|
Содержание
Предисловие
Вы можете задать себе два вопроса. Зачем читать эту книгу? Почему авторы ее написали? Попробуем ответить на них в предисловии. Итак, вопрос первый: зачем читать? Каждый понимает, что возникновение новых представлений в науке расширяет наши знания об окружающем мире и делает наш внутренний мир более богатым, способным увидеть и оценить сложность, многообразие и красоту природы. Это, в полной мере, касается и предмета повествования данной книги. Совершим небольшой экскурс в историю развития некоторых представлений в науке. С древних времен считалось, что умение предсказывать – удел мудрецов, и вместе с тем, предвидение – это одна из основных целей науки. Развитие математики существенно расширило возможности исследователей в проведении научного прогноза. Оказалось, например, что движение небесных тел можно рассчитывать, решая дифференциальные уравнения, которые могут быть достаточно сложными, и для их решения нужно будет приложить немало усилий. Такая работа увлекла ученых на многие годы и, казалось, единственным препятствием будут чисто математические трудности, которые со временем будут преодолены. Однако с развитием науки возникло понимание того, что нельзя сделать, какие цели не стоят перед научным исследованием. Так, с появлением термодинамики стало понятно, почему никогда не построят вечный двигатель. Квантовая механика показала, что мы принципиально лишены возможности измерить с заранее заданной точностью одновременно координату и импульс элементарной частицы. На непреодолимые барьеры указала теория относительности. По сути, понимание новых ограничений стало признаком фундаментальных теорий. В этом ряду важное место занимают работы последних лет, связанные с предсказуемостью. Стимулом к таким исследованиям послужила работа американского метеоролога Э. Лоренца, опубликованная в 1963 г. Лоренц поставил перед собой вопрос: почему при наличии мощных ЭВМ нельзя дать надежный, достаточно долгосрочный прогноз погоды. Он предложил простую модель, которая описывала динамику атмосферы, и просчитал её на ЭВМ. Изучая одно из численных решений системы, Лоренц вывел на печать промежуточные результаты счета в формате «три знака после десятичной запятой» при точности представления «шесть знаков после запятой» в памяти машины. Используя затем эти промежуточные данные в качестве начальных для последующего счета, Лоренц обнаружил, что после соответствующего расчета результаты кардинальным образом отличались от тех, которые были получены без промежуточного вывода значений на печать, т.е. без отбрасывания трех последних знаков в промежуточных результатах. Получив такой результат, Лоренц не отмахнулся от него как от ошибки вычислений, а отнесся очень серьезно. Этот результат – возникновение хаотических, напоминающих случайные, колебаний. При этом модель Лоренца была детерминированной, т.е. в уравнениях её динамики полностью отсутствовали случайные параметры. Таким образом, в системе, где будущее однозначно определяется прошлым, Лоренц обнаружил конечный горизонт прогноза. Это явление получило название детерминированного (динамического) хаоса. Вслед за работой Лоренца начались интенсивные исследования данного явления. Оказалось, что хаотическим колебаниям (явлениям), которые возникают согласно регулярным законам, присущ не «бесформенный» хаос, а хаос со скрытым порядком. Этот порядок связан с понятием фрактальной структуры. И хотя в математике подобные конструкции в той или иной форме появлялись более ста лет назад, в физике ценность подобных идей была осознана лишь в 70-е годы ХХ века. Как свидетельство этих перемен процитируем торжественное заявление, с которым выступил в 1986 г. сэр Дж. Лайтхилл*, бывший в то время президентом Международного союза теоретической и прикладной механики: «Тут я должен остановиться и снова выступить от имени широкого всемирного братства тех, кто занимается механикой. Мы все глубоко сознаем сегодня, что энтузиазм наших предшественников по поводу великолепных достижений ньютоновской механики побудил их к обобщениям в этой области предсказуемости, в которые до 1960 г. мы все охотно верили, но которые, как мы теперь понимаем, были ложными. Нас не покидает коллективное желание признать свою вину за то, что мы вводили в заблуждение широкие круги образованных людей, распространяя идеи о детерминизме систем, удовлетворяющих законам движения Ньютона, – идеи, которые, как выяснилось после 1960 г., оказались неправильными». Динамический хаос и фрактальные структуры свойственны не только, как казалось бы на первый взгляд, физическим нелинейным системам. В настоящее время фракталам и хаосу посвящено много книг и обзоров, большое число статей опубликовано в ведущих научных журналах мира по математике, физике, химии, биологии, медицине, экономике и других. Конечно, фракталы присутствуют во многих структурах вовсе не связанных с явлением динамического хаоса, да и явление хаоса не всегда сопровождается фрактальным образованием. Однако, говоря о них вместе, мы хотели подчеркнуть, с одной стороны, их природную взаимосвязь, а с другой, отметить одновременное повышение интереса к этим явлениям. Понятие фрактала выросло в новую математическую модель, дающую единое описание свойств, присущих многим природным явлениям. Этим объясняется современная популярность фрактального подхода к анализу различных объектов. В заглавие книги вынесены слова «от удивления к инструменту». Они явились руководящей идеей при написании книги. Действительно, от удивления, которое испытываешь при знакомстве и изучении фракталов до инструмента, позволяющего глубже понять природу исследуемого явления. Таков путь авторы предлагают пройти читателю, взявшему на себя труд прочтения данной книги. Теперь ответим на второй вопрос: почему написана эта книга? На данный момент, имеется большое количество литературных источников разного уровня сложности, в которых говорится о фракталах. Следует выделить замечательные книги Е. Федера [28], Х.-О. Пайтгена и П. Х. Рихтера [25], С. В. Божокина и Д. А. Паршина [3], Р. М. Кроновера [18], которыми авторы руководствовались в своей работе. Однако мы полагаем, что написание книги в виде цикла лекций, в которых, как мы надеемся, последовательно и доходчиво изложен материал найдет своего читателя. Предлагаемая книга – это лекции для первоначального ознакомления с понятиями о фракталах. Характерной чертой лекций является практическая направленность, т.е. читатель не только знакомится с характеристиками явления, но и, имея под рукой программу для ЭВМ, может повторить результат, представленный в тексте, и провести самостоятельное исследование. Это позволит ему убедиться в существовании описанных явлений и почувствовать себя первооткрывателем. Программы написаны для математического пакета Mathcad, как наиболее приближенного к восприятию пользователя. Программы выложены на сайте http://freescb.info/ в разделе «Книжная лавка». Следует сказать, что становление науки о фракталах и динамическом хаосе стало возможным благодаря интенсивному развитию вычислительной техники. Можно с уверенностью утверждать, что без развития вычислительной техники науки о хаосе и фракталах, в современном представлении, не существовало бы. Говоря о математических средствах в свете последовательного изложения материала книги, нужно особо выделить роль геометрических представлений. Использование понятий линии, вектора, кривых различных типов позволяет придать наглядность многим результатам физических теорий. В историческом аспекте следует отметить, что развитие физических представлений о природе в значительной мере основывалось на привлечении и использовании фундаментальных геометрических идей. Именно поэтому в предлагаемой книге при изучении фракталов геометрические представления и понятия занимают центральное место. Структура лекций отображена в оглавлении и в дополнительных комментариях не нуждается. Отметим, что двенадцатая лекция написана на основе исследований авторов книги. В конце книги приведен список литературы. Мы ограничились лишь некоторыми относительно доступными изданиями. Уровень изложения в них различен: от популярных статей до глубоких монографий. Перечень литературных источников и обширные данные в Интернете позволят читателю определить дальнейшие ориентиры. Мы надеемся, что книга будет полезна не только студентам, но и представителям как технических, так и гуманитарных специальностей, которые хотели бы познакомиться с таким интересным и развивающимся научным направлением. В заключении хотелось бы сказать, что в процессе работы над книгой, обсуждая некоторое явление или результаты расчетов на ЭВМ, мы не раз испытывали чувства удивления и восхищения, о которых так образно говорится в поэтических строках, приведенных ниже. Если у читателя возникнут подобные чувства, то такое созвучие будет нами радостно воспринято.
Об авторах
 Гринченко Виктор Тимофеевич Академик Национальной академии наук Украины, заслуженный деятель науки и техники Украины, лауреат Государственной премии УССР в области науки и техники, директор Института гидромеханики НАНУ. Научные интересы: волновые процессы в упругих телах и жидкостях, генерация звука потоками, взаимодействие электрических и механических полей в средах с пьезоэффектом, эффекты детерминированного хаоса в стоксовых течениях жидкости.
 Мацыпура Владимир Тимофеевич Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и прикладной механики Киевского национального университета имени Тараса Шевченко. Научные интересы: волновые процессы, фракталы, детерминированный хаос.
 Снарский Андрей Александрович Доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики Национального технического университета Украины «КПИ». Научные интересы: теория протекания, кинетические явления в случайно-неоднородных средах, термоэлектричество, фракталы, детерминированный хаос, теория сложных сетей.
 Вовк Игорь Владимирович Доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института гидромеханики НАНУ. Научные интересы: излучение и рассеяние звука, генерация звука потоками, электроакустические преобразователи, регистрация и классификация звуков дыхания человека, фрактальный анализ сложных сигналов.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
