|
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В этой книге читатель найдет материал, в основном совпадающий с материалом других руководств по дифференциальной геометрии и отвечающий программам университетов и педагогических институтов. Но по методу изложения эта книга существенно отличается от упомянутых руководств. Обычно дифференциальная геометрия излагается аналитически; это значит, что исследуемые геометрические объекты относятся к некоторой системе координат, в результате чего решение геометрического вопроса сводится к исследованию уравнений, связывающих координаты. Плодотворность этого метода общеизвестна. Однако он имеет и свою оборотную сторону. Именно, в течение всего процесса исследования геометрические объекты и, что важнее всего, их внутренние связи оттесняются на задний план и остаются в тени. Вследствие этого утрачивается наглядность, а вместе с тем и психологическая убедительность. В этой книге преобладает синтетический метод; это значит, что от условия вопроса к его решению мы идем прямым путем, выполняя геометрические построения и вычисления, внутренне связанные с исследуемыми объектами. Таким образом, геометрическая фигура все время находится в поле зрения читателя. Синтетический метод исследования применялся в дифференциальной геометрии с самого момента ее возникновения. Но в учебной литературе он, насколько мне известно, систематически использовался лишь при изложении теории кривых. В русской же литературе до сих пор не было ни одного руководства, где хотя бы теория кривых излагалась синтетически. Принято думать, что доставляемое синтетическим методом преимущество наглядности покупается ценой пренебрежения строгостью. Это мнение основывается на том, что обычно при пользовании синтетическим методом одни величины заменяют другими, им эквивалентными, без достаточного обоснования такой замены. Наглядные представления делают ее довольно правдоподобной; с другой стороны, правильность полученного результата может быть строго доказана аналитически. Может быть, именно поэтому и не было сделано попытки внести в синтетические методы дифференциальной геометрии ту степень строгости, которая характеризует ее аналитические методы. Между тем оказывается, что и синтетические доказательства в дифференциальной геометрии можно обосновать с полной строгостью. С этой целью здесь введены понятия предела геометрического образа (точки, прямой, плоскости) и доказаны основные теоремы об этих пределах. Последние играют в синтетическом методе ту же роль, что в аналитическом методе теоремы о пределе функции. Как ни странно, но факт, что хотя сплошь и рядом пользуются такими выражениями, как «касательная есть предельное положение секущей», но нигде не определяется, что такое «предельное положение». Я предпочитаю выражение «касательная есть предел секущей прямой», и в § 5 читатель найдет точное определение понятия предела прямой линии. Стремление достигнуть наибольшей яркости геометрических представлений выражается в этой книге не только преобладанием синтетического метода исследования, но и подбором большого числа примеров, выясняющих индивидуальные особенности разнообразных линий и поверхностей. Этой же цели служат многочисленные рисунки. Нелишне также отметить, что, прежде чем ввести какое-нибудь новое понятие, я стараюсь выявить те физические факты, которые лежат в его основе. Как сказано, синтетический метод в этой книге является преобладающим. Однако и аналитическому методу уделено должное внимание, так как эта книга является прежде всего руководством для учащихся. И я думаю, что усвоение аналитических рассуждений только выигрывает при их сопоставлении с рассуждениями синтетическими. С другой стороны, я не видел необходимости в том, чтобы для каждого предложения давать как аналитическое, так и синтетическое доказательство. После того как оба метода достаточно усвоены, предпочтительно пользоваться в каждом отдельном случае тем, который ведет к цели быстрее. Отмечу еще одну особенность этой книги. В тех случаях, когда проведение строгого доказательства связано со вспомогательными построениями, могущими утомить внимание читателя, я часто привожу сначала наводящее рассуждение, дающее основную идею доказательства. И я рекомендую учащемуся при первом чтении именно на это наводящее рассуждение обратить особое внимание. Пусть он также старается в других случаях, где это наводящее рассуждение не выделено, извлечь из полного доказательства его «скелет», т. е. усвоить прежде всего его идею. При повторном чтении можно будет в деталях разобрать все те вспомогательные построения и вычисления, которые имеют задачей придать рассуждениям полную строгость. В работе над этой книгой большую помощь оказали мне нижеперечисленные лица. Проф. Г. Б. Гуревич, прочитавший чрезвычайно внимательно рукопись, обратил мое внимание на ряд существенных пробелов в доказательствах, а также отметил стилистические недочеты и вычислительные ошибки. За это я приношу ему глубочайшую признательность. Я с благодарностью воспользовался также критическими замечаниями проф. Я. С. Дубнова и проф. Н. В. Ефимова. Моему ученику Э. Г. Позняку я обязан указанием некоторых недостатков изложения, а главным образом — тщательным и любовным выполнением рисунков. Художники В. А. Сапожников и Е. П. Яковлев хорошо воспроизвели эти рисунки для клише, за что я приношу им глубокую признательность. Моей ученице Е. И. Кологрив я обязан помощью в технической работе. За помощь в технической работе, а также в чтении авторской корректуры я очень признателен В. А. Гуковской. В заключение считаю долгом отметить, что ряд глав я подверг коренной переработке, учитывая советы И. Н. Бронштейна. Эта книга писалась в годы Великой Отечественной войны. В то время, когда я работал над книгой, пришла весть о гибели на фронте моего сына Льва Марковича Выгодского (28/IV-1919—20/I-1944). Его памяти я посвящаю эту книгу. М. Выгодский 7 апреля 1949 г. Об авторе
 Выгодский Марк Яковлевич Советский историк математики и педагог, доктор физико-математических наук (1938), профессор (1942). Окончил физико-математический факультет Московского университета в 1923 г. Профессор механико-математического факультета МГУ в 1933–1941 и 1945–1948 гг. С 1952 г. — профессор Тульского педагогического института (ныне — Тульский государственный педагогический университет).
Область научных интересов М. Я. Выгодского — история математики Древнего мира, дифференциальная геометрия. Он автор целого ряда учебников и справочников по математике, один из основателей Советской историко-математической школы, переводчик сочинений И. Кеплера, Г. Монжа, Л. Эйлера. Вместе с С. А. Яновской организовал в МГУ семинар по истории математики. Основные труды: «Галилей и инквизиция» (1934), «Арифметика и алгебра в Древнем мире» (1941), учебник «Основы исчисления бесконечно малых» (1931), учебное пособие «Справочник по элементарной математике» (1941). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||