Опойцев В.И. Школа Опойцева:
Математический анализ. Изд. стереотип.

Оглавление Предисловие 7 1 Стартовая площадка 8 1.1 Откуда берутся «всякие» числа........... 9 1.2 Всё ли так просто................... 10 1.3 Комплексные числа.................. 12 1.4 Об ощущении таинственности............ 16 1.5 Комбинаторика .................... 18 1.6 Бином Ньютона.................... 20 1.7 Многочлены...................... 21 1.8 Теоретико-множественные операции........ 23 2 Последовательности и пределы 26 2.1 Сходимость и пределы................ 26 2.2 Простейшие инструменты .............. 28 2.3 Как работает лемма Вейерштрасса......... 30 2.4 Предел функции.................... 32 2.5 Непрерывные функции................ 35 2.6 О теории вещественных чисел............ 37 2.7 Надумана ли проблема и каковы блага....... 40 2.8 Равномерная непрерывность............. 42 2.9 Фундаментальные последовательности....... 43 2.10 Числовые ряды .................... 44 3 Производная и дифференциал 51 3.1 Производная...................... 51 3.2 Правила дифференцирования............ 53 3.3 Дифференциалы.................... 55 4 Оглавление 3.4 Производные элементарных функций........ 59 3.5 Тропа на вершину Тейлора.............. 64 3.6 Разложение Тейлора ................. 67 3.7 Контрпримеры и парадоксы............. 69 4 Интеграл 75 4.1 Первообразная..................... 75 4.2 Определённый интеграл ............... 77 4.3 Взаимосвязь интегралов............... 79 4.4 Техника интегрирования............... 81 4.5 Прикладные задачи.................. 85 4.6 Несобственные интегралы.............. 92 4.7 Дифференциальные уравнения........... 98 5 Функции нескольких переменных 105 5.1 В двух словах о векторах............... 105 5.2 Предел и сходимость................. 107 5.3 Непрерывность..................... 109 5.4 Частные производные................. 110 5.5 Приращения и дифференциалы........... 110 5.6 Производные и дифференциалы высших порядков................... 112 5.7 Градиент........................ 113 5.8 О роли повторных пределов............. 117 5.9 Интегралы, зависящие от параметра........ 122 6 Отображения, или операторы 125 6.1 Аргументы и функции как векторы......... 125 6.2 Линейные отображения................ 127 6.3 Обратимые преобразования ............. 130 6.4 Детерминанты, или определители.......... 132 6.5 Эквивалентные нормы................ 133 6.6 Дифференцирование оператора........... 136 6.7 Принцип сжимающих отображений......... 137 6.8 Обратные и неявные функции............ 138 Оглавление 5 7 Кратные интегралы 141 7.1 Двойные интегралы.................. 141 7.2 Замена переменных.................. 144 7.3 Кратные интегралы.................. 146 7.4 Объёмы п-мерных тел ................ 146 7.5 Сюрпризы п измерений................ 148 8 Векторный анализ 150 8.1 Координаты и векторы................ 150 8.2 Скалярное произведение............... 155 8.3 Векторное произведение............... 157 8.4 Приложения к механике............... 160 8.5 Дивергенция...................... 163 8.6 Оператор Гамильтона................. 167 8.7 Циркуляция ...................... 168 9 Гладкая оптимизация 173 9.1 Безусловный экстремум ............... 173 9.2 Достаточные условия................. 175 9.3 Условный экстремум ................. 176 9.4 Общий случай..................... 180 9.5 Нелинейное программирование ........... 182 9.6 Интерпретация множителей Лагранжа....... 184 9.7 Двойственные задачи................. 185 10 Аналитические функции 187 10.1 О роли комплексных чисел.............. 187 10.2 Дифференцируемость................. 190 10.3 Примеры........................ 193 10.4 Простейшие свойства................. 194 10.5 Контурные интегралы ................ 196 10.6 Интеграл Коши.................... 200 10.7 Регулярность...................... 202 10.8 Аналитическое продолжение............. 205 10.9 Теорема Руше..................... 207 6 Оглавление 11 Функциональные ряды 210 11.1 Равномерная сходимость............... 211 11.2 Степенные ряды.................... 212 11.3 Ортогональные разложения............. 214 11.4 Механизм производящих функций......... 217 11.5 Ряды Фурье ...................... 218 11.6 Интеграл Фурье.................... 221 11.7 Преобразование Лапласа............... 223 11.8 Дельта-функция.................... 227 12 Неподвижные точки 231 12.1 Проблемы существования решения......... 231 12.2 Вращение векторного поля.............. 234 12.3 Гомотопия векторных полей............. 237 12.4 Ядро теории...................... 240 12.5 Теоремы существования ............... 243 12.6 О теореме Брауэра .................. 245 12.7 Р-отображения..................... 246 12.8 Алгебраическое число нулей............. 247 12.9 Индексы на бесконечности.............. 248 12.10Накрытия и гомеоморфизмы............. 249 12.11 Параметрические уравнения............. 251 13 Проблемы обучения 253 13.1 Кто мы есть и как мы учимся............ 254 13.2 О взаимодействии с подсознанием ......... 257 13.3 Гипнотический вирус, будь он неладен....... 258 Обозначения 261 Литература 262 Предметный указатель 264