Данилов Ю.А. Многочлены Чебышева:
От теории механизмов и приближения функций до современного состояния теории наилучшего приближения функций. № 100. Изд. стереотип.

Содержание

Заключение. Вездесущие и неисчерпаемые

Итак, окончен трудный и, надеемся, интересный путь. Мы подошли к концу нашей книги, но, разумеется, тема "Многочлены Чебышева" далеко не исчерпана: о них мы знаем теперь много больше, чем знали, но не все. Чудесные многочлены, родившиеся под мерный шум маховика паровой машины, мелькающие среди причудливых фигур Лиссажу на экранах осциллографов, поистине вездесущи, и как бы мы ни начали свой рассказ о них, у нас всегда останется в запасе множество других не менее привлекательных вариантов "зачина".

Свой рассказ о многочленах Чебышева мы могли бы начать, например, с того, как Ньютон, Грегори, Лагранж и другие пытались решить задачу об интерполяции функций, т.е. о построении приближения к ним на отрезке по значениям, принимаемым функциями в отдельных точках. При использовании равноотстоящих точек приближение даже "хорошей" функции обычными степенными многочленами наталкивается на значительные трудности. При увеличении числа точек n ошибки приближения не обязательно стремятся к нулю, хотя в выбранных точках приближающий многочлен совпадает с приближаемой функцией.

Например, при степенной интерполяции по равноотстоящим точкам на отрезке [-1, + 1] даже такой простой, казалось бы, функции, как у = 1/(1 +25x²), определенной вместе со всеми производными на всей вещественной оси, ошибка при увеличении числа точек n неограниченно возрастает всюду, кроме самих точек деления. Лишь при переходе к тригонометрическим многочленам удается построить равномерную интерполяцию по равноотстоящим точкам, т.е. найти приближение к заданной функции, дающее ошибку одного и того же порядка на всем отрезке. Многочлены Чебышева позволяют превратить тригонометрические многочлены в степенные, сохранив при этом равномерное приближение. В этом, в частности, проявляется глубокое внутреннее родство многочленов Чебышева с тригонометрическими многочленами и рядами Фурье.

Мы могли бы начать свой рассказ о многочленах Чебышева и с того, как во время второй мировой войны английский математик Гарри Бейтмен (1882–1946), работавший в США, занимался составлением справочника по специальным функциям (так в отличие от элементарных функций, с которыми мы знакомимся в школе, принято называть функции, возникающие при решении некоторых уравнений и требующие специального изучения). Бейтмен был блестящим знатоком специальных функций и знал о них все, что можно было и стоило знать. Все сведения о литературных источниках он заносил на карточки, которые хранил в коробках из-под ботинок. Дело быстро продвигалось, но довести задуманный проект до конца Бейтмен не успел. После его смерти сокращенный вариант проекта потребовал усилий трех выдающихся знатоков и целого штата технических сотрудников и вылился в издание трех томов "Высших трансцендентных функций" и двух томов "Интегральных преобразований".

Важное место в проекте Бейтмена отводилось ортогональным многочленам. Мы могли бы рассказать об их свойствах: о том, что каждый ортогональный многочлен степени n имеет внутри соответствующего отрезка [а, b] ровно n корней, что нули ортогональных многочленов с "соседними" номерами перемежаются, что все ортогональные многочлены четной степени четны, а все ортогональные многочлены нечетной степени нечетны; что нули их при n–>00 имеют одинаковое предельное распределение. Мы могли бы рассказать об универсальных, или всеобъемлющих, многочленах Якоби, частными случаями которых являются все ортогональные многочлены, в том числе и многочлены Чебышева.

Мы могли бы начать с истории о том, как в 1933 г. Геофизический институт обратился к известному советскому математику академику Н.Н.Лузину (1883–1950) с просьбой проанализировать широко применявшийся в то время метод предсказания погоды по данным метеорологических наблюдений, собранных за большой период (так называемый метод периодограмм), и выяснить его обоснованность. Суть метода периодограмм состояла в представлении эмпирических кривых (построенных по данным наблюдений) тригонометрическими многочленами – суммами конечного числа синусоид. Амплитуды, начальные фазы и периоды синусоид подбирались так, чтобы тригонометрический многочлен наименее уклонялся от эмпирической кривой на том отрезке, на котором производились наблюдения. Считалось, что и вне этого отрезка многочлен хорошо согласуется с представляемой эмпирической кривой и, следовательно, может быть использован для предсказания значений, принимаемых кривой "в будущем" – за пределами интервала наблюдений.

Произведенный Н.Н.Лузиным анализ показал, что естественные границы применимости метода весьма узки, и вне их прогноз на основе периодограмм давал фантастические результаты, не имевшие ничего общего с истинными закономерностями. Как и приближения эмпирических кривых на основе других (нетригонометрических) функций, периодограммы оказались непродолжаемыми за пределы того отрезка времени, в течение которого производились наблюдения. Миф о надежности периодограмм как основы прогноза был развеян окончательно и бесповоротно: обоснованный прогноз надлежало строить на иных принципах.

Помимо необычайно важного для практических приложений отрицательного вывода о непригодности периодограмм, Н.Н.Лузин получил не менее значимый положительный результат: решив задачу о многочленах, наименее уклоняющихся от заданной функции (эмпирической кривой), он открыл новый класс многочленов, аналогичных по своим свойствам многочленам Чебышева и переходящих в них в том случае когда приближаемая кривая на всем отрезке, в течение которого производятся наблюдения, тождественно равна нулю.

Мы могли бы начать с рассказа о косинусе комплексного числа, который может быть больше единицы, и рассмотреть многочлены Чебышева не только на отрезке [- 1, + 1], но и на всей вещественной оси, задав их рекуррентным соотношением

T_n+1(x) = 2е'_n(е) - T_n-1(x), T₀(x) =1, T₁(x) = е, n> 0.

Тригонометрическое определение при х> 1 нам бы пришлось рассматривать в комплексной области, где оно остается в силе.

Мы могли бы начать... Впрочем, закончить наш рассказ о многочленах Чебышева не менее трудно, чем начать его.

Мы могли бы рассказать о двумерных аналогах многочленов Чебышева, тесно связанных с многочленами, наименее уклоняющимися от нуля на квадрате |x|<= 1, |y|<=1. Не менее интересно было бы познакомиться и с многочленами Чебышева, заданными не на всей оси, а лишь в целых точках. Мы могли бы рассказать и о наиболее экономных таблицах функций и о многом другом, но пора ставить точку. Изменив лишь одно слово во введении к "Оптике" Ньютона, мы позволим себе выразить надежду, что изложенного достаточно в качестве введения читателям с быстрым умом и хорошим пониманием, но еще не опытным в математике.

Об авторе

Данилов Юлий Александрович

Специалист в области математической физики и инвариантно-группового анализа, одна из наиболее ярких фигур отечественной синергетики. В течение нескольких десятилетий был одним из руководителей Московского семинара по синергетике, сыгравшего огромную роль в становлении этого междисциплинарного подхода в России. Блестящий переводчик, педагог, популяризатор науки, член редакционных коллегий журналов "Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика" и "Квант". В 1963 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Вся его творческая жизнь прошла в теоретическом отделе отделения молекулярной физики Института атомной энергии имени И. В. Курчатова. Обладал уникальной способностью аккумулировать знания, владел более чем 20 языками и перевел на русский язык 110 книг по математике, физике, истории науки. В сфере интересов Ю. А. Данилова была также история развития естествознания. Он одним из первых стал пропагандировать новое направление в научном мире — синергетику и включился в поиск законов самоорганизации, описываемых едиными уравнениями в физике, химии, биологии, социологии, медицине.