|
Оглавление
Предисловие
В настоящей книге изложены основные результаты асимптотической теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и систем, относящиеся к поведению решений с малыми параметрами при старших производных и к поведению решений при больших значениях аргумента. Литература по этим вопросам велика и разрозненна, но методы доказательств довольно однотипны, так что этот материал хорошо укладывается в монографию справочного типа. Мы ограничились только однородными уравнениями. Асимптотику решений неоднородного уравнения можно получить из асимптотики фундаментальной системы решений, применяя методы асимптотических оценок интегралов. С понятием асимптотического разложения, которое систематически используется в данной книге, читатель может ознакомиться по монографиям [4, 20]. Под "формальным асимптотическим решением " (ФАР) понимается функция, удовлетворяющая уравнению с некоторой степенью точности. Хотя это понятие четко не определено, смысл его всегда ясен из контекста. Отметим также, что термин "линия Стокса" (ЛС), употребляемый в данной книге, эквивалентен термину "антистоксова линия", принятому в физической литературе. В главе I кратко изложены основные сведения из аналитической теории дифференциальных уравнений. В § 2, п.4 и в § 3, п.3 приведены полученные в последние годы результаты об отгонке краевого условия из особой точки уравнения в неособую. В главе II рассматриваются уравнения второго порядка на конечном интервале и на полуоси. Приведены асимптотические формулы для решений уравнений с малым параметром при старшей производной в случае, когда уравнение не имеет точек поворота. Приведены асимптотические формулы для решений при больших значениях независимой переменной, а также формулы, пригодные и при больших значениях параметра, и при больших значениях независимой переменной (двойные асимптотики). В § 5 аналогичные результаты приведены для систем уравнений любого порядка, которые близки к диагональным. В § 8 приведены примеры, которые показывают, что из существования формальной асимптотики не всегда следует существование решений, имеющих такую асимптотику. В главе III рассматриваются уравнения второго порядка, содержащие большой параметр, в комплексной области. Этот раздел асимптотической теории слабо освещен в существующих монографиях. Асимптотические формулы для решений приведены в областях, не содержащих точек поворота и их малых окрестностей. Указаны максимальные области применимости асимптотических формул для решений и приведены асимптотические формулы для матриц перехода, позволяющие построить асимптотику решений в большом. Рассмотрен ряд приложений: асимптотика собственных значений уравнений с аналитическими коэффициентами, в том числе несамосопряженных или имеющих регулярные особые точки, асимптотика матрицы рассеяния в квазиклассическом приближении, асимптотика ширины лакун в спектре оператора Штурма–Лиувилля с периодическим потенциалом. В главе IV приведены асимптотические формулы для решений уравнений второго порядка в вещественной или комплексной окрестности точки поворота. Рассмотрены случаи слияния точек поворота или точек поворота я особых точек уравнения. В главе V приведены результаты того же типа, что и в главах II–IV, но для уравнений и систем порядка выше второго. В § 6 сформулированы результаты, полученные с помощью канонического оператора Маслова. В § 8 рассмотрена задача рассеяния для системы Штюккельберга. В настоящий справочник не вошли результаты, относящиеся к уравнению Орра–Зоммерфельда, и метод осреднения для уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Несмотря на неполноту справочника, мы надеемся, что он окажется полезным математикам, механикам и физикам, использующим в своей работе асимптотические методы теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. М.В.Федорюк
Об авторе
 Федорюк Михаил Васильевич Известный отечественный математик, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института. Родился в Свердловске. В 1957 г. после окончания механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова поступил в аспирантуру, где занимался под руководством И. М. Гельфанда. С 1960 г. работал на кафедре высшей математики Московского физико-технического института сначала в должности ассистента, затем, с 1963 г. — в должности доцента. В 1961 г. защитил кандидатскую, а в 1967 г. — докторскую диссертацию по асимптотическим методам в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В 1969 г. ему было присвоено ученое звание профессора. С 1966 г. работал по совместительству старшим научным сотрудником Акустического института имени Н. Н. Андреева.
М. В. Федорюк — автор серии работ, относящихся к асимптотическому исследованию решений обыкновенных дифференциальных уравнений, а также большого цикла работ об асимптотике решений линейных уравнений высокого порядка. Он является создателем многомерного метода перевала. Фундаментальным вкладом в акустику являются его труды по проблеме активного гашения акустических полей, цикл работ, посвященный задачам дифракции звука на вытянутых телах. Широкую популярность приобрели его монографии «Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики» (совм. с В. П. Масловым), «Метод перевала», «Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений» и «Асимптотика. Интегралы и ряды», а также учебники «Лекции по теории функций комплексного переменного» (совм. с М. И. Шабуниным и Ю. В. Сидоровым), «Обыкновенные дифференциальные уравнения» и «Сборник задач по теории асимптотических функций» (коллектив авторов), выдержавшие по несколько изданий и переведенные на многие иностранные языки. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||