URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Каган В.Ф. Основания теории определителей
Id: 295775
1999 р.

Основания теории определителей Изд. 2

URSS. 2023. 528 с. ISBN 978-5-9710-5678-2.
Книга напечатана по дореволюционным правилам орфографии русского языка (репринтное воспроизведение)
Белая офсетная бумага

Аннотация

Книга написана на основе лекций, которые автор в течение ряда лет читал студентам-математикам, и представляет собой фундаментальное руководство по теории определителей, применения которой в настоящее время нашли себе место во всех без исключения отраслях математики.

Руководство содержит обширный материал, необходимый для усвоения основ высшей математики, снабжено большим количеством задач. (Подробнее)

Введеніе........................ ............................ 1 Глава I. Рѣшеніе одного линейнаго уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ. Опредѣлители перваго порядка. § 1. Общія соображенія о линейныхъ уравненіяхъ............... 10 § 2. Рвшеніе и изслѣдованіе уравненій съ однимъ неизвѣстнымъ. Опредѣлители перваго порядка............. ............. 13 Глава II. Рѣшеніе двуръ уравненій съ двумя неизвѣстными. Опредѣлители второго порядка. § 3. Опредѣлители второго порядка........................... 15 § 4. Простѣйшія приложенія................................. 20 § 5. Рѣшеніе и изслѣдованіе системы двухъ уравненій съ двумя не- извѣстными............................................ 21 § 6. Теорема Кронекера-Капелли.............................. 29 § 7. Упражненія и задачи................................., , 34 Глава III. Ученіе о линейныхъ преобразованіягсъ и бинарныхъ формацъ. § 8. Линейныя преобразованія двухъ перемѣнныхь .............. 37 § 9. Умноженіе опредѣлителей. Тождества Коши................ 40 § 10. Линейныя преобразованія билинейныхь формъ.............. 44 §11. Линейныя преобразования квадратичныхь формъ............ 48 § 12. Вещественныя квадратичныя формы....................... 52 § 13. Простѣйшія приложенія ученія о бинарныхь формахъ........ 58 § 14. Упражненія и задачи ................................... 61 Глава !Ѵ. Опредѣлители третьяго порядка. Рѣшеніе трецъ уравненій съ тремя неизвѣстными. § 15. Лемма Вандермонда и задача Лейбница................... 63 § 16. Ог.редѣлители третьяго порядка. Правило Сарруса.......... 67 § 17. Исключеніе двухъ неизвѣстныхъ изъ системы трехъ линейныхъ ураьненій съ тремя неизвѣстными........................ 70 § 18, Основныя свойства опредѣлителя третьяго порядка......... 73 § 19. Изслѣдованіе системы трехъ линейныхъ уравненій с тремя неизвѣстными.......................................... 80 § 20. Теорема Кронекера-Капелли............................. 87 § 21. Теорема Якоби........................................ 91 § 22. Упражненія и задачи.................................. 96 Глава V. Ученіе о перестановка^. § 23. О роли перестановокъ въ ученіи объ опредѣлигеляхъ....... 101 § 24. Классификація перестановокъ. Критерій Коши............. 102 — VII — Стр. § 25. Транспозиціи..........................,.............. 106 § 26. Критерій Лейбница-Лапласа----......................... 108 § 27. Инверсіи. Критерій Крамера............................. Ill § 28. Упражненія и задачи .................................. 112 Глава VI. Начала общей теоріи опредѣлителей. § 29. Опредѣлители любого порядка........................... 114 § 30. Система двойныхъ индексовъ............................ 116 § 31. Миноры опредѣлителя.................................. 120 § 32. Разложеніе Безу...................................... 124 § 33. Теорема сложенія..................................... 127 § 34. Примѣры и задачи.................................... 131 Глава VII. Вычисленіе опредѣлителей. § 35. Важнѣйшіе методы вычисленія опредѣлителей.............. 135 § 36. Опредѣлитель Вандермонда. Дискриминантъ............... 142 § 37. Симметрическіе и косые симметрическіе опредѣлители...... 144 § 38. Упражнения и задачи................................... 157 Глава VIII. Рѣшеніе и изспѣцованіе системы линейныхъ уравненій. § 39. Рѣшеніе определенной системы линейныхъ уравнений....... 163 § 40. Матрицы и ихъ рангъ.................................. 166 § 41. Общее изслѣдованіе системы линейных уравненій.......... 168 § 42. Однородныя уравненія................................. 174 § 43. Исключение неизвѣстныхъ изъ системы линейныхъ уравненій. . 179 § 44. Упражненія и задачи............. ..................... 180 Глава Умноженіе опредѣлигелей. § 45. Умноженіе матрицъ ................................... 185 § 46. Теорема Бине-Коши.................................. 189 § 47. Взаимные опредѣлители................................. 191 § 48. Вычисленіе циркулянта и дискриминанта.................. 193 § 49. Развитіе теоремы Бине-Коши............................ 195 § 50. Упражненія и задачи.................................. 199 Глава JC. Разложеніе Лапласа. § 51. Миноры различныхъ порядковъ.......................... 205 § 52. Теорема Лапласа..................................----- 208 § 53. Новое доказательство теоремы Бине-Коши................ 213 § 54. Упражненія и задачи.................................. 218 Глава £1. Начала общей теоріи линейныхъ и квадратичные формъ. § 55. Линейныя преобразованія.............................. 224 § 56. Системы линейныхъ формъ и ихъ преобразованія.......... 229 § 57. Линейныя преобразованія билинейныхъ формъ............. 236 § 58. Линейныя преобразованія квадратичныхъ формъ........... 240 § 59. Преобразованія вещественныхъ квадратичныхъ формъ....... 244 § 60. Инваріанты и коваріанты алгебраических и ариѳметическихъ формъ.............,................................. 249 § 61. Упражненія и задачи................................... 252 —VIII — Стр^ Глава 2(11. Функциональные опредѣлители. § 62. Дифференцированіе опредѣлителя >....................... 258 § 63. О линейной зависимости функцій........................ 262 § 64. Опредѣлители Якоби................................... 266 § 65. Неявныя функціи----.................................. 270 § 66. О зависимости функцій................................. 286 § 67. О зависимости линейныхъ функцій....................... 293 § 68. Упражненія и задачи.......,........................... 295 Глава Объ опредѣлитепя^ъ беэконечнаго порядка. § 69. Линейньія уравненія, содержащія бесчисленное множество неизвѣстныхъ......................................... 301 § 70. Общія свойства определителей безконечно большого порядка 312 § 71. Миноры опредѣлителя безконечнаго порядка............... 319 § 72. О сходимости безконечныхъ процессовъ и мажорантныхъ функцияхъ...........................................- 326 § 73. Нормальный и полунормальныя матрицы........... 332 § 74. Нормальные и полунормальные опредѣлители безкрнечиаго. порядка ............................................ 339 § 75. Рангь и декрементъ нормальной матрицы................. 349 § 76. Нормальная система линейныхъ уравнений................. 353 § 77. Упражненія и задачи.................................. 364 Глава JUV. Допопненія. § 78. Основанія знакопеременной алгебры.................... 369 § 79. Опредѣлитель, как произведеніе составныхъ чиселъ знако- перемѣнной алгебры............................ -..... 380 § 80. Опредѣлитель, как знакоперемѣнная полилинейная форма---- 390 § 81. Об опредѣлителяхъ высшихъ измѣреній................ 399 § 82. Задачи на всѣ отдѣлы курса............................ 404 Рѣшенія задачъ. Къ главѣ II § 7 ........................................ 4*3 Къ главѣ III § 14 .................................... 416 Къ главѣ IV § 22- ........................................ 42° Къ главѣ V § 28 ...................................... 431 Къ главѣ VI § 34 ........................................ 433 Къ главѣ VII § 38 ...................................•---- 437 Къ главѣ VIII § 44........................................ 448 Къ главѣ IX § 50........................................ 456 Къ главѣ X § 54 ..................................*........ 465 Къ главѣ XI § 61 ....................................... 473 Къ главѣ XII § 68..................................•..... 483 Къ главѣ XIII § 77 .................................*..... 497 Къ главѣ XIV § 82 .................... ,..................,501

Предисловие
top

Настоящее руководство представляет собою обработанные для печати лекции, которые я в течение продолжительного ряда лет читал студентам математикам. Я начинал преподавание теории определителей с элементарного курса, который читал начинающим студентам на первом семестре; я возвращался затем к этому предмету в курсе высшей алгебры, а при чтении интегрирования дифферециальных уравнений я излагал довольно обстоятельно учение о функциональных определителях. Студенты получали, таким образом, в течение всего курса довольно обстоятельные сведения об этой дисциплине, применения которой в настоящее время нашли себе место во всех без исключения отраслях математики. Считаясь с этим значением определителей, я старался вести преподавание таким образом, чтобы студенты усвоили как метод развития этой теории, так и многообразные приемы вычисления определителей. В настоящем руководстве я пополнил свои лекции наиболее элементарными приложениями определителей к алгебраической теории форм и учением об определителях бесконечного порядка. Этому последнему отделу я придаю особенно важное значение но той роли, которую определители безконечного порядка получили в связи с работами Фредгольма; они сделались краеугольным камнем новой ветви анализа, к которой эти работы привели. К тому же этот отдел теории определителей, насколько мне известно, обстоятельно излагается в русской литературе в первый раз.

Самое развитие теории проводится классическими методами, основанными, главным образом, на теории перестановок. В последние два десятилетия были предложены, однако, другие методы построения теории определителей, отличающиеся необычайной простотой и изяществом. Сюда относятся метод, основанный на применении комплексных чисел с произвольном числом независимых единиц,— метод, ведущий свое начало еще от Г. Грассмана, алгебраический метод Кронекера, чрезвычайно своеобразная система Гензеля. Развитие, которое в последнее время получила теория векторов, привело к геометрическим методам построения теории определителей. В дополнительной главе я излагаю два из этих новых методов построения теории определителей, тесно связанные между собою. Систему Гензеля я считаю особенно ценной по той удивительной простоте, с какой она приводит к теореме Бине-Коши, к разложению Лапласа и т. д. Я настойчиво рекомендую читателю, изучившему классическую теорию определителей, ознакомиться с этими приемами, освещающими предмет с других точек зрения.

Настоящее сочинение содержит, таким образом, как мне кажется, весь тот материал, который необходим как для усвоения основ высшей математики, так и для значительной самостоятельной работы. Если, однако, это сочинение получило довольно большие размеры, то главная причина этого коренится все же не в обилии материала: это имеет другой источник.

Я всегда придавал большое значение тому, чтобы студент, изучающий математику, не ограничивался записками, составленными во время лекций, или литографированным их изданием, а непременно читал обстоятельное, тщательно разработанное сочинение, освещающее предмет, по возможности, с иной точки зрения, нежели это делал профессор, которого он слушал. С точки зрения математического образования, быть может, более всего необходимо, чтобы студент научился читать серьезную книгу. Я всегда рекомендовал это начинающим студентам; многие из них следовали этому совету и часто с жаром принимались за указанную книгу. Однако, через короткое время оказывалось, что лишь весьма немногие были в состоянии с этой задачей справиться; искреннее желание прочесть книгу обыкновенно разбивалось о те препятствия, которые представляет трудное и сжатое изложение, столь обычное не только для оригинальных математических сочинений, но даже и для руководств. Я всегда считал такое изложение очень вредным для успеха математического образования. Сообразно этому я старался настоящий курс изложить таким образом, чтобы книга была вполне доступна начинающему, но внимательному читателю. Первые четыре главы содержат весьма элементарное изложение теории определителей 2-го и 3-го порядка. Только после этого я перехожу к общей теории, но и здесь изложение остается вполне доступным всякому, кто уже уяснил себе руководящие идеи на определителях низших порядков. Этой обстоятельностью изложения, расчитанной на среднего студента, и объясняется значительный размер книги; я думаю, что ее будет легче прочесть, чем небольшую книгу, каждую страницу которой приходится брать с бою. Только по мере того, как предмет углубляется, к читателю предъявляются более серьезные требования; к тому времени, когда он примется за эти главы, он уже неизбежно приобретет необходимую для них подготовку.

Излагать здесь же применения определителей к различным отраслям математики мне казалась нецелесообразным : читатель неизбежно с ними встретится при изучении соответствующей дисциплины. Руководство по теории определителей, мне кажется, отнюдь не должно быть конгломератом отдельных, не связанных между собою вопросов, при решении которых определители находят себе применение. Есть, однако, два вопроса, с которыми теория определителей, можно сказать, срослась, на которых она зародилась и в связи с которыми она росла; это учение о линейных уравнениях и теория форм. В тесной связи с этими основными вопросами теория определителей и развивается в настоящем сочинении. Однако, все учение о формах и линейных их преобразованиях изложено таким образом, чтобы читатель мог при первом чтении его опустить. Вообще при первом чтении настоящего сочинения целесообразнее всего, проштудировать главы Т, II, IV—VI, VII (§§ 35 и 36), VIII, IX (§§ 45, 46 и 49) и X (§§ 51 и 52). К остальным главам читатель будет обращаться по мере того, как к этому у него встретится надобность.

Книга содержит большое число задач. Одни из них представляют собою просто примеры и упражнения для усвоения теории; другие требуют вдумчивого размышления и, как все математические задачи, служат для углубления приобретенных знаний и для развития сообразительности, самостоятельной математической мысли. Многие из этих последних задач представляют собою вопросы, которые могли бы найти себе место и в тексте, и таким образом значительно расширяют содержащийся в книге материал.

Большой труд, которого потребовала разработка настоящего руководства, был мне значительно облегчен профессором Ю. Г. Рабиновичем, внимательно прочитавшим всю рукопись и давшим мне много полезных указаний. Многим я обязан также своим ученикам, тщательно читавшим корректуру А. Лизаревичу, Л. Тумерману и, особенно, студенту Г. Гильо, внимательно прочитавшему решения всех задач и составившему к книге указатель. Не могу, наконец, не указать, что сложный набор этого большого сочинения был выполнен одним наборщиком, Н. Столяром, вкладывавшим в это дело труд, доходивший до самоотверженности. Приношу свою глубокую благодарность и коллеге, уделившему книге столько внимание, и студентам, тщательно проверявшим каждую формулу, и труженику печатного станка, которому книга обязана своим появлением в свет. Читателя же прошу не поставить нам в вину, если все мы все таки допустили те или иные дефекты; за их указание буду очень признателен.

Одесса, Июнь 1922. В. Ф. Каган.


Об авторе
top
photoКаган Вениамин Федорович
Доктор физико-математических наук, профессор МГУ имени М. В. Ломоносова. Основатель тензорной дифференциально-геометрической школы в СССР.

Родился в г. Шяуляй, в Литве, в 1869 г. Окончил Киевский университет в 1892 г. С 1923 г. — профессор МГУ. В 1935 г. — доктор физико-математических наук. В 1929 г. получил звание заслуженного деятеля науки. В 1940 г. награжден орденом Трудового Красного Знамени, а в 1943 г. — Сталинской премией.

Основная область научных интересов В. Ф. Кагана — основания геометрии и дифференциальная геометрия. Он исследовал и популяризовал идеи Н. И. Лобачевского, а также создал теорию субпроективных пространств, представляющих собой обобщения пространства Лобачевского. Был редактором журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики», редактором математического отдела первого издания Большой советской энциклопедии и автором ее статей. Основал издательство «Матезис», выпускавшее научную и научно-популярную физико-математическую литературу.


Страницы (пролистать)
top
  1. slider
  2. slider