Арнольд И.В. Теоретическая арифметика Изд. 3

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.

Что в этой книге содержится, как она написана и какие требования предъявляет к читателю?

Начну с последнего. Предполагается прежде всего, что читатель владеет элементарной математикой в объеме курса средней школы. В некоторых главах от читателя требуется сверх того знакомство с теорией пределов и с понятием функции, скажем, такое, какое дается во всяком курсе математического анализа.

Этим требования к читателю в отношении его математических знаний исчерпываются. Но зато сравнительно большие требования предъявляются к уровню его математического развития. Самый характер трактуемых вопросов предполагает наличие у читателя довольно значительных навыков в области абстрактного логического мышления и умения ориентироваться в методологической стороне дела. С другой стороны, я старался вести изложение так, чтобы систематическая самостоятельная работа над этой книгой могла содействовать, в свою очередь, развитию у читателя указанных навыков и ориентировки.

Теперь о содержании книги. Она состоит из двух частей — учения о числе в его последовательных обобщениях и начальных глав теории чисел в обычном смысле слова. Объединение этого несколько разнородного материала в одной книге обусловлено стремлением включить в книгу весь материал арифметической части „Специального курса элементарной математики", входящего, согласно действующей программе, как обязательный предмет в учебный план педвузов. Этим объясняется и несколько отличающийся от обычного характер изложения в последних двух главах книги (более детальное изложение вопросов об общем наибольшем делителе и наименьшем кратном, о признаках делимости и др.), а также и включение в первую часть вопросов, непосредственно к развитию понятия числа отношения не имеющих (теории показательной и логарифмической функций и в связи с этим некоторых общих теорем теории функций действительного переменного).

Основная же часть книги, как сказано, отведена учению о числе. Здесь читатель найдет, во-первых, ставшие уже в вопросах обоснования понятия числа классическими: теорию количественного натурального числа по Кантору, теорию натуральных чисел и двустороннего натурального ряда Грассмана, теорию пар для введения отрицательных, дробных и комплексных чисел, теорию сечений Дедекинда, сходящихся последовательностей Кантора и примыкающие к ним теории степенной, показательной и логарифмической функций; далее, краткие сведения о трансфинитных числах, излагаемые в связи с учением о натуральном числе, теорию кватернионов в геометрическом изложении и элементарные сведения из теории гиперкомплексных чисел в объеме, необходимом для доказательства теоремы Фробениуса, в известном смысле завершающей учение о числовом поле в его связи с обобщением понятия числа.

Весь перечисленный материал выделен в тексте так, что читатель, желающий ознакомиться с той или иной теорией вне зависимости от основной нити изложения, может, отвлекаясь от отдельных вводных фраз, непосредственно приняться за чтение соответствующих параграфов книги. В особенности это относится к § 1—4, 12, 13, 17, 19—23, 36-40, 50—54, 62—71, 73, 77, 80—85, 94, 106, 110—125.

Такое выделение, естественное для книги, содержащей изложение большого числа разнородных по своему содержанию вопросов, обусловлено также и тем, что остальная часть ее содержит материал, повидимому, впервые включаемый в систематический курс теоретической арифметики и уже потому не могущий претендовать на вхождение в общепринятый минимум сведений по этому курсу.

Это прежде всего относится к операторной теории числа и измерения и к примыкающей к ней теории операций высших ступеней (включая и теорему Абеля), затем к теории ε-приближений, теории натуральной показательной функции, а также к учению о делимости, в котором в основу положены понятие о наименьшем кратном (а не о наибольшем общем делителе, как обычно) и отношение делимости для дробных чисел. Имея в виду сравнительную элементарность вопросов, я позволил себе не наводить литературных справок и потому лишен возможности сослаться на какие-либо литературные источники по указанным пунктам, за исключением разве указанных в тексте работ Гамильтона, от которых ведет свое начало операторная теория числа.

Сюда же в известной мере относится и несколько отличающееся от обычного изложение теории количественного натурального числа, в котором я преследовал методологическую и частично методическую цель установления непосредственной связи между принципом полной индукции и определением конечности множества, чтобы лишь на следующей ступени абстракции установить систему аксиом Пеано.

Несколько особое положение занимает также небольшая методологическая экскурсия в область философских споров сравнительно недавнего происхождения, связанных с так называемым „интуиционизмом". Ни на что большее, кроме беглого ознакомления читателя с постановкой вопроса, эта часть не претендует; предъявляя здесь, быть может, и более высокие требования к читателю, чем в остальных частях книги, автор не считал возможным просто обойти молчанием обстоятельства, имеющие фундаментальное значение в вопросах обоснования арифметики.

Положенные в основу методологические установки, из которых и вытекал выбор того, а не иного способа изложения, определяются общим стремлением с моей стороны установить Связь между формальной стороной и тем конкретным содержанием понятия числа, которое обусловлено его ролью в изучении тех или иных конкретных величин, тех или иных количественных соотношений действительности.

Изложение теории натурального числа, принятое в главах I и II, и последовательное проведение операторной точки зрения позволяют, по моему мнению, осветить возникающие в связи с указанной установкой методологические вопросы с большей ясностью, нежели это было бы возможно в пределах классических формальных теорий. Кроме того, я считал, что с точки зрения интересов читателя здесь следовало предпочесть проникнутое определенным мировоззрением изложение более, быть может, легкому и менее ответственному сухому перечислению математических фактов. В этих двух обстоятельствах я видел достаточное оправдание для включения указанных выше вопросов и указанных методов изложения в книгу, предназначенную для заполнения весьма существенного пробела в нашей учебной литературе.

Москва, июнь 1937 г.

И. Арнольд.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.

В 1938 г. была принята новая программа по курсу теории чисел для педвузов, по объему выходящая за пределы двух последних глав первого издания настоящей книги. В силу этого оказалось целесообразным выделить эти главы с соответствующими добавлениями в готовящуюся к печати отдельную книгу „Теория чисел", согласованную с новой программой, а из книги „Теоретическая арифметика" указанные эти две главы исключить, сохранив в ней лишь основную ее часть, относящуюся к развитию понятия числа.

Эта часть в новом издании осталась почти без изменений. Подверглись лишь большей систематизации вопросы аксиоматики числовых систем рациональных и действительных чисел, выделенные в отдельную главу IV. При этом и здесь, как и раньше, я старался вести изложение по возможности независимо от остальных глав. Неизбежно возникающие при таком методе изложения повторения, как мне кажется, облегчают работу читателя, в намерения которого может, ведь, и не входить ознакомление с каждым вопросом со всех тех точек зрения, которые нашли свое отражение в книге.

Москва, декабрь 1938 г.

И. Арнольд.

Об авторе