|
Оглавление
Предисловие
Идея аппроксимации является одной из основных в математике и ее приложениях. Правильно построенные аппроксимации позволяют получить содержательные результаты качественного и численного характера путем сведения исходной задачи к семейству более простых. Предлагаемая монография посвящена систематическому изложению эффективных методов решения сложных задач на экстремум при наличии ограничений, основанных на аппроксимациях их задачами более простой структуры. Охватывается широкий класс задач оптимизации и управления, параметры которых не удовлетворяют стандартным условиям гладкости или выпуклости. Такие задачи естественно возникают в различных разделах нелинейной механики, информатики, теории оптимальных процессов и имеют важные практические приложения. Среди характерных негладких объектов отметим функции оптимального результата в задачах экономического планирования, управления, теории игр, функции действия и гамильтонианы в классической и квантовой механике, маргинальные значения функционалов в параметрических задачах оптимизации и др. С негладкостями того или иного вида все чаще приходится сталкиваться при решении задач разнообразной природы, исходные параметры которых являются как угодно гладкими. Заметим, что задачи оптимального управления уже в первоначальных постановках относятся к классу негладких экстремальных задач за счет наличия нефункциональных ограничений на переменные управления, негладкости и невыпуклости множеств достижимости динамических систем. Основное внимание в книге уделяется двум методам аппроксимации, позволяющим решать как качественные, так и численные вопросы оптимизации и управления. Первый из рассматриваемых методов — метод метрических аппроксимаций — направлен на построение эффективных аппроксимаций негладких и невыпуклых задач на экстремум с общими ограничениями семейством сглаженных задач безусловной минимизации функций специального вида (типа нормы или расстояния), дифференцируймых в точках минимума. С помощью данного метода получены новые необходимые условия оптимальности в задачах недифференцируемого программирования со многими ограничениями типа равенств, неравенств и включений, в задачах оптимального управления негладкими системами с непрерывным и дискретным временем при наличии общих ограничений на переменные управления и состояния, в минимаксных и векторных задачах оптимизации и др. Полученные условия экстремума выражаются в терминах введенных автором конструкций обобщенных производных (дифференциалов), нормалей и сопряженных отображений для негладких и невыпуклых объектов общей природы, которые расширяют соответствующие понятия классического и выпуклого анализа и являются в определенном смысле наилучшими среди других подобных конструкций негладкого анализа и оптимизации. Характерной особенностью введенных конструкций обобщенных производных и т. п. является невыпуклость их значений как многозначных отображений, что не позволяет использовать при их исследовании и применении развитую технику выпуклого анализа, группирующуюся вокруг теоремы отделимости выпуклых множеств. Взамен этого создается новый аппарат невыпуклого анализа, основные результаты которого получены с помощью метода метрических аппроксимаций. В книге даются многочисленные приложения невыпуклого анализа к различным задачам оптимизации и управления. Второй из подробно рассматриваемых в монографии методов аппроксимации связан с построением корректных конечно-разностных (дискретных) аппроксимаций негладких систем управления с непрерывным временем при наличии общих ограничений на управляющие и фазовые переменные. Конечно-разностные аппроксимации естественно возникают при расчетах систем дифференциальных уравнений на вычислительных устройствах дискретного действия, а также при теоретических построениях в различных задачах теории оптимальных процессов и дифференциальных игр. В книге дается использование метода дискретных аппроксимаций как для обоснования численных процедур расчета и исследования устойчивости процесса управления при моделировании систем с непрерывным временем на ЭВМ, так и для решения ряда качественных вопросов оптимизации управляемых систем с непрерывным и дискретным временем (существование оптимальных управлений, необходимые условия оптимальности, проблемы корректности и устойчивости). Излагаются основы теории оптимального управления конечно-разностными системами с ограничениями на состояние, рассматриваемыми как процесс при уменьшающемся шаге дискретизации. Такие системы занимают промежуточное положение между общими дискретными системами с фиксированным шагом и системами управления с непрерывным временем, обладая рядом принципиальных особенностей, Основной результат для конечно-разностных задач оптимального управления с ограничениями получен в виде аппроксимативного принципа максимума, справедливого при конструктивном согласовании аппроксимации ограничений на состояние с шагом разностной сетки без каких-либо предположений выпуклости. С использованием дискретных аппроксимаций и необходимых условий оптимальности первого и высших порядков для особых (скользящих) режимов построена теория существования оптимальных процессов в невыпуклых системах, позволяющая учитывать специфику конкретных задач. Ряд полученных результатов переносится на функционально-дифференциальные системы с последействием нейтрального типа, в которых возникают качественно новые эффекты: по сравнению с обыкновенными системами и системами запаздывающего типа. Отметим систематическое использование методов оптимизации (вариационного подхода) при решении задач, которые по своей природе не являются экстремальными (обобщенное дифференциальное исчисление и связанные вопросы невыпуклого анализа в §§ 1, 4, 5, экстремальная версия теоремы отделимости невыпуклых множеств в § 6, управляемость и наблюдаемость динамических систем в § 13 и др.). Это указывает на эффективность рассматриваемых аппроксимационных схем и методов оптимизации при решении задач разнообразной природы. Монография состоит из введения, пяти глав и дополнения. Нумерация параграфов — сквозная по главам и отдельная по введению и дополнению с добавлением соответственно букв «В» и «Д». Параграфы разбиты на пункты, нумерация которых, как и формул внутри параграфа, одинарная, а при ссылках на другой параграф добавляется его номер. Нумерация утверждений (теоремы, леммы, предложения), а также примеров и замечаний — двойная (первое число — номер параграфа, а второе — внутри параграфа); следствия из теорем занумерованы тремя числами. Материал монографии излагается таким образом, чтобы основные результаты были доступны не только специалистам по теории управления, математикам и механикам, но также инженерам и экономистам, занимающимся приложением методов оптимизации и управления к решению практических задач. Это достигается, в частности, за счет того, что основное изложение ведется в конечномерных пространствах, а теоретические конструкции сопровождаются примерами как чисто иллюстративного характера, так и охватывающими реальные задачи. Предварительные сведения из классического и выпуклого анализа приведены во введении, а вспомогательные результаты по теории многозначных отображений и дифференциальных включений — в дополнении. Во введении дается также обзор основных конструкций обобщенных производных в негладком анализе с их использованием в необходимых условиях экстремума и характеризуются главные моменты, составляющие суть данной монографии. Содержание книги отражено в подробном оглавлении, библиографические комментарии приведены после каждой главы и дополнения. В монографии используются стандартные обозначения из классического и выпуклого анализа, теории множеств и т. д., которые поясняются во введении. Список основных обозначений приведен в конце книги. Материал данной книги использовался при чтении специальных курсов лекций на факультете прикладной математики и механико-математическом факультете Белорусского государственного университета. Он многократно обсуждался на семинарах Р. Габасова и Ф. М. Кирилловой, которым автор приносит глубокую благодарность за постоянное внимание и поддержку. Хочется выразить сердечную признательность В. М. Тихомирову, чьи критические замечания в процессе работы над книгой и ее рецензировании способствовали существенному улучшению рукописи. Минск, сентябрь 1986 г. Б. Мордухович Об авторе
 Мордухович Борис Шолимович Доктор физико-математических наук, заслуженный профессор математики (Государственный университет Уэйна). Почетный член Общества индустриальной и прикладной математики (SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics) и Американского математического общества (AMS, American Mathematical Society). Почетный доктор шести мировых университетов и Почетный профессор двух университетов. Член трех академий наук (США и Европа). Обладатель многих международных наград.
Один из наиболее цитируемых в мире ученых в области математики. Научные интересы: проблемы оптимизации, теории управления и их разнообразных приложений к моделям экономики, биологии, механики и других научных и технических дисциплин. Один из основателей современного вариационного анализа и обобщенного дифференцирования, успешно применяющихся в задачах математики и ее приложениях. Автор более 500 публикаций, в том числе семи монографий, наиболее популярными из которых являются «Вариационный анализ и обобщенное дифференцирование. Том 1: Фундаментальная теория» (2006), «Вариационный анализ и обобщенное дифференцирование. Том 2: Приложения» (2006), «Вариационный анализ и его приложения» (2018), «Выпуклый анализ и его обобщения» (в соавт. с Н. М. Намoм, 2022). Книги были опубликованы издательством Springer на английском языке, впоследствии были переведeны и на другие языки. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||