|
Оглавление
Предисловие к первому изданию
Объективной закономерностью развития науки является все большая специализация отдельных направлений. Возникающие при этом методы исследования подчас обладают столь большой специфичностью, что становятся мало понятными специалистам смежных областей. Вместе с тем углубленное изучение явлений природы требует привлечения опыта и методов родственных областей человеческого познания. Современное состояние механики подтверждает эту мысль. Развитие таких ее областей, как механика твердого тела, жидкости и газа, механика управляемых движений, биомеханика и ряд других направлений, базируется на классических методах и законах механики и вместе с тем на законах и методах таких: наук, как физика, химия, биология. Представляется важным оценить накопленные знания в отдельных областях механики и расширить их применение в других. Классическая аналитическая механика является самой «старой» частью механики. Ее история насчитывает почти три столетия, а методы классической механики следует признать наиболее развитыми. Величайшие механики и математики. Земли отдали свои умы и сердца этой науке. Задачи, которые ставила перед ними практика, привели к рождению многих новых направлений математики, стимулировали ее развитие. С другой стороны, этот процесс обогащал и саму механику новыми методами и идеями. В механике сплошных сред изучаются более сложные объекты, чем в Классической механике, в которой исследуются движения систем, состоящих из материальных точек и абсолютно твердых тел. Математический аппарат, используемый для описания движения распределенных систем, более сложен. Здесь мы сталкиваемся с такими геометрическими объектами, как тензоры, бесконечномерные многообразия, с интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных. Часто оценки и суждения о характере динамических процессов требуют привлечения глубоких и тонких теорем функционального анализа. Одним словом, переход от конечного числа степеней свободы в случае классической механики к бесконечному в случае механики сплошных сред приводят к качественным изменениям в методах исследования. Однако представляет определенный интерес сопоставление глубоких и хорошо развитых методов классической аналитической механики с методами механики сплошных сред, обобщение первых на случай систем с бесконечным числом степеней свободы. Этим вопросам и посвящена настоящая монография. В механике сплошных сред можно выделить класс систем, для описания движений которых требуется привлечение только механических характеристик, таких, как поля перемещений, скоростей и ускорений. Другой класс систем характеризуется тем обстоятельством, что силовые поля рассматриваются как функции физических параметров немеханической природы, например, температуры, напряженности электромагнитных полей, интенсивности источников тепла и т. д. В этом случае замкнутая система уравнений, описывающая поведение системы, содержит не только уравнения механики, но и соотношения, вытекающие из физических законов, описывающих изменения тех или иных параметров. Ниже будут рассматриваться только механические системы первого типа, которые можно охарактеризовать как обобщение понятия классической механической системы на случай системы с бесконечным числом степеней свободы. В первой главе определяется механическая система с бесконечным числом степеней свободы, исследуется модель голономной системы с идеальными связями, ее уравнения движения, обобщается на случай бесконечного числа степеней свободы ряд методов классической механики, таких, как уравнения Лагранжа второго рода и Гамильтона, теория канонических преобразований, метод Гамильтона — Якоби, вариационные принципы и др. Уравнения движения механических систем трактуются как обыкновенные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, а их решения, понимаемые в обобщенном смысле, описывают разрывы в полях скоростей и ускорений и ударные явления. Банаховы пространства, которым принадлежат перемещения, скорости и ускорения точек механической системы, определяются всякий раз естественным образом, как только оказывается выбранной модель механической системы. В механических системах с бесконечным числом степеней свободы актуальным становится вопрос о корректности выбранной модели в математическом смысле, т. е. вопрос о существовании и единственности обобщенных решений уравнений движения. Это обстоятельство связано с неограниченностью используемых операторов, когда простая смена знака в уравнении приводит к новому уравнению, у которого вообще нет решений. Во второй главе обсуждается ряд моделей механических систем с бесконечным числом степеней свободы (динамическая задача нелинейной теории упругости, система упругое—твердое тело с неподвижной точкой) и доказываются теоремы существования и единственности обобщенных решений уравнений движения. Всякая механическая система при наличии диссипативных сил обладает притягивающим множеством — аттрактором, к которому стремятся почти все движения системы. При наличии первых интегралов притягивающие множества содержатся в множестве стационарных движений системы, которые являются по существу положениями равновесия приведенной системы на многообразии, определяемом первыми интегралами.. В третьей главе речь идет о стационарных движениях механических систем с бесконечным числом степеней свободы и об их устойчивости. Рассмотрены задачи о движении вязкоупругого тела в центральном ньютоновском поле сил, системы вязкоупругих тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения, и задача о движения системы тяжелое упругое—твердое тело с неподвижной точкой. Во всех случаях системы обладают первыми интегралами (законы сохранения момента количеств движений), а рассеяние энергии при деформациях тел вызывает стремление систем к стационарным движениям— равномерным вращениям систем как твердого тела. Движения такого рода являются единственными движениями* при которых отсутствует диссипация энергии. В четвертой главе обсуждается асимптотический метод построения приближенных уравнений, описывающих эволюцию движений сложных механических систем в канонических переменных действие — угол. Метод разделения движений и усреднения позволяет перейти от уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, неизвестными в которой являются переменные действия невозмущенной задачи. Другими словами, речь идет об описании движения системы с помощью некоторых интегральных характеристик и об асимптотической близости значений этих характеристик в точных и приближенных уравнениях. Этим методом исследована эволюция движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой и вязкоупругими элементами (стержнями, деформируемым диском), задача о поступательно-вращательном движении шарообразной вязкоупругой планеты и др. Пятая глава посвящена исследованию вторым методом Ляпунова устойчивости положений равновесия ряда механических систем с бесконечным числом степеней свободы. Второй метод Ляпунова без каких-либо изменений может быть перенесен на системы, описываемые дифференциальными уравнениями в банаховых пространствах. Единственно, что здесь следует иметь в виду, это необходимость использования нормы (любой из семейства эквивалентных норм) в естественном фазовом пространстве системы для оценки близости решений. Возможность выбора неэквивалентных норм приводит к различным трактовкам понятия устойчивости, к сужению класса возмущенных движений. В заключение выражаю глубокую благодарность моему учителю академику А. Ю. Ишлинскому, общение с которым пробудило мой интерес к механике систем с бесконечным числом степеней свободы. Выражаю признательность членам-корреспондентам АН СССР Д. Е. Охоцимскому, В. В. Румянцеву и профессору В. Г. Демину за доброжелательность и внимание к моей работе. Я искренне благодарю мою жену Н. Е. Болотину за советы и поддержку, которые были неоценимы при написании этой книги.
Об авторе
 Вильке Владимир Георгиевич Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики и мехатроники отделения механики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Руководитель школы «Механика систем твердых тел с деформируемыми элементами и с полостями, заполненными жидкостью» при кафедре, заслуженный профессор МГУ имени М. В. Ломоносова.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||