Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА:
Подходы, результаты, надежды. (Параметры порядка и инерциальные многообразия. Жесткая турбулентность. Нейронные сети. Энтропии и размерности аттракторов. Обработка временных рядов. Когда применимы алгоритмы нелинейной динамики? Русла и джокеры. Самоорганизованная критичность). № 28. Изд. стереотип.

Содержание

Предисловие. Логика нелинейной динамики

Поворот, к которому подошла нелинейная динамика, можно сравнить по направленности и относительному масштабу с несколькими крупными событиями в истории культуры и науки.

Самая близкая аналогия – это Реформация. Мартин Лютер осознавал отрыв прекрасно развитой утонченной теологии от острых задач, которые прихожанам и служителям церкви приходилось решать здесь и сейчас. С падением морального авторитета и уменьшением реальной пользы, которую институт Церкви приносил простым смертным, возникла потребность добиться понимания учения гораздо большим количеством людей. Для того, чтобы сохранить главное, Лютеру пришлось отказаться от множества деталей, возможностей, тонкостей, сосредоточиться на основном и, естественно, упростить учение. Кроме того, протестантство смогло очертить свою сферу компетенции и конкретно выделить те области, которые в эту сферу не входят. Внешне это выглядит как шаг назад, отказ от решения поставленных вначале задач и подмена одних проблем другими. Но, как считают многие историки, именно этот ход и оказался чрезвычайно важным и плодотворным.

Многократно похожий процесс имел место и в математике. Любимые школьные забавы – теоремы синусов, косинусов и операции с тригонометрическими функциями приобрели популярность и вошли в фундамент естествознания только в Новое время. Древние математики и астрономы, начиная с Птолемея, и средневековые исследователи имели дело с гораздо более сложной и специфической областью – сферической тригонометрией. Однако самыми важными и полезными, на наш сегодняшний взгляд, оказались тривиальные, с точки зрения предшественников, случаи, относящиеся к плоскости.

Еще более поучительно развитие нелинейного анализа, связанного с изучением квазилинейных уравнений в частных производных, с исследованием ударных волн в различных системах. Классический путь, предполагающий доказательства гладкости решений, их единственности и существования в свое время стал настолько сложен, что пришлось изменить само понятие решения. Возникла концепция обобщенных решений, были развиты представления о некорректных задачах и методах регуляризации, предложена техника анализа разрывов и разработаны соответствующие разделы вычислительной математики. Заметим, что компьютерное моделирование, расчет решений на ЭВМ сами по себе являются громадным упрощением. Дифференциальные и разностные операторы могут обладать совершенно различными свойствами и для большинства интересных нелинейных задач установить строго их взаимосвязь пока не удается. Кроме того, нельзя забывать, что конечная точность представления данных вносит совершенно новый элемент. Исследователи не взяли барьер. Они обошли его.

На наш взгляд, в похожем положении сейчас находится наука в целом и нелинейная динамика в частности. Кризисные явления последнего времени и глобальные неблагоприятные изменения, происходящие в мире, показали, что у нас нет ясных и жизненно важных представлений о пределах возможностей науки. Ученые поразительно редко говорят о том, чего они не могут. Обычно они "просят гранты" под будущие успехи или рапортуют о достижениях. Поэтому у непосвященных создается вначале иллюзия всемогущества, а потом глубокое разочарование человека, обманутого в лучших чувствах. Уже несколько десятков лет и журналисты, и исследователи говорят о том, что многие проблемы являются междисциплинарными. Но именно с этой позиции нужно подойти и к нашему незнанию. Ведь не так важно, что конкретно не знают физики, химики или социологи. Важно, что научное сообщество не знает как целое, за какие задачи оно не берется. Кроме того, есть разные уровни незнания. И наша беда состоит в том, что мы зачастую не представляем, насколько глубоко мы не знаем тех или иных вещей. Поэтому анализ структуры нашего незнания, определение пределов компетенции сейчас представляются исключительно важными. (Классический пример Сократа, занимавшегося поддержкой принятия решений в Афинах, показывает, что анализ этих вопросов может быть занятием неблагодарным и опасным.)

По-видимому, следует разделить "знание" различных явлений и их "понимание". В первом случае речь может идти о научной технологии, оправдывающей сложный формализованный аппарат, дорогостоящие эксперименты и многочисленные наблюдения. Во втором – нам нужна простая, ясная картина, идеи и понятия, которые могут не позволять рассчитать, вычислить, получить конкретную прибыль, но укажут направление, в котором следует двигаться, а также место того или иного события или явления в нашей картине мира.

Спросим себя, когда сложные вещи оказываются важны и полезны в науке? Во-первых, когда на основе этих вещей удается предложить технологию, приводящую к созданию какого-либо продукта. Например, у нас есть работающий персональный компьютер. Методы проектирования, расчета и оптимизации микросхем могут быть весьма сложными, "неизящными", громоздкими и дорогими. Однако само наличие такого продукта, с одной стороны, "сворачивает" многочисленные знания и данные из разных областей, начиная с квантовой механики и кончая микроэкономикой, а с другой – оправдывает развитие ряда разделов прикладной науки.

Во-вторых, может оказаться, что определенная научная теория играет важную роль в существующей научной картине мира. При этом одни части этой теории могут быть ясными, простыми и красивыми, а то, что придает ей стройность и законченность – сложным, изощренным и трудоемким. Напомним знаменитый афоризм о том, что физик-теоретик, когда его просят рассчитать устойчивость стола с четырьмя ножками, быстро приносит решение задачи об устойчивости стола с одной ножкой и с бесконечным числом ножек, а затем всю жизнь пытается рассчитать устойчивость стола с произвольным числом ножек. Тем не менее и последняя задача может иметь большой смысл, несмотря на ее небольшое прикладное значение. Она может замкнуть научную картину в некоторой области, превратив ее в систему знаний. Последняя же система в контексте других теорий может оказаться небольшим, простым, полезным элементом.

В-третьих, проводя такие исследования, мы можем наткнуться как на новую простоту, так и на существенные пробелы в наших знаниях, которые изначально не были видны. Однако большинство усилий современной науки тратится не на проведение таких работ, а на то, чтобы получить понимание каких-то явлений. И с этой точки зрения естественно взглянуть и на нелинейную динамику.

В течение всего времени ее развития от этой области исследования в основном просили не деталей, тонкостей, работающих изделий или высокоточных измерений, а принципов, идей, запретов, качественной картины различных явлений. Пожалуй, она в наибольшей степени оправдывает слова А.Эйнштейна о том, что современный ученый ничего не хочет знать, но все хочет понимать. Другими словами, синергетика и нелинейная динамика задумывались и развивались как подходы, направленные на понимание.

С этой точки зрения, наиболее важными в нелинейной динамике являются методы упрощения нашей реальности. Каждая наука имеет свои алгоритмы упрощения. Химики в качестве упрощающего предположения считают, что основой являются химические свойства объектов, в механике упрощение связано с тем, что влиянием огромного количества взаимодействий можно пренебречь. Поэтому можно рассматривать падение камня в поле тяжести Земли, не заботясь об ее вращении, электромагнитных полях, а иногда даже и о сопротивлении воздуха. Отсюда и маятники, наклонные плоскости, сообщающиеся сосуды, которые объясняют поразительно много. Математики, занимающиеся асимптотическим анализом, полагают, что в каждой интересной системе найдется малый или большой параметр, который позволит написать простые соотношения или сведет задачу к известной.

Нелинейная динамика предложила свои алгоритмы упрощения. С их развитием и совершенствованием, с их осмыслением мы и связываем будущее этой области. Можно сказать, что эти алгоритмы являются достаточно общими, выходящими за рамки отдельных задач, областей, объектов исследования. Наверное, лет двадцать назад такие алгоритмы назвали бы системными.

Один из самых главных алгоритмов связан с предположением о масштабной инвариантности процессов, протекающих на разных уровнях. Простейший пример масштабной инвариантности дают фрактальные множества. Несмотря на наличие сложной структуры, они могут выглядеть одинаково или почти одинаково в разных масштабах.

Это предположение для каких-то явлений может не выполняться. Студентам-физикам и инженерам обычно объясняют, что уменьшение пространственных, временных или иных масштабов в 10–100 раз может привести к возникновению других явлений, к изменению относительной важности различных факторов и механизмов. Например, закономерности, характерные для атомной физики (масштаб 10^–8 см), для ядерной (10^–14 см), физики элементарных частиц (10^–20 см) существенно отличаются. Про объекты этих наук следует задавать разные вопросы и рассчитывать на разные ответы.

С другой стороны, психологи, занимающиеся исследованием взаимодействия в группе людей, видят одни и те же закономерности, имеем ли мы дело с Советом министров, районной администрацией или родительским комитетом. Однако если объект обладает масштабной инвариантностью, то возникает множество различных интересных эффектов, неожиданных возможностей, совершенно новых задач. Например, обычные методы измерения для таких объектов могут не работать, в то время как необычные парадоксальные представления о площади, объеме и длине могут быть адекватными этой реальности.

Этот способ упрощения имеет и еще один глубокий смысл. Если раньше ученые часто спрашивали, как устроена природа, то теперь не менее важным становится вопрос о том, как мы могли бы устроить, сконструировать, представить или изобразить ту или иную вещь. Отчасти наука при этом берет на себя некоторые функции техники, которую раньше связывали с конструированием и придумыванием различных систем. Современное программирование, развитие вычислительной техники, органической химии, микробиологии позволяют предугадать один из путей эволюции науки XXI в. – увеличение "конструкторского", "инженерного" компонента деятельности в сравнении с поиском новых эффектов, теоретическим анализом.

Например, простейшие самоподобные фрактальные структуры могут приводить к поразительно красивым и сложным картинкам. Простое в одном представлении оказывается сложным в другом. Поэтому на основе такого фрактального упрощения реальности возникли алгоритмы обработки изображений, сжатия информации, создания различных материалов, обладающих необычными свойствами. Если мы не можем найти такую вещь в природе, то можем попытаться создать ее.

Главная идея и надежда нелинейной динамики состоит в том, что многие сложные системы могут быть просто описаны с помощью нескольких переменных – параметров порядка. Именно это в перспективе позволяет надеяться на понимание. Психологи утверждают, что человек в состоянии управлять системами, в которых нужно контролировать не более 5–7 параметров, активно взаимодействовать не более чем с 7–9 людьми. Поэтому если выясняется, что управляющих параметров более десятка или людей больше 20, то нужно думать о способах дальнейшего упрощения ситуации. Известная шутка о том, что задача, в которой менее 2 переменных – не задача, а более 8 – неразрешима, с точки зрения понимания шуткой не является.

Поэтому ответ на вопрос, откуда берутся параметры порядка и почему сложная система может вести себя просто, является для всей нелинейной науки ключевым. Этот вопрос во многом удалось прояснить благодаря теории бифуркаций и теории инерциальных многообразий.

Оказалось, что в наиболее важных областях пространства параметров, где меняется число или устойчивость решений, систему можно описывать с помощью одних и тех же соотношений. Однако за эту простоту мы платим тем, что делаем свой анализ локальным. Он относится только к окрестности точки бифуркации в пространстве параметров и обычно к решениям малой амплитуды.

Но, к глубокому удовлетворению приверженцев нелинейной динамики, оказалось, что в природе существует и другой механизм упрощения. Для многих сложных систем, потенциально обладающих бесконечным числом степеней свободы, с течением времени происходит самоорганизация – выделение параметров порядка, принадлежащих инерциальному многообразию, которые являются главными, и остальных переменных, которые целиком подчинены параметрам порядка. Пожалуй, здесь мы имеем дело со сложным исследованием, требующим развитой техники, которое вносит ясность и системность в существующие представления.

Для разнообразия обратим внимание на несколько возражений, которые высказываются при обсуждении этой теории. Во-первых, за общность теории мы платим отсутствием конкретных уравнений, которые бы описывали динамику параметров порядка на инерциальном многообразии. Во-вторых, эти уравнения, существование которых доказывается, не являются универсальными для разных нелинейных систем. В-третьих, о том, что происходит самоорганизация и выделение параметров порядка, в синергетике говорят уже более 20 лет, поэтому на первый взгляд достаточно изощренная математическая теория не привносит здесь ничего нового. Понятно, что самоорганизация связана с диссипативными процессами – вязкостью, теплопроводностью, трением и прочими.

Теория инерциальных многообразий позволила решить ключевую задачу – она показала, где находится область того, что мы знаем, где мы можем надеяться на получение простого конечномерного описания, а где можно ожидать сюрпризов. Пожалуй, теория инерциальных многообразий [418] по значению и смыслу ближе всего к работе Дж. фон Неймана "Математический аппарат квантовой механики" [103]. Обе работы многим известным процедурам, приемам, подходам, которые на интуитивном уровне применялись и раньше, придали ясность и строгий математический смысл.

Знание пределов, очерченных теорией инерциальных многообразий, в которых можно рассчитывать на конечномерное описание, помогло поставить вопрос о том, что же находится за этими пределами. Чтобы нарушать каноны, надо их ясно представлять. За этими пределами лежит важный и интересный класс явлений, связанных с редкими катастрофическими событиями. Как уже отмечалось, именно такие события играют особую роль в теории риска и безопасности. В этой книге мы обратим внимание только на один класс таких явлений. Они связаны с так называемой жесткой турбулентностью – возникновением редких пространственно локализованных пиков гигантской амплитуды на турбулентном фоне. В течение основного времени система ведет себя так, как будто в ней есть небольшой набор параметров порядка, эффективно описывающих всю эволюцию. Но иногда система как будто становится "очень многомерной". Однако самое главное состоит не в сложности, а в том, что меняется сам набор параметров порядка. Для турбулентного фона это одни параметры, для стадии роста пика – другие, для процесса его распада – третьи. Исследование жесткой турбулентности также позволило придать некоторую законченность большому циклу работ, связанных с возникновением нестационарных диссипативных структур в нелинейных средах с сильной положительной обратной связью [65, 123]. В таких средах также возникают пространственно локализованные гигантские пики с сокращающейся полушириной. Описывать их можно в рамках одного параболического уравнения с нелинейным источником. И действительно оказалось, что стадию роста пика модели такого рода передают вполне удовлетворительно.

У А.Эйнштейна глубокую неудовлетворенность вызывал статистический характер квантовой механики. Он считал, что Бог в кости не играет. В теории нестационарных структур [65] можно наблюдать множество сложных красивых эффектов, однако Бог должен распоряжаться начальными данными. Встает вопрос, может ли это все наблюдаться в природе и кто же на самом деле распоряжается начальными данными? Исследование жесткой турбулентности позволило указать конкретные механизмы, решающие эти задачи. Одна математическая и физическая теория, развивавшаяся более двух десятков лет, стала восприниматься не как вещь в себе, а как способ описания целого, которое в других случаях может вести себя хаотическим или иным образом.

Исследование жесткой турбулентности позволило и далее продвинуться по пути упрощения. Оказалось, что жесткая турбулентность, характерная для сред с кубической нелинейностью в многомерном случае, может существовать и в одномерных задачах с более сильной нелинейностью. Для того, чтобы упростить и понять это, можно "обменять" размерность пространства на степень нелинейности среды.

Однако расчеты и их анализ не означают полного понимания моделируемого явления. В некоторых науках "понимаю" значит "могу использовать". В нелинейной динамике "понимаю" значит "могу предложить простую конечномерную модель". Этот принципиально важный уровень понимания жесткой турбулентности удалось достичь благодаря усилиям С.В.Ершова, модель которого мы также кратко обсудим. Замечательной чертой этой модели, представляющей собой трехмерное отображение, является возможность его детального аналитического исследования.

Для многих актуальных задач современной нелинейной динамики характерно наличие принципиально важных малых параметров. Например, это может быть единица деленная на число Рейнольдса в теории турбулентности. Эти параметры могут быть настолько малы, что возможность прямого численного моделирования таких явлений не представится в ближайшее десятилетие. Нужен другой уровень понимания и другие подходы к упрощению. Жесткая турбулентность тоже наблюдается в системах с малыми параметрами, характеризующими диссипативные свойства системы. Поэтому "просто посчитать" многие статистические характеристики оказывается невозможно даже для трехмерного отображения. Модель С.В.Ершова показывает тот желаемый уровень понимания, к которому хотелось бы стремиться во многих других сложных задачах, относящихся к области нелинейной динамики. Результат исследования жесткой турбулентности важен и с точки зрения прогнозов. Оказалось, что явление, выглядевшее неожиданностью и катастрофой для исходных переменных модели, вполне объяснимо и предсказуемо, если анализировать определенный набор усредненных характеристик. Иначе говоря, выход за пределы, очерченные строгой математической теорией, очень быстро дал блестящие результаты.

В средние века многие философы считали, что основной задачей ученых и мудрецов должно быть не наблюдение, описание и моделирование существующего, а прогноз и конструирование будущего. В рамках этой парадигмы работы Нострадамуса были вполне ортодоксальны. И сейчас прогноз находится в центре внимания нелинейной динамики.

В нелинейной динамике появляется замечательная возможность в полной мере реализовать установку И.Ньютона, полагавшего, что он гипотез не измышляет. Поэтому на всю нашу науку и методы прогноза можно взглянуть как на прием анализа временных рядов. Наши наблюдения – временные ряды. Наша цель – на основе предыстории предсказать, что будет дальше. Поэтому после рождения теории динамического хаоса стало ясно, что радужные надежды относительно глобальной предсказуемости, возможности заглянуть как угодно далеко вперед и назад, о которых уверенно писал Лаплас, несбыточны. Поэтому приходится ставить более скромные цели и разрабатывать наилучшие пути их достижения. Этому аспекту мы уделяем большое внимание, анализируя количественные характеристики хаоса, методы обработки экспериментальных данных, типичные проблемы, которые возникают при изучении нелинейных систем.

Можно сказать, что в некотором смысле родоначальником анализа временных рядов является Платон. Он сформулировал притчу о пещере, в которой находятся прикованные к стене узники. Узники могут наблюдать только тени проходящих людей и проносимых предметов. Перед ними возникает задача реконструкции реальности, находящейся вне пещеры. Платон смотрел на проблему достаточно оптимистично, полагая, что узникам доступно почти все. Развитие астрономии во многом подтверждает этот вывод. Несмотря на причудливые траектории, описываемые планетами по небосводу, Кеплеру удалось предложить простую и красивую модель, связанную с движениями по эллипсу. К сожалению, анализ даже весьма простых систем показывает, что процедура реконструкции аттракторов, своеобразного восстановления многомерной динамики по временному ряду, далеко не всегда применима и эффективна. Чтобы не измышлять гипотезы, надо иметь весьма обширную априорную информацию и относительно простую динамику. В еще большей мере это относится к пониманию изучаемых процессов.

По-видимому, долгий путь, пройденный специалистами по временным рядам, многочисленные работы по обработке данных в нелинейной динамике показывают, что мы столкнулись не с технической, не с математической, а с принципиальной проблемой. Нам нужно менять основную идею и используемые представления.

Заметим, что почти все, что мы понимаем, нам удается представить в виде наглядных образов. Это означает, что мы обречены иметь дело, по крайней мере на уровне понимания, с двух–трехмерным пространством. Именно с ними и должны быть связаны наши алгоритмы упрощения. Можно предположить, что в той реальности, с которой мы имеем дело и которую в большой степени конструируем, удается находить двух- и трехмерные проекции, в которых и находятся все ключевые параметры важной для нас ситуации. Наше искусство, как индивидуальное, так и видовое, и состоит в том, чтобы эффективно выделять эти проекции и менять их по мере того, как изменилась ситуация или мы начинаем заниматься проблемами другого уровня.

В книге предлагается некоторый способ формализации этого естественного взгляда. Мы стараемся жить в мире с весьма высокой степенью предсказуемости. Однако это удается не всегда. Есть области параметров, где реальность становится слишком сложной и нам не удается просчитать причинно-следственную связь между нашими поступками и конечным результатом. В этих областях параметров более естественным представляется не динамическое описание, не построение логических конструкций, а вероятностные или игровые модели. Эмоции, мораль, культура могли возникнуть как реакция на эти ситуации выбора. К сожалению, во многих важных случаях не удается опираться на предшествующий опыт. Поэтому алгоритмы прогноза и способа действий в этих ситуациях должны быть также необычными. Грубо говоря, нам надо учиться на очень малом числе не очень значительных чужих ошибок. К примеру, почти все крупные аварии XX в. имели предшественников – аварии того же типа, но меньшего масштаба. В тех странах, где из этого были извлечены уроки, сделаны выводы и изменены нормы безопасности, техническая политика или организационные структуры, реагирующие на такие угрозы, многих бед удалось избежать. Грубо говоря, мы здесь не можем действовать интуитивно, закрывать глаза или надеяться на лучшее. Формализация этих представлений ведет к другим вопросам относительно изучаемых процессов, к другим моделям, другим методам управления. Первые шаги на этом пути описаны в настоящей книге.

Один из принципиальных уроков развития компьютерного моделирования и нелинейной динамики состоит в том, что весьма небольшая часть наших знаний навыков и представлений может быть эффективно формализована. Как ни странно, мы гораздо чаще, чем хотелось бы, "все понимаем, но сказать не можем". Поэтому особую роль приобретают методы, техники, формализм, которые позволяют извлекать эти знания и переводить их в форму, допускающую передачу и многократное использование. Одной из наиболее популярных и перспективных техник такого рода являются нейронные сети. В идеале они способны создать наше "второе я", обучаясь на наборе примеров, которые мы им предоставляем.

В рамках предшествующего подхода, связанного с выделением маломерных проекций, мы выдвигаем гипотезу о природе "непостижимой эффективности" нейронных сетей при решении многих задач анализа и прогноза. Непостижимой эффективности математики в естественных науках удивлялся Е.Вигнер. Однако гораздо более естественно удивиться тому, насколько эффективно может быть смоделировано то, для чего у нас нет удовлетворительного математического описания.

В самом деле, отталкиваясь от нейронных сетей, можно представить себе совершенно другой способ моделирования и осмысления реальности. Можно представить себе компьютерные модели, которые непосредственно обучаются на наборе экспериментов, не используя каких-либо уравнений, а затем предсказывают, что будет в этой системе. Моделью становится не уравнение и алгоритм его численного решения, а нейронная сеть, обученная решать эту задачу. "Понимание" в этом контексте будет означать, что сеть очень простая и человеку удается легко проследить, как устроен этот черный ящик, дающий правильные ответы.

Нейронные сети, как мы показываем, потенциально обладают прекрасными возможностями находить маломерные проекции. Поэтому, возможно, они и оказываются очень полезными при решении многих задач, для которых нет удовлетворительной формализации. Идеалом было бы предложить набор алгоритмов выделения маломерных проекций и областей, где простые и ясные представления уже не работают. В одних случаях это могло бы дать новые алгоритмы прогноза временных рядов. В других – системы предупреждения о тех ситуациях, с которыми мы ранее не сталкивались и которые требуют предельной осторожности. В третьих – информацию о том, что изучаемый объект на самом деле описывается с помощью нескольких параметров порядка. Наряду с индикаторами температуры, давления, влажности нам были бы очень нужны индикаторы "простоты" и "сложности". Работы по компьютерному прогнозу землетрясений показывают, что эти надежды гораздо ближе к реальности, чем кажется на первый взгляд.

Другая гипотеза, заслуживающая внимания, связана с ролью хаотической динамики в анализе и распознавании образов. Одними из главных вопросов при анализе психики являются алгоритмы забывания и переключения внимания на другие объекты. Мозг тоже определенным образом занимается самоорганизацией и выделением параметров порядка, концентрируя внимание на главных образах, устраняя ложные, отправляя второстепенные на периферию сознания. На наш взгляд, роль диссипативных процессов, обеспечивающих такую самоорганизацию, могут играть элементы, обладающие хаотической динамикой. Один модельный пример, подтверждающий этот взгляд, мы также разбираем в книге.

Междисциплинарность позволяет не только упрощать, но и выделять новые явления, на которые раньше внимание не обращалось. Обычно эти явления находятся на границе различных уровней организации. Во многих интересных случаях научные дисциплины занимаются детальным анализом явлений, происходящих на одном уровне, а междисциплинарные подходы обращают внимание на то, что происходит между ними. Типичный пример – самоорганизованная критичность. Обычный подход фиксирует внимание на детерминированном поведении, будь то одномерное отображение или уравнение в частных производных, либо на чисто статистическом описании. На границе между этими уровнями существует большая область нелинейных процессов, которые также могут приводить к редким катастрофическим событиям. В этой области есть своя внутренняя простота и свои механизмы упрощения. Они связаны с непосредственным влиянием локальных правил, обеспечивающих взаимодействие элементов системы или их выбор из имеющегося множества, на глобальную статистику. Эта статистика во многих случаях оказывается степенной в большом интервале масштабов. Последнее означает, что редкие катастрофические события происходят не настолько редко, чтобы ими можно было пренебречь. Эта область очень быстро развивается и в теоретическом, и в прикладном плане.

Разнообразие и сложность исследования нелинейных систем, в которых процессы разворачиваются во времени и пространстве, ставят новые проблемы перед нелинейной динамикой. Традиционный путь связан с уравнениями в частных производных, с выводом аппроксимирующих их разностных схем, со сложной техникой построения сеток в прикладных задачах, с многочисленными компьютерными расчетами. Трудности традиционного подхода хорошо известны, методы преодоления возникающих препятствий за последние полвека также были детально изучены. Поэтому естественно возникает мысль пойти радикальным, альтернативным путем – описывать различные нелинейные процессы сразу на дискретном языке, считая, что сама измеряемая величина может принимать конечный набор значений. Этот подход, развиваемый в теории клеточных автоматов, имеет очевидные достоинства. Среди них возможность высокоскоростных параллельных вычислений на так называемых машинах клеточных автоматов; очевидность алгоритмов, позволяющих строить неплохие автоматы для задач переноса, газовой динамики, химической кинетики и многих других; отсутствие проблем с аппроксимацией, сходимостью и сложными разностными сетками; наличие экологической ниши, в которой трудно или даже невозможно писать уравнения в частных производных, но довольно легко придумывать клеточные автоматы.

Однако главная проблема теории клеточных автоматов, на наш взгляд, также является не технической (сколько клеток, какая точность, какое быстродействие), а принципиальной. И связана она не с расчетами конкретных объектов, а с пониманием. С начала нашего века, когда на уравнения в частных производных смотрели как на сложный экзотический объект, прошло много времени. В той или иной степени благодаря усилиям поколений ученых удалось построить качественную теорию для многих таких объектов. Для разных областей и разных уравнений ее объем достижений различен. Проблема клеточных автоматов состоит в том, что на сегодняшний день такой качественной теории нет. Более того, неизвестно, может ли быть построена эта теория. Если бы это удалось сделать, методы компьютерного моделирования могли бы радикально измениться.

В этом разделе и во всей книге мы попытались выделить параметры порядка в развитии нелинейной динамики. Однако сама эта область представляет собой нелинейную, открытую, необратимо развивающуюся систему, для которой процедура выделения параметров порядка может оказаться некорректной. Что от нее можно ожидать?

Прояснения и упрощения основных представлений. Новых методов упрощения реальности. Растущего влияния на области исследований, связанные с системным анализом.

И, конечно, неожиданностей и новых парадоксов.

Об авторах

Малинецкий Георгий Геннадьевич

Доктор физико-математических наук, профессор. Заведующий отделом математического моделирования нелинейных процессов Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, профессор МФТИ, МГТУ, МосГУ и РУДН. Лауреат премии Правительства РФ в области образования. Один из ведущих специалистов в области нелинейной динамики, автор более 900 научных трудов и около 200 научно-популярных статей и книг, изданных в России и в США. Председатель редколлегий серий книг «Синергетика: от прошлого к будущему» и «Будущая Россия» (М.: URSS). Наиболее известные результаты — теория диффузионного хаоса, модели системы образования, исследовательский проект создания математической истории, проект создания Национальной системы научного мониторинга опасных явлений и процессов в природной, техногенной и социальной сферах.

Потапов Алексей Борисович

Доктор физико-математических наук, сотрудник Эдмонтонского университета (Канада).

Основные научные результаты связаны с созданием вычислительных алгоритмов, анализом временных рядов на основе методов нелинейной динамики. В настоящее время занимается математическим моделированием экономико-экологических систем с позиций оптимального управления ими.

Подлазов Андрей Викторович

Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН. Преподаватель Московского физико-технического института.

Область научных интересов — наука о сложности, теория самоорганизованной критичности, управление риском.