URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Лопшиц А.М. Вычисление площадей ориентированных фигур: Измерение площади ориентированной фигуры. Планиметр. Вычисление площади многоугольника, заданного на местности Обложка Лопшиц А.М. Вычисление площадей ориентированных фигур: Измерение площади ориентированной фигуры. Планиметр. Вычисление площади многоугольника, заданного на местности
Id: 296898
339 р.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ФИГУР:
Измерение площади ориентированной фигуры. Планиметр. Вычисление площади многоугольника, заданного на местности. Изд. 2

Вычисление площадей ориентированных фигур: Измерение площади ориентированной фигуры. Планиметр. Вычисление площади многоугольника, заданного на местности URSS. 2023. 64 с. ISBN 978-5-9710-5398-9.
Белая офсетная бумага
«Исключительным было его отношение к людям — друзьям, сотрудникам, родственникам. Он при­нимал горячее участие в судьбах людей, при этом часто жертвовал своим комфортом, благопо­лучием своей семьи. В сложные 1930–1940-е годы у него в доме часто жили дети репрессированных друзей, которым иначе грозил детский дом и выселение из Москвы. Иногда таких „детей врагов народа“ приходилось укрывать от властей тайно. Его друзьями, учениками, почитателями были и люди его возраста, и ровесники его дочери, и друзья его внука, а позже — и правнучки. О нем навсегда осталась светлая и добрая память». Любовь Альперович, аспирант А. М. Лопшица

Аннотация

В основу книги положен материал лекций, которые автор читал школьникам старших классов. Этот материал познакомит читателя с понятием площади ориентированной фигуры и его применениями.

Книга, несомненно, принесет пользу всем, кто планирует глубже изучить эту интересную область геометрии. (Подробнее)


Содержание
top
Предисловие к первому изданию4
Введение5
Глава I. Измерение площади ориентированной фигуры7
§ 1. Ориентированный треугольник7
§ 2. Ориентированная площадь ориентированного треугольника8
§ 3. Теорема сложения12
§ 4. Строгое доказательство теоремы сложения13
§ 5. Ориентированный многоугольник16
§ 6. Площадь ориентированного многоугольника18
§ 7. Несколько примеров и задач19
Глава II. Планиметр27
§ 1. Полярный планиметр27
§ 2. Прямолинейный планиметр30
§ 3. Элементарное перемещение рычага планиметра32
§ 4. Число оборотов счетного колеса при элементарном перемещении рычага34
§ 5. Число оборотов счетного колеса при замкнутом перемещении рычага36
§ 6. Вспомогательная геометрическая теорема37
§ 7. Использование вспомогательной геометрической теоремы для теории планиметра40
Глава III. Вычисление площади многоугольника» заданного на местности44
§ 1. Постановка задачи44
§ 2. Несколько определений и обозначений45
§ 3. Вспомогательная теорема47
§ 4. Формула для вычисления площади ориентированного многоугольника49
§ 5. Вычисление ориентированных углов51
§ 6. Вычисление углов между несмежными сторонами ориентированного многоугольника53
§ 7. Тригонометрическая формула для вычисления площади ориентированного многоугольника56
§ 8. Теоретическое использование формулы, выведенной для практических целей58

Предисловие к первому изданию
top

Эта книжка познакомит читателя с понятием площади ориентированной фигуры и его применениями к теории планиметра и к выводу целесообразной формулы для вычисления площади участка, заданного на местности и ограниченного произвольной замкнутой ломаной линией. Понятие ориентированной площади может быть использовано, как в этом убедится читатель, и для решения задач школьной геометрии.

В основу книжки положен материал лекций, читанных мной школьникам старших классов.

Л. Лопшиц


Введение
top

При изучении элементарной геометрии много внимания уделяется вопросу измерения площадей. Многочисленные теоремы, излагаемые в школьном курсе, представляют не только теоретический, чисто математический интерес, но имеют и большое практическое значение. Однако более полное изучение вопросов, возникающих в этой области геометрии, и более широкое их применение к задачам практического характера становятся возможными только после существенного расширения самого понятия площади. Понятие ориентированной площади (изучаемое в силу установившейся традиции только в курсах высшей математики) приносит в разнообразных геометрических вопросах большую пользу. Ее можно сравнить с той, которая возникает при изучении алгебры, когда привлекают к рассмотрению, помимо положительных чисел, используемых в арифметике, также и отрицательные числа.

Понятие ориентированной площади так естественно расширяет привычное для учащегося понятие площади, так элементарно по своему содержанию и так богато интересными следствиями, что возникает соблазн познакомить с ним учащегося средней школы, не дожидаясь того времени, когда он будет изучать высшую математику. Прибегая опять к уже сделанному сравнению, можно сказать, что это в той же мере доступно для учащихся старших классов средней школы, как доступно ознакомление с отрицательными числами для школьников младших классов, уже знакомых с арифметикой, но не знающих еще алгебры.

В первой главе этой небольшой книги читатель найдет изложение вопроса об измерении площади ориентированных фигур на плоскости. Такое измерение приводит, как это будет показано, в некоторых случаях к положительному

числу, а в некоторых — к отрицательному. Это число мы и будем называть ориентированной площадью. В этой же главе будут доказаны разнообразные теоремы, представляющие собой математически интересное расширение теорем, известных из элементарной геометрии.

Во второй главе эти теоремы будут использованы для объяснения принципа действия широко принятого в инженерной практике прибора, носящего название планиметру с помощью которого практически измеряются площади фигур произвольной формы, заданные на чертеже.

В третьей главе понятие ориентированной площади будет использовано при выводе практически целесообразной формулы для вычисления площади фигур» расположенных на местности.


Об авторе
top
photoЛопшиц Абрам Миронович
Советский математик и педагог, автор исследований в области геометрии. Родился в Одессе, в семье учителя народных училищ. Уже в школьные, а затем студенческие голы, обучаясь в Новороссийском университете, стал учеником известных математиков: С. О. Шатуновского и В. Ф. Кагана. В начале 1920-х гг. переехал в Москву и окончил физико-математический факультет Московского университета, затем аспирантуру при НИИ математики и механики МГУ. Будучи студентом, преподавал на рабфаке МГУ, а затем в МВТУ и МЭИ. В 1931–1938 гг. заведовал кафедрой математики Инженерно-технической академии связи. Также преподавал в московских педагогических институтах: имени К. Либкнехта и имени В. И. Ленина. В 1949–1977 гг. — профессор кафедры геометрии Ярославского государственного педагогического университета.

А. М. Лопшиц уделял большое внимание вопросам совершенствования математического образования и методики преподавания. Он отбирал для перевода и редактировал необходимые для отечественной науки зарубежные книги, такие как «Риманова геометрия» Л. П. Эйзенхарта, «Практические методы прикладного анализа» К. Лонцоша, «Векторное исчисление» М. Лагалли, участвовал в создании и редактировании сборника «Математическое просвещение». Заметным явлением в вопросах методики преподавания математики был его учебник по аналитической геометрии. В нем впервые в учебной литературе последовательно использовался прямой метод, были четко разграничены факты, относящиеся к аффинной геометрии, и геометрические факты, имеющие метрический характер.