Князев П.Н. Интегральные преобразования Изд. стереотип.

URSS. 2023. 200 с. ISBN 978-5-9519-3761-2.

Серия: Физико-математическое наследие: математика (теория функций)

Типографская бумага

Мягкая обложка
Другой вариант 450 р. ››

Аннотация

В настоящей книге излагаются вопросы теории интегральных преобразований, тесно связанные с краевыми задачами теории аналитических функций (преобразования Фурье аналитических функций, существование и свойства граничных значений аналитических в полуплоскости функций, теоремы о свертках, преобразование Гильберта и т.д.). Книга содержит около 150 упражнений. Для понимания материала книги достаточно курса математики высших технических учебных... (Подробнее)

Оглавление

От автора				5
Предисловие редактора				5
Глава 1. Некоторые сведения из теории функций				9
§ 1. Классы L^p				9
1. Определение классов L^p				9
2. Норма				9
3. Полнота L^p				11
4. Плотные в L^p семейства функций				12
5. Класс L²				13
§ 2. Предельный переход под знаком интеграла				15
§ 3. Изменение порядка интегрирования				16
§ 4. Дифференцирование интеграла с переменным верхним пределом				16
§ 5. Некоторые результаты из теории функций комплексного переменного				17
Упражнения				18
Глава 2. Ортогональные системы функций				19
§ 6. Ортонормальные системы (о. н. с.)				19
1. О. н. с. и ряды Фурье				19
2. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, экстремальное свойство отрезка ряда Фурье				19
3. Замкнутые и полные о. н. с				21
§ 7. Процесс ортогонализации				24
1. Схема ортогонализации				24
2. Многочлены Лежандра				28
3. Многочлены Чебышева — Лагерра				32
4. Многочлены Чебышева — Эрмита				33
Упражнения				36
Глава 3. Преобразование Фурье в классе L				37
§ 8. Дополнительные сведения о рядах Фурье по тригонометрической системе				37
1. Комплексная форма ряда Фурье				37
2. Ряд Фурье для функций класса L (—πl, πl)				39
3. Наводящие рассуждения, которые приводят к преобразованию Фурье				40
§ 9. Преобразование Фурье функций из класса L				41
1. Определение и обозначения преобразования Фурье				41
2. Теорема Римана — Лебега				42
3. Пример				46
§ 10. Обращение преобразования Фурье				48
1. Определение обратного преобразования Фурье				48
2. Обращение преобразования Фурье				49
Упражнения				54
Глава 4. Преобразование Фурье в классе L². Теория Планшереля				55
§11. Предварительные сведения				55
1. Определение преобразования Фурье для функций из класса L²				55
2. Леммы				56
§ 12. Теория Планшереля				58
1. Унитарные операторы				58
2. Теорема Планшереля				59
3. Обобщенное равенство Парсеваля				64
4. Синус- и косинус-преобразования Фурье				65
5. Собственные функции и собственные значения оператора V в L²				67
Упражнения				71
Глава 5. Теоремы о свертках				74
§ 13. Свертка функций из класса L²				74
§ 14. Свертка функций из класса L				76
§ 15. Свертка функций из классов L и L²				77
Упражнения				83
Глава 6. Зависимость скорости убывания на бесконечности и гладкости преобразований Фурье от гладкости и скорости убывания исходных функций				85
§ 16. Скорость убывания на бесконечности преобразований Фурье гладких функций				85
1. Скорость убывания преобразования Фурье				85
2. Уравнение теплопроводности				87
§ 17. Гладкость преобразования Фурье функций, убывающих на бесконечности, как \| х \| ^-m				89
1. Гладкость преобразования Фурье				89
2. Класс гладких функций, инвариантный относительно преобразования Фурье				90
§ 18. Преобразование Фурье функций, убывающих на бесконечности как экспонента				92
1. Преобразование Фурье функций, убывающих на бесконечности быстрее, чем е^-а\|x\|, а>0				92
2. Полнота о. н. с, построенной по многочленам Чебышева — Эрмита				96
Упражнения				97
Глава 7. Преобразования Фурье аналитических функций				98
§ 19. Сопряженные функции				98
1. Определение сопряженных функций				98
2. Характеристическое свойство сопряженных функций				100
§ 20. Преобразование Фурье аналитических в полуплоскости функций				102
Упражнения				118
Глава 8. Некоторые другие интегральные преобразования				119
§ 21. Преобразование Лапласа				119
§ 22. Преобразование Меллина				124
1. Определение преобразования Меллина				124
2. Формулы свертки				126
3. Преобразование Меллина в классе L²(lnx; 0, оо)				128
§ 23. Преобразование Гильберта				130
1. Определение преобразования Гильберта				130
2. Преобразование Гильберта в классе L²				132
3. Преобразование Гильберта для функций из класса L				144
§ 24. Преобразование Ганкеля				145
1. Функции Эйлера Т(р) и В(р, q)				145
2. Функции Бесселя				149
3. Интегральное представление функций Бесселя				152
4. Некоторые пары преобразований Меллина				155
5. Преобразование Ганкеля в классе L²(0, ∞)				161
6. Преобразование Ганкеля в классе L (0, ∞)				166
Упражнения				168
Приложение 1. Преобразование Фурье функций многих переменных				171
Приложение 2. Преобразование Фурье обобщенных функций				173
Приложение 3. Краткие указания о применении интегральных преобразований				179
Ответы к упражнениям				181
Литература				189
Предметный указатель				190

От автора

Настоящее учебное пособие примыкает по содержанию к курсу уравнений математической физики и адресовано студентам университетов, педагогических институтов, а также технических вузов с расширенным курсом высшей математики: инженерно-физических, физико-технических, авиационных. Предполагается, что читатель знаком с теориями функций действительного и комплексного переменного. Но для замкнутости изложения все необходимые сведения из теории функций сформулированы в небольшой первой главе. Материал книги в основном классический, но есть некоторые пункты, связанные с новыми исследованиями. Книга содержит около 150 упражнений. Представление о содержании дает подробное оглавление.

Данное пособие характеризуется некоторой направленностью, заключающейся в изложении вопросов теории интегральных преобразований, тесно связанных с краевыми задачами теории аналитических функций (преобразования Фурье аналитических функций, существование и свойства граничных значений аналитических в полуплоскости функций, теоремы о свертках, преобразование Гильберта и др.). Все это естественно, так как книга возникла на основе лекций по курсу "Элементы теории преобразования Фурье", который автор читал в течение ряда лет студентам 3–4 курсов математического факультета Белорусского государственного университета имени В.И.Ленина, специализирующимся по краевым задачам теории аналитических функций.

Книга представляет собой попытку заполнить разрыв, который существует между изложением элементов теории интегральных преобразований в учебниках по математическому анализу, теории функций, уравнениям математической физики и монографиях, специально посвященных этой теории (например, монографии Е.Титчмарша [16], С.Бохнера [1]). На русском языке нет ни одной книги, которая была бы посвящена систематическому изложению теории интегральных преобразований, кроме упомянутых выше монографий. Правда, в серии "Справочная математическая библиотека" издана книга В.А.Диткина и А.П.Прудникова [9], в которой сформулированы без доказательства основные результаты почти по всем интегральным преобразованиям, более или менее часто встречающимся в приложениях, и приведены обширные таблицы различных интегральных преобразований. Однако, как уже отмечено, эта весьма полезная книга не содержит доказательств.

Указанными соображениями и руководствовался автор при написании данного пособия.

Автор приносит благодарность сотрудникам кафедры математического анализа Белорусского университета за предложения и замечания, способствовавшие улучшению книги. Особенно глубокую признательность автор выражает заведующему этой кафедрой академику АН БССР Ф.Д.Гахову, инициативе и поддержке которого главным образом и обязана настоящая книга своим возникновением, а также профессору Одесского государственного университета Ю.И.Черскому, обстоятельно прорецензировавшему рукопись и давшему ряд ценных замечаний.

П.Н.Князев

Предисловие редактора

Интегральные преобразования появились впервые в начале XIX в. в трудах Фурье, Лапласа, Пуассона, Коши главным образом по теории распространения тепла. В конце прошлого века возникло так называемое символическое или операционное исчисление, где были даны правила получения интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитические действия дифференцирования и интегрирования здесь заменялись некоторой совокупностью алгебраических операций. Автор исчисления английский инженер-электрик Хевисайд (основную часть символического исчисления построили значительно раньше русские математики Ващенко-Захарченко и Летников. Но их труды не получили широкого распространения и потому оказали малое влияние на практику) изложил его в виде ряда формальных правил без математического обоснования. Таким образом была воскрешена давно забытая математиками средневековая манера зашифровки научных открытий.

Лишь в 20-х годах нашего столетия установили, что в основе операционного исчисления лежат интегральные преобразования, при этом важнейшую роль играет теорема о свертках (см. гл.5 настоящей книги), утверждающая, что характерный для различных физических процессов интеграл свертки двух функций-оригиналов при соответствующем интегральном преобразовании переходит в обыкновенное произведение функций-изображений. С этих пор начинается многостороннее и плодотворное использование интегральных преобразований. Следует заметить, что хотя совершенная равносильность интегральных преобразований и операционного исчисления сейчас вполне выяснена, однако исторически сложившееся различие в способах изложения этих теорий сохранилось до наших дней. Проявляется, правда, оно лишь в обозначениях и внешнем виде формул, которые легко переводятся друг в друга простыми заменами переменных.

В настоящее время интегральные преобразования являются одним из наиболее мощных и широко используемых математических средств решения различных практических задач. Трудно перечислить прикладные области знания, в которых используются методы интегральных преобразований. К ним относятся классические разделы математической физики: распространение тепла и гидроаэромеханика, теория упругости, теория колебаний, охватывающая разнообразнейшие физические процессы, – механические колебания твердых и упругих тел, жидкостей и газов, включая акустику, электромагнитные колебания (оптика, радиоэлектроника) и многие другие. В возникающих новых отраслях знаний – теории атомного ядра, кибернетике, теории автоматического регулирования и управления, теории массового обслуживания – интегральные преобразования также играют важную роль. Не удивительно поэтому, что существует обширная литература, посвященная в той или иной форме интегральным преобразованиям. В большей ее части, излагающей приложения, авторы беззаботно относятся к вопросам математического обоснования; примером этого могут служить книги Нобла [13] и Л.А.Вайнштейна [2]. В нашей учебной литературе, в книгах В.И.Смирнова [14], М.А.Лаврентьева и Б.В.Шабата [11] в интересах краткости и доступности изложения указываются лишь некоторые достаточные условия применимости аппарата интегральных преобразований. Задача максимального приближения их к необходимым не ставится.

Но у взыскательного читателя, усвоившего алгоритмическую сторону дела, появляется потребность точно знать допустимые пределы использования алгоритма интегральных преобразований, т.е. знать объем того класса, из которого можно черпать задаваемые функции, и класса, к которому будут принадлежать искомые функции. К этому еще надо прибавить, что дело здесь не только в том, чтобы придать рассуждениям необходимую математическую строгость. Существуют такие задачи, в которых сами вопросы разрешимости тесно связаны с классами используемых функций.

В последние годы получило развитие новое, чрезвычайно богатое связями с практическим знанием поле приложений интегральных преобразований – уравнения типа свертки. Сюда часто относят любые уравнения, решаемые с помощью интегральных преобразований. Однако здесь мы имеем в виду более узкий класс уравнений, приводимых с помощью интегральных преобразований к краевым задачам аналитических функций. Простейшим типом такого уравнения является возникшее в теории лучистого равновесия интегральное уравнение с ядром, зависящим от разности аргументов, называемое по имени первых исследователей уравнением Гопфа–Винера. Число линейно независимых решений или условий разрешимости уравнения определяется индексом краевой задачи, а последний существенно зависит от класса задаваемых и искомых функций; уравнение, разрешимое в одном, более широком классе, может оказаться неразрешимым в другом, более узком.

У нас имеется мало книг, где теория интегральных преобразований излагается с достаточной полнотой и строгостью. Кроме упоминаемых в предисловии автора монографий Е.Титчмарша [16] и С.Бохнера [1], можно только указать на недавно появившийся перевод работы Н.Винера [3]. Но во всех этих монографиях читателю предъявляются высокие требования в отношении математической подготовки и навыков к абстрактным рассуждениям, поэтому они доступны лишь узкому кругу читателей.

В предлагаемом пособии при сравнительно небольшом объеме изложена теория интегральных преобразований, вполне достаточная для уверенного пользования ею в приложениях математической физики. Книга выгодно выделяется из имеющихся сравнительной простотой и доступностью изложения. Автор пособия не только специалист-математик, но и педагог. Книга возникла на основе курса лекций, который он читал студентам Белорусского университета. Поэтому автор хорошо понимает, какие вопросы представляют наибольшие трудности для понимания, и старается эти трудности предупредить.

Однако не следует доступность понимать слишком буквально. Простота здесь относительная. Трудные по существу вещи нельзя изложить совсем просто. Для вполне сознательного усвоения материала книги, кроме знаний по математике, получаемых в технических учебных заведениях, нужны еще некоторые сведения из теории функций действительного переменного и в первую очередь понимание интеграла Лебега и сходимости в среднем.

Но если не входить в тонкости и ограничиться лишь требованием надежности в использовании, то окажется достаточно тех кратких сведений, которые сообщаются в первой главе книги.

Предлагаемое пособие облегчит читателям усвоение важной теории интегральных преобразований, поэтому появление его в нашей учебной литературе следует приветствовать.

Ф.Д.Гахов

Об авторе

Князев Павел Николаевич

Кандидат физико-математических наук, доцент. Окончил Ленинградский государственный университет. С 1962 г. до конца жизни работал в Белорусском государственном университете. Автор более 50 работ по теории операторов, в том числе трех книг.