. Прямоугольные координаты в пространстве. Координатная запись операций над векторами | 168
|
§ 33. Векторное произведение векторов | 173
|
§ 34. Свойства векторного произведения и его координатная запись | 177
|
§ 35. Смешанное произведение векторов | 182
|
Глава VI. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве | 188
|
§ 36. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости | 188
|
§ 37. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью | 195
|
§ 38. Связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей | 201
|
§ 39. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей | 206
|
§ 40. Ортогональное проектирование. Площадь проекции плоской фигуры | 211
|
Глава VII. Уравнения прямой и плоскости в пространстве | 216
|
§41. Уравнения прямой в пространстве | 216
|
§ 42. Уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором. Общее уравнение плоскости | 221
|
§ 43. Решение некоторых задач на прямую и плоскость в пространстве методом координат | 228
|
§ 44. Геометрическая интерпретация системы трех линейных уравнений с тремя переменными | 235
|
Глава VIII. Многогранники | 238
|
§ 45. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла | 238
|
§ 46. Многогранный угол. Понятие о многограннике. Правильные многогранники | 242
|
§ 47. Призма. Прямая и правильная призмы. Параллелепипед | 249
|
§ 48. Пирамида. Сечение многогранника плоскостью. Усеченная пирамида | 255
|
§ 49. Многогранники | 262
|
Глава IX. Круглые тела | 266
|
§ 50. Цилиндр. Сечение цилиндра плоскостью | 266
|
§ 51. Конус, усеченный конус. Сечение конуса плоскостями | 271
|
§ 52. Сфера и ее уравнение. Шар. Сечения шара и сферы плоскостями | 276
|
§ 53. Тела и поверхности вращения | 284
|
§ 54. Понятие о сферическом треугольнике | 290
|
Глава X. Объемы и площади поверхностей тел | 292
|
§ 55. Понятие об объеме тела | 292
|
§ 56. Объем прямоугольного и наклонного параллелепипедов | 294
|
§ 57. Объем призмы | 300
|
§ 58. Объем цилиндра. Формула для вычисления объема тела через площади его поперечных сечений | 305
|
§ 59. Объем пирамиды и конуса | 309
|
§ 60. Площади поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра и конуса | 316
|
§ 61. Объем шара. Объем тела вращения. Площадь сферы | 323
|
Ответы и указания | 330
|
Предметный указатель | 343
|
Данное пособие написано в соответствии с действующей программой по математике для учащихся средних специальных учебных заведений на базе 8-летней школы. Теоретический материал изложен по возможности наглядно и доступно. Рассматриваются многочисленные примеры, иллюстрирующие разнообразные применения геометрии к решению практических задач.
Книга содержит десять глав, охватывающих весь программный материал. Параграфы, содержащие материал, выходящий за рамки программы, набраны более мелким шрифтом. В конце каждого параграфа приводятся вопросы для повторения, правильные ответы на которые позволят учащимся полнее и лучше усвоить материал. Затем приводятся упражнения к данному параграфу, часть которых дается с подробными решениями, а остальные предназначены для самостоятельного решения. Упражнения повышенной трудности отмечены звездочкой. Ответы и указания к упражнениям помещены в конце книги.
В книге приняты следующие обозначения: начало и конец доказательства теоремы или некоторого утверждения отмечаются соответственно знаками □ и ■, а начало и конец решения упражнения — знаками Л и А; указание к решению упражнения отмечается знаком ●.
Авторы выражают искреннюю признательность всем, кто своими замечаниями и помощью способствовал улучшению книги и ее скорейшему выходу в свет. Особенно хочется отметить доцента Я. С. Бродского и В. В. Лебедева, тщательно прочитавших рукопись и указавших на ее отдельные недочеты.