| Предисловие ко второму изданию | 7
|
| Глава I. Функции | 9
|
| 1. Определение функции 9.—2. Натуральное задание функции 9.— 3. Другие примеры натурального задания функции 10.—4. Графическое задание функции 10.—5. Непрерывный график 12.—6. Абсцисса и ордината 12.—7. Положительные и отрицательные значения абсциссы и ординаты 13.—8. Вычисление значения функции по диаграмме 14.—9. Аналитическое или формальное задание функции 15.— 10. Табличное значение функции 15.—11. Явные и неявные функции. Однозначные и многозначные функции 16.—12. Независимая переменная и ее функции 17.—13. Функции нескольких независимых переменных 20.—14. Обозначение 21.
|
| Упражнения | 22
|
| Глава II. Важнейшие функции. Их графическое изображение | 24
|
| 15 Пропорциональность 24.—16. Общее определение делартовых координат 25.—17. Частные случаи 27.—18. Графическое изображение пропорциональной зависимости 27.—19. Наращения независимой переменной и функции 28.—20. Линейная зависимость 20.—21. Параллельное перенесение осей координат 31.—22. Графическое изображение линейной функции 31,—23. Обратная пропорциональность 32.— 24. Параболическая зависимость 35.—25. Параметры. Алгебраические функции 38.—26. Трансцендентные функции 39.—27. Тригонометрические функции 39.—28. Показательные функции 42.-29. Обратные функции 43.—-30. Аналитическая геометрия 44.—31. Анализ и естествознание 47
|
| Примеры | 43
|
| Глава III. Учение о пределах | 51
|
| 32. Скорость изменения линейной функции 51.—33. Предел 52.-34. Критерии существования предела диспретной последовательности чисел 53.—35. Неограниченно возрастающая и неограниченно убывающая последовательность 54.—36. Разыскание предела заданной последовательности 56.—37. Неперово число 58.—38. Неравенство Бернул-ли 58.—39. Доказательство основной теоремы 59.—40. Неперово число; натуральные логарифмы 61.-41. Сплошное приближение к пределу. Предел функции 61.—42. Свойства пределов 62.—43. Усиленная и ослабленная неперова последовательность 64.-44. Разыскание предела функции (1 + 1/х)x при неограниченно возрастающем х 65.— 45. Выражение 0/0 66.—46. Разыскание предела отношения lim sin x/x 67.-47. Преобразование независимой переменной при разыскании предела функции 68.—48. Бесконечно-малые величины 69
|
| Упражнения | 71
|
| Глава IV. Производная и дифференциал | 73
|
| 49. Наращение функции и ее непрерывность 73.—50. Наклон кривой 75.—51. Производная 76.—52. Приближенное значение наращения функции 79.—53. Дифференциалы 80.
|
| Упражнения 78 и 82
|
| Глава V. Дифференцирование алгебраических функций | 84
|
| 54—51. Основные формулы 84.—62. Дифференцирование неявной функции 90.-63. Сложная функция 92.-64. Дифференцирование сложной функции 93.—65. Дифференцирование обратной функции 95.—66. Некоторые частные случаи дифференцирования 96.—67. Применение к приближенным вычислениям 99.—68. Производные высших порядков 102.-69. Изменение независимой переменной 104.
|
| Упражнения 100 и 106
|
| Глава VI. Скорости | 108
|
| 70. Скорость изменения функции 108.-71. Скорость движения точки по прямой линии 109.—72. Ускорение при прямолинейном движении 110.—73. Угловая скорость и угловое ускорение 110.-74. Скорости, связанные между собой 111.
|
| Упражнения | 113
|
| Глава VII. Максимумы и минимумы | 115
|
| 75. Определение и геометрическое представление максимумов и минимумов 115.-76. Метод разыскания максимумов и минимумов 119.— 77. Производная кривая 122.—78. Другие типы максимумов и минимумов | 123
|
| Упражнения 120 и 125
|
| Глава VIII. Дифференцирование трансцендентных функций | 126
|
| 79—82. Формулы для дифференцирования тригонометрических функций 126,—83. Обратные тригонометрические функции 130.—84— 85. Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций 131.—86—88. Дифференциалы логарифмической и показательной функции 133
|
| Упражнения 128,132 и 137
|
| Глава IX. Геометрические приложения | 140
|
| 89. Касательная и нормаль 140.—90. Угол между двумя кривыми 141.— 91. Направление кривизны 144—92. Точка перегиба 144.—93. Длина кривой линии 147.—94. Дифференциал дуги 148.—95. Кривизна 149.— 96. Радиус кривизны 150.-—97. Центр и окружность кривизны 152.— 98. Предел отношения (1 — cosx)/x 153.—99. Производная дуги в полярных координатах 154.—100. Угол между двумя направленными прямыми в пространстве 155.—101. Направление касательной к кривой 156.—102. Уравнение касательной 158
|
| Упражнения 142, 146,152, 155 и 159
|
| Глава X. Векторная алгебра | 161
|
| 103. Векторы и скаляры 160.—104. Равенство векторов 160.—105. Приведение векторов к общему началу 161.—106. Сложение векторов 161.—107. Сумма нескольких векторов 162.—108. Вычитание векторов 163.—109. Сложение и вычитание коллинеарных векторов 163.—НО. Умножение и деление вектора на число 164.—111. Единичный вектор 165.—112. Компоненты и координаты вектора 166.— 113. Радиус-вектор 167.—114. Определение направления вектора 168.—115. Скалярное произведение двух векторов 168.—116, Площадь параллелограма, определяемого двумя векторами 170.— 117. Связки векторов 170.—118. Координатные связки 172.—116. Геометрическое произведение двух векторов 172.—120. Преобразование vвекторных произведений 174.
|
| Упражнения | 177
|
| Глава XI. Вектор-функции и их дифференцирование | 179
|
| 121. Постоянные и переменные векторы 179.—122. Вектор-функции 179.—123. Непрерывные вектор-функции 180.—124. Производная вектор-функции 180.—125. Правила дифференцирования векторных выражений 181.—126. Тангенциальный вектор в заданной точке кривой 183.—127. Главный нормальный вектор 183.—128.Кривизна vкривой в данной ее точке 184.—129. Бинормальный вектор 185
|
| Упражнения | 185
|
| Глава XII. Скорость и ускорение на криволинейном пути | 187
|
| 130. Скорость движущейся частицы 187.—131. Слагающие скорости в случае плоской траектории 189.—132. Слагающие скорости в пространстве 190.—133. Обозначение вектора 190.—134. Ускорение 191.— 135. Разложение ускорения 193.
|
| Упражнения | 194
|
| Глава XIII. Теорема Ролля и неопределенные выражения | 196
|
| 136. Теорема Ролля 196.—137. Неопределенные выражения 197.— 138. Выражения 0/0 и ∞/∞ 198.—139. Выражения 0.∞ и ∞ — ∞ 202.— 140. Выражения 0°, 1∞, ∞∞ | 202
|
| Упражнения | 203
|
| Глава XIV. Ряды и приближенные вычисления | 204
|
| 141. Теорема о среднем значении 204.—142. Развитие теоремы о среднем значении 205.—143. Теорема Тэйлора 206.—141. Приближенные значения функций 208.—145. Ряды Тейлора и Маклорена 210.— 146. Сходящиеся и расходящиеся ряды 212.—147. Признаки сходи* мости рядов 213.—148. Общий признак сходимости 213.—149. Признак сходимости, основанный на сравнении рядов 213.—150. Признак, основанный на сравнении последовательных членов ряда 214.— 151. Степенные ряды 215.—152. Действия над степенными рядами 216.
|
| Упражнения 210, 211 и 217
|
| Глава ХѴ.Частные производные | 218
|
| 153. Функции от двух и от большего числа переменных 218.—154. Частные производные 219.—155. Частные производные высших порядков 219.—156. Теорема о порядке дифференцирования 220.—157. Зависимые переменные 222.—158. Геометрическое значение частных производных 223.—159. Наращение функции 226.—160. Полный дифференциал 227.—161. Вычисление дифференциалов 229.—162. Частные производные как отношения дифференциалов 229.—163. Производные функции нескольких переменных 232.—164. Замена переменных 235.—165. Неявные функции 236.—166. Точный дифференциал 237
|
| Упражнения | 238
|
| Глава XVI. Приложения частных производных | 239
|
| 167. Направление нормали в данной точке поверхности 239.—168. Уравнения нормали и касательной плоскости в точке Р1(х1, y1, z1) 240.— 169. Максимум и минимум функции нескольких переменных 243.— 170. Направленные производные 247.—171. Градиент функции 147
|
| Упражнения 241, 244 и 247
|
| Дополнительные упражнения | 248
|
| Ответы и решения задач и упражнения | 260
|
Руководства проф. Филипса получили в Америке большое распространение в технических учебных заведениях, к преподаванию в которых они очень приспособлены. Они дают отчетливое представление о руководящих целях и методах анализа в целом и отдельных его частях; они содержат только такой материал, который студент в состоянии отчетливо усвоить в сравнительно небольшое время, отводимое в американской школе (как и в нашей) для преподавания математики; и материал этот подобран так, что он весь находит себе применение в прикладных дисциплинах, изучаемых в технической школе; изложение сопровождается примерами прикладного характера. Это строение руководств Филипса значительно приближает их к тем требованиям, которые предъявляются в наших втузах.
Первое русское издание «Дифференциального исчисления» давно разошлось. Со времени его появления в свет прошло 5 лет. За это время в постановке преподавания в наших втузах произошли глубокие перемены: изменились как планы и программы, так и методы обучения; появились руководства, во многом отвечающие этим требованиям. «Рабочая книга по математике» под редакцией проф. А. Я. Хинчина в большей мере чем другие составлена с учетом этих требований.
При всем том многие преподаватели указывали на то, что книги Филипса должны еще сохранить свое место в учебной литературе, предназначенной для втузов. Правда, отмечались и существенные их недостатки. Во-первых, указывалось на то, что теории в этих руководствах отведено уже слишком мало места, особенно на курсе дифференциального исчисления, где нужно с большею отчетливостью выявить теоретические основания исчисления бесконечно - малых. Во-вторых, руководство непосредственно вводит в дифференциальное исчисление, не останавливаясь на более углубленном выяснении понятия о функции, о способах задания функций, особенно о графическом их изображении.
Хотя эти понятия должны быть усвоены еще в процессе подготовки в высшую школу, но идеи эти слишком важны, чтобы их можно было обойти в начале преподавания анализа. Эти указания были использованы при той значительной переработке, которой книга подвергалась для нового издания. Более тщательно и подробно были переработаны основные теоремы теории рядов и дифференциального исчисления, без такого углубленного изложения, которое не соответствовало бы задачам и методам преподавания в наших втузах. С другой стороны, первая глава, посвященная выяснению понятия о функции и о графическом ее изображении, составлена заново. Эти идеи с наибольшим мастерством изложены в руководстве по элементарной математике Бореля— Штекеля. Так как это сочинение в свое время вышло на русском языке в моем переводе и обработке, то я считал себя в праве заимствовать из него несколько параграфов. Но и этот материал был значительно дополнен. Число упражнений, предназначенных для усвоения наиболее важных операций, значительно увеличено; небольшие изменения внесены также в составленные мною главы, посвященные элементам векторного исчисления.
«Дифференциальное исчисление» выходит таким образом в существенно переработанном виде. При всем том нужно всегда иметь в виду, что переработать книгу даже очень глубоко отнюдь не значит написать новую книгу: она сохраняет тип и строение оригинального сочинения. Все же оно будет полезно как для учащегося, так и для тех преподавателей, которые ищут новых путей к форм преподавания, извлекая и из старых руководств все, что в них есть ценного.
В. Каган.
