Шилин А.П. Дифференциальные уравнения:
Подробный разбор решений типовых примеров. 1800 примеров, собранных в многовариантные задания по важнейшим темам курса. Коллекция важнейших типов решений алгоритмического характера. Изд. стереотип.

---

Предисловие				3
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин				5
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним				23
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель				36
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним				48
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной				61
§ 6. Уравнения 2-го порядка				81
§ 7. Системы дифференциальных уравнений				95
§ 8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными				114
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами				128
§ 10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами				140
§ 11. Уравнения Эйлера				155
§ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами				169
§ 13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами				186
§ 14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями				214
§ 15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем				226
§ 16. Устойчивость по первому приближению				243
§ 17. Фазовая плоскость				261
Дополнение. Линейные интегральные уравнения второго рода с вырожденными ядрами				293
Список литературы				306

---

Из сборников задач по дифференциальным уравнениям, приемлемых для студентов физико-математических специальностей, следует назвать в первую очередь сборники [1 – 5]. Настоящее учебное пособие является также сборником задач, особенность которого в том, что задачи и примеры представлены здесь в форме однотипных многовариантных заданий по важнейшим темам курса дифференциальных уравнений. Это позволяет давать индивидуальные задания каждому студенту в академической группе.

В процессе многолетней преподавательской работы со студентами физических специальностей Белорусского государственного университета автор неоднократно предлагал примеры, собранные в этом пособии, для решений в качестве домашних заданий, контрольных и самостоятельных работ, примеров в экзаменационных и зачетных заданиях, а также примеров, решаемых на доске во время практических занятий.

Все примеры, содержащиеся в настоящем пособии, решаются классическими методами, изложенными, например, в учебниках [6 – 10] и многих других. Разбор решений типовых примеров проведен и в самом пособии.

Умению решать примеры будет также способствовать знакомство читателя с учебными пособиями [11 – 15], содержащими разбор решений большого числа различных дифференциальных уравнений, в том числе возникающих в приложениях.

В курсе дифференциальных уравнений должны решаться задачи и примеры по ряду тем, не вошедших в настоящее пособие: приближенное решение задачи Коши, особые решения, нелинейные уравнения порядка выше второго, исследования устойчивости с помощью функций Ляпунова, задачи прикладного характера и др. Охватить все темы и типы примеров в форме многовариантных заданий — непосильная задача для любого автора, да и нет в этом необходимости для учебного процесса. В этом пособии собраны те важнейшие типы примеров, решение которых носит в основном алгоритмический характер. Лишь уверенное умение решать подобные примеры даст впоследствии возможность специалисту как владеть в полной мере методами дифференциальных уравнений, так и самому разрабатывать эти методы.

Ко всем примерам приводятся ответы. В ответах C, C 1 , C 2 , . . . — произвольные действительные постоянные, m — произвольное целое число, F — произвольная дифференцируемая функция.

В ответах к заданиям из § 1, 17 с помощью компьютера сделаны рисунки. При их выполнении требуется создать подобные рисунки вручную, с соблюдением достаточной точности и аккуратности. Можно привлекать и компьютер, обратившись, например, к учебному пособию [16].

Большинство примеров данного пособия составлено автором, часть из них была ранее указана в его учебном пособии [17]. Совсем незначительное число примеров заимствовано из указанных выше сборников, а также из пособий [18], [19]. Помощь при составлении примеров к § 14, 15, 17 оказал доцент Белорусского национального технического университета П. Г. Ласый, которому автор выражает свою признательность. Автор признателен также многим студентам факультета радиофизики и компьютерных технологий Белорусского государственного университета за участие в проверке правильности ответов к ряду примеров и в выполнении некоторых рисунков.

За многочисленными формулами и математическими значками, составляющими большую часть содержания этого пособия, автор хорошо видел перед собой своего главного читателя — студента, изучающего высшую математику. Предлагаемые примеры и сформированные из них задания призваны помочь успешному изучению этим читателем важного раздела высшей математики.

---