Мусин Ю.Р., Александров И.В. Математический аппарат гравитации, калибровочных теорий, суперсимметрии:
Алгебраический язык геометрии и топологии для физиков. Изд. стереотип.

URSS. 2023. 512 с. ISBN 978-5-9519-3652-3.

Типографская бумага

Алгебро-геометрический дуализм • Алгебраические методы в теории калибровочных полей • Расслоенные пространства • Элементы алгебраической топологии • Суперпространство • Элементы алгебраической геометрии • Категорный язык геометрии.

Аннотация

Широкое внедрение алгебраических методов в теоретическую физику не является новостью. Калибровочные поля и их интерпретация на языке расслоенных пространств, суперсимметричные расширения полевых теорий, возникновение теорий Великого объединения, струнных моделей, квантовой петлевой гравитации — все это ввело в арсенал используемых физиками методов экзотические ранее разделы алгебраической топологии, алгебраической геометрии и даже теории... (Подробнее)

Содержание

Предисловие ................................................................................................	4
Глава 1 Алгебро-геометрический дуализм…………………………...	10
1.1 Алгебраические структуры ..........................................................	11
1.2 Топологические структуры ..........................................................	18
1.3 Первый синтез: многообразия и тензоры....................................	27
1.3.1 Гладкие многообразия.........................................................	27
1.3.2 Тензоры.................................................................................	30
1.3.3 Римановы пространства и тензорные поля........................	35
1.3.4 Тензорные алгебры...............................................................	39
1.4 Физические плоды..........................................................................	44
1.4.1 Пространство-время..............................................................	44
1.4.2 Электромагнитное поле на языке форм..............................	52
Глава 2 Алгебраические методы в теории калибровочных полей	56
2.1 Первоначальные сведения по теории групп и алгебр Ли ...........	56
2.1.1 Алгебры Ли.............................................................................	56
2.1.1.1 Базовые определения..................................................	56
2.1.1.2 Классификация алгебр Ли..........................................	60
2.1.1.3 Форма Киллинга ........................................................	64
2.1.1.4 Структура алгебр Ли..................................................	66
2.1.2 Группы Ли..............................................................................	69
2.1.2.1 Производная Ли..........................................................	70
2.1.2.2 Теория Ли....................................................................	74
2.1.2.3 Классификация групп Ли...........................................	82
2.1.2.4 Локализация и накрытие групп преобразований ...	85
2.1.2.5 Линейные представления групп Ли..........................	90
2.2 Физика калибровочных полей......................................................	93
2.2.1 Калибровочные преобразования..........................................	93
2.2.2 Поля Янга–Миллса на языке теории Ли..............................	100
2.2.3 Модельные примеры.............................................................	106
2.2.4 Калибровочный подход в гравитации.................................	112
Глава 3 Расслоенные пространства…………………………………..	118
3.1 Первоначальные сведения..............................................................	118
3.1.1 Расслоения и накрытия..........................................................	118
3.1.2 Главные расслоения...............................................................	121
3.1.3 Расслоения Стинрода.............................................................	126
3.1.4 Ассоциированные расслоения..............................................	130
3.2 Связности в расслоенных пространствах ....................................	134
3.2.1 Формы связности в главном расслоении.............................	134
3.2.2 Лифты и ковариантные производные..................................	137
3.2.3 Форма кривизны и уравнение Картана................................	141
Глава 4 Элементы алгебраической топологии……………………..	149
4.1. Гомологии и комплексы................................................................	149
4.1.1 Алгебраическое построение комплекса...............................	149
4.1.2 Симплициальные гомологии.................................................	153
4.2. Гомологические свойства многообразий....................................	161
4.2.1 Когомологии и комплекс де Рама ........................................	161
4.2.2 Гомотопическая эквивалентность когомологий ................	170
4.2.3 Последовательность и принцип Майера–Вьеториса..........	174
4.2.4 Когомологии Чеха, комплекс Чеха–де Рама.......................	178
4.2.5 Сингулярные и клеточные гомологии.................................	184
4.3. Методы и приложения...................................................................	195
4.3.1 Методы: от гомологий пары к изоморфизму Пуанкаре.....	195
4.3.2 Гомотопии и гомологии – основные связи..........................	203
4.3.3 Характеристические классы.................................................	212
4.3.4. Монополь Дирака.................................................................	217
4.3.4.1 Физическая модель.......................................................	217
4.3.4.2 Математические конструкции.....................................	220
Глава 5 Суперпространство…………………………………………...	225
5.1 Алгебра Клиффорда.......................................................................	226
5.2 Алгебра Грассмана ........................................................................	230
5.3 Элементы псевдоклассической механики...................................	236
5.4 Супервремя.....................................................................................	244
Глава 6 Элементы алгебраической геометрии……………………..	252
6.1 Вводный очерк................................................................................	252
6.2 Коммутативная алгебра.................................................................	261
6.2.1 Коммутативные кольца и условие нётеровости..................	262
6.2.2 Модули над коммутативными кольцами.............................	273
6.2.3 Алгебры над коммутативными кольцами и полями...........	283
6.3 На пути к схемам...........................................................................	291
6.3.1 Спектр кольца.........................................................................	292
6.3.2 Топология Зарисского............................................................	299
6.3.3 Пучки и окольцованные пространства.................................	315
6.3.4 Схемы и роль нильпотентов..................................................	329
6.4 Квантовые группы и некоммутативная геометрия ...................	341
Глава 7 Категорный язык геометрии………………………………..	349
7.1 Категории и функторы ..................................................................	349
7.2 Свойство универсальности и основные понятия .......................	361
7.3 Абелевы категории ........................................................................	387
7.4 Категория супермногообразий ....................................................	398
7.5 Топосы и геометрия пространства и времени.............................	409
Дополнительные главы "Там, за облаками…"……………………...	414
Д.1 Алгебраическая топология.............................................................	414
Д.1.1 Формулы универсальных коэффициентов и когомологии с коэффициентами в пучке ...........................	414
Д.1.2 Пространства Эйленберга–Маклейна и теория препятствий............................................................................
Д.2 Спектральные последовательности.............................................	436
Д.2.1 Гомологическая спектральная последовательность.........	436
Д.2.2 Когомологический вариант, применения к расслоениям и функториальность ......................................
Д.2.3 Практические примеры и метод Серра..............................	457
Библиографический список ........................................................................	466
Путеводитель по литературе.......................................................................	476
Указатель определений................................................................................	483
Указатель обозначений ...............................................................................	498
Именной указатель.……...............................................................................	507

Рекомендуемые маршруты чтения:

· Первое чтение:

Глава 1, Глава 2 (2.1.1.1, 2.1.2.1, 2.2.1), Глава 3 (3.1.1, 3.1.2, 3.2.1).

Глава 4 (4.1, 4.2.1), Глава 5 (5.1, 5.2), Глава 6 (6.1, 6.4), Глава 7 (7.1).

· Рабочий уровень практикующего физика:

Глава 1, Глава 2, Глава 3, Глава 4 (4.1, 4.2, 4.3.3, 4.3.4), Глава 5,

Глава 6 (6.1, 6.2, 6.4).

· За пределами стандартного университетского курса для физиков:

Глава 3, Глава 4, Глава 6, Глава 7, Дополнительные главы Д.1 и Д.2.

· Физические приложения:

1.4; 2.2; 4.3.4; 5.3; 5.4; 6.4; 7.5.

Об авторах

Мусин Юрат Рашитович

Кандидат физико-математических наук (1984), доцент (1991). В 1973 г. окончил МВТУ имени Н. Э. Баумана по специальности «физико-энергетические установки», в 1977 г. — механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1981 г. — аспирантуру по теоретической физике при МАИ имени С. Орджоникидзе. С 1981 г. по настоящее время — преподаватель МАИ.

Области научных интересов: классическая теория гравитации, псевдоклассическая механика над алгеброй Грассмана, уравнения движения протяженных объектов и частиц со спином во внешних электромагнитных и гравитационных полях и их связи с квантово-механическими уравнениями, композитные суперсимметричные модели фундаментальных частиц, математические модели времени.

Автор ряда учебных пособий и монографий, среди которых «Введение в суперсимметричную механику» (1988; совместно с В. В. Чередовым), «Новая школьная энциклопедия. Т. 3: Вещество и энергия» (2005; группа авторов), «Вторжение в физику» (9 книг: 2006–2010), «Геометрия пространства-времени и классическая механика» (2014; совместно с В. И. Бабецким), «Тензорный анализ» (2018), «Методы суперсимметричной механики» (2019), «Современные физические теории времени» (2019), «Алгебраический язык геометрии и топологии для физиков» (2021; совместно с И. В. Александровым). Хобби — история и культура Китая.

Александров Игорь Витальевич

Ученик Ю. Р. Мусина. Математическое образование получил на факультете прикладной математики в Московском авиационном институте и на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова. Научные интересы: гомологическая алгебра, геометрия супермногообразий, некоммутативная алгебра, теория пучков, теория категорий, применение математических подходов в консервативном и феноменологическом анализе философии и психиатрии. Автор книги «Расширенная психологическая среда. Философия, анализ и метод» (2014).