Хайтун С.Д. От эргодической гипотезы к фрактальной картине мира:
Рождение и осмысление новой парадигмы. Изд. стереотип.

Оглавление

Введение

На протяжении веков наука воспринимала материальные тела как более или менее непрерывные объекты, ограниченные более или менее гладкими поверхностями. Соответствующей была и математика, в которой преобладали гладкие многообразия, т.е. непрерывные дифференцируемые множества. Сегодня выясняется, что всё это имеет весьма косвенное отношение к действительности, в которой преобладают фрактальные структуры, характеризуемые чрезвычайной изрезанностью. Дискретность наблюдаемого мира, воспринимаемая нами как системность, т.е. как б\'oльшая или меньшая обособленность одних фрагментов мира от других, порождается именно его фрактальностью. Описание фрактальных структур требует принципиально новой математики, к разработке которой математики по сути дела еще только приступают, оставив науку перед лицом фрактальной реальности практически безоружной.

Только один пример. В модели Фридмана, широко применяемой до сих пор при описании Вселенной, последняя полагается однородной и изотропной. Между тем,

"как пишут... Я.Б.Зельдович и И.Д.Новиков, "...модель однородной, изотропной "расширяющейся Вселенной" полностью не удовлетворяет современным наблюдениям. Некий очень важный момент в картине отсутствует – отсутствует распад вещества на скопления галактик, галактики и т.д. Поэтому один из главных вопросов, над которым работают сегодня космологи, – это переход от идеализированной картины строго однородной Вселенной к картине Вселенной, неоднородной в масштабах скоплений галактик"" [Трофименко, 1991. С.141].

Фракталы изучаются синергетикой, вал работ по которой растет и ширится. Выходят посвященные ей научные журналы, издательство "Шпрингер" с 1977 г. выпустило более 100 книг серии "Синергетика" (в 1997 г. вышел 82Нй том, после чего нумерация сбилась), российское издательство URSS публикует серии "Синергетика: от прошлого к будущему" (более 25 книг) и "Синергетика в гуманитарных науках" (около десятка книг), собираются посвященные синергетике конференции и т.д. По сути дела начался перевод всей науки на фрактальный язык, работы здесь – непочатый край.

Настоящая книга – в этом ряду. Не претендуя на освещение всей фрактальной проблематики, автор поставил перед собой более скромную задачу – устранить в строящемся здании фрактальной науки некоторые лакуны и несообразности, представляющиеся ему существенными.

Фрактальные представления явились неожиданным результатом изучения феномена стохастического движения механической системы, описываемой обычными детерминированными уравнениями, т.е. уравнениями, которые не содержат случайных функций и параметров. На исследование этого феномена были направлены последовательно возникавшие в XX в. эргодическая теория, теория динамического хаоса и синергетика. Сегодняшние историко-научные очерки этих дисциплин напоминают жития святых, персонажи которых идут от победы к победе. Так не могло быть и так не было, новая парадигма никогда не рождается на ровном месте, ей приходится побеждать старую, преодолевая заблуждения и исправляя ошибки.

Рождение фрактальной парадигмы не было исключением. Замечательные умы чуть головы себе не сломали, пытаясь сшить реалии динамического хаоса с непригодной для его описания "непрерывной" парадигмой, в которой фазовая траектория динамической системы мыслится в области стохастического движения непрерывной "более или менее гладкой" линией. Рассматривая развитие эргодической теории и теории динамического хаоса, мы попытались "опрокинуть" на них родившиеся позже в синергетике фрактальные представления, последовательно выявляя ошибочные, с позиции этих представлений, утверждения и результаты. Соответственно нами был выбран жанр активной истории науки, когда анализ некоторой научной проблемы или дисциплины совмещается с анализом ее истории. Кредо автора этих строк состоит в том, что точка зрения, наиболее продуктивная в историко-научном плане, почти наверное окажется и наиболее верной относительно самой проблемы, и наоборот.

Развитие эргодической теории и теории динамического хаоса оказалось не таким, каким оно должно было бы выглядеть в рамках "антифрактальной" концепции линейного прогресса науки. В историческом развитии этих дисциплин несколько раз воспроизводилась примерно одна и та же схема. Ученые выдвигали тупиковую, как выясняется сегодня, идею (скажем, эргодическую гипотезу или К-перемешивание), прилагая большие усилия в направлении ее развития и обоснования. Не давая желаемого, работа в этом магистральном направлении приносила, однако, замечательные результаты "на полях", которые и оборачивались de facto главными.

Что касается современной теории фракталов, то меня прежде всего не устраивает господствующее в ней убеждение, что фрактальная размерность больше топологической, тогда как в действительности она меньше ее. Эта ошибка идет от отца фракталов Бенуа Мандельброта, который, как это часто бывает с первопроходцами, сам в должной мере не проникся развиваемыми им новыми представлениями. Главным примером природного фрактала ему служит броуновское движение на плоскости, топологическую размерность которого он приравнивает размерности траектории броуновской частицы, полагая ее (размерность траектории) равной 1. Поскольку же фрактальная размерность плоского броуновского движения больше 1 и меньше 2, постольку Мандельброт и приходит к своему выводу. Между тем траектория, генерирующая "настоящий" фрактал, разрывна в каждой точке, не являясь линией (каждая следующая точка траектории находится на некотором случайном расстоянии от предыдущей в случайном же направлении), почему нельзя считать, что фрактал размещен на траектории размерности 1. Не имея, таким образом, определенного положения на "размытой" траектории броуновской частицы, произвольная точка данного фрактала (броуновское движение на плоскости) может быть фиксирована только значениями двух ее координат на плоскости, так что его топологическая размерность равна 2.

Их того факта, что фрактальная размерность фрактала меньше топологической его размерности, вытекает важное следствие. А именно, мера фрактала, измеренная в единичных "кубиках" топологической размерности пространства, в котором он размещен, тождественно равна нулю. Соответственно нулю должна быть равна и плотность массы материальных фракталов, размещенных в нашем трехмерном пространстве. Однако, если бы реальные конечные объекты, которые сегодня считаются фракталами – угольная сажа, бронхи, галактики и пр., – были "настоящими" фракталами, то их масса была бы равна нулю, чего, как мы знаем, не наблюдается. Отсюда вытекает, что такие объекты не фрактальны, но только фракталоподобны, имея фрактальную структуру лишь в конечном диапазоне масштабов.

Это выводит на принцип дополнительности непрерывного (кинетического) и дискретного (фрактального, синергетического, динамического) описаний, исключающих друг друга в области необратимых процессов. Во-первых, мы можем, как это принято в кинетической теории, считать фазовую жидкость непрерывной, что делает возможным написание для ее плотности дифференциальных (кинетических) уравнений. При этом, однако, фазовая жидкость оказывается сжимаемой/растягиваемой, что означает статистическую связанность степеней свободы и, соответственно, невозможность написания для них уравнений движения, лежащих в основании синергетики. Во-вторых, мы можем, как это делается в синергетике, считать степени свободы статистически независимыми, выписывая для них динамические уравнения. При этом фазовая жидкость оказывается несжимаемой; поскольку же ее объем в ходе необратимого роста энтропии должен расти, постольку она и рвется в каждой точке, образуя всюду разрывную (фрактальную) структуру, что делает невозможным написание для плотности фазовой жидкости кинетических уравнений. В области обратимых процессов эти два подхода сливаются, дифференциальные уравнения действуют здесь одновременно и для степеней свободы (уравнения Гамильтона), и для фазовой плотности (уравнение Лиувилля).

Единственным "настоящим" материальным фракталом может оказаться Вселенная из-за ее бесконечности, имеющая, – если она и на самом деле фрактальна, на чем сегодня достаточно легкомысленно настаивают космологи, не догадываясь о вытекающих отсюда далеко идущих последствиях, – нулевую плотность, т.е. плотность любого ее фрагмента с устремлением его объема к бесконечности стремится к нулю. Вселенная же с нулевой плотностью гравитационно устойчива, так что все ее фрагменты не могут одновременно расширяться или сжиматься. Это значит, что Вселенная, если она фрактальна, не переживала Большого взрыва, который, таким образом, претерпела лишь наша Метагалактика.

Наблюдаемая однородность Космоса на расстояниях порядка или более 300 млн световых лет не противоречит фракталоподобности нашей Метагалактики и гипотетической фрактальности Вселенной. Об их макрооднородности можно говорить, сравнивая фрагменты равного объема, и нельзя, соотнося фрагменты разных объемов: с ростом объема сравниваемых фрагментов их плотность массы резко падает, достаточно же большие фрагменты равного объема имеют равные плотности, и тем более равные, чем больше объем сравниваемых фрагментов.

Когда в однородной среде или в вакууме взрывается тело конечных размеров, будь то сверхновая звезда или тротиловый заряд, то такой взрыв имеет центр и радиальные градиенты давления, плотности и температуры. Ничего подобного при расширении нашей Метагалактики не наблюдается, и это требует объяснения. Авторская точка зрения состоит в том, что макрооднородность нашей Метагалактики и отсутствие у нее центра расширения свидетельствуют о том, что она является (чрезвычайно разреженной из-за ее размеров) черной дырой, внутреннее пространство которой замкнуто гравитацией, будучи конечным по объему, но безграничным.

В качестве геометрической аналогии трехмерного замкнутого безграничного пространства в общей теории относительности используется двухмерная поверхность трехмерной сферы. Скажем, поверхность земного шара конечна, но безгранична. В нашем случае сфера еще и расширяется. Поместим на ее поверхность двухмерный газ взаимодействующих точек, имитирующий трехмерный "газ" звезд и галактик. Если эти взаимодействия подобны реальным, то подобно тому, как это происходит в наблюдаемом мире, точки будут образовывать фракталоподобные структуры. Из-за симметрии задачи газ на двухмерной сферической поверхности не будет иметь выделенных участков и направлений, оставаясь однородным и изотропным в том смысле, что находящиеся на ней равные по площади участки будут иметь примерно одинаковую плотность точек, тогда как участки большей площади будут иметь меньшую плотность. По мере расширения сферы плотность газа на ее поверхности уменьшается, точки разбегаются, не имея центра расширения. Если сфера расширяется с постоянной скоростью, то точки на ее поверхности разбегаются в соответствии с законом Хаббла. Все это, только в трехмерном пространстве, мы и наблюдаем в нашей Метагалактике.

Еще один изъян наук о стохастическом движении, на мой взгляд, состоит в том, что здесь не разводятся обратимый и необратимый динамический хаос. Такое неразведение приводит ученых к ряду ошибок, самыми заметными из которых оказываются ошибки Э.Хопфа, Н.С.Крылова и Я.Г.Синая, допущенные ими при доказательстве существования необратимого хаоса в обратимых системах, описываемых симметричными по времени уравнениями движения (все эти авторы, не замечая того, отбрасывают в своих соотношениях ветвь, отвечающую обращенному движению). Согласно традиции, например, Синай доказал в своей теореме, что система двух или более упругих шаров является системой с К-перемешиванием, т.е. системой, в которой имеет место необратимая экспоненциальная локальная неустойчивость фазовых траекторий. После устранения допущенной им ошибки обнаруживается, что он доказал лишь наличие в его системе обратимой экспоненциальной локальной неустойчивости.

Возможно более четкое разведение систем с обратимым и необратимым динамическим хаосом существенно по той причине, что фракталы рождаются только в необратимых системах, описываемых, как мы доказываем, негамильтоновыми уравнениями, гамильтонова же механика действует лишь в обратимых системах.

И еще один пункт, отличающий нашу работу от других: в ней доказывается, что синергетическая система, т.е. система, в которой возникают фрактальные структуры, может быть изолированной; это не противоречит закону возрастания энтропии, поскольку, как мы утверждаем, энтропия реальных систем не является мерой беспорядка.

Рецензии

Трудно назвать область науки, которая бы развивалась сегодня более бурными темпами, чем синергетика и теория фракталов. И нетрудно понять, почему – если до недавнего времени хаос отвергался как нечто неизменно разрушительное, как препятствие на пути познания, то синергетика впервые заговорила о его о творческой, созидательной роли. И не просто заговорила, но и стала конструировать средствами вычислительного эксперимента хаотические структуры, удивительно напоминающие те, что на каждом шагу встречаются в окружающей нас действительности. На наших глазах возникает фрактальная парадигма, которая может стать основной компонентой нарождающейся постнеклассической науки и универсального эволюционизма.

Быть может, именно из-за ее невероятной успешности в освоении пространства "детерминированного хаоса", синергетику и нелинейную динамику характеризует сегодня некоторая торопливость – авторы спешат распространить оказавшуюся в их руках технику анализа на все новые и новые физические, биологические и социальные явления, не успевая при этом подумать о "вечном" – о фундаментальных основаниях фрактальной парадигмы.

Рецензируемая книга стоит в этом потоке синергетической литературы особняком, С.Д. Хайтун предпринимает попытку рассмотрения именно оснований фрактальных представлений, в чем ему помогает жанр книги: на основные концепты теории фракталов автор выходит "с разбега", дав предварительно достаточно подробный историко-научный очерк трех разделов физики, приведших в совокупности к появлению фрактальных представлений, – эргодической теории, теории динамического хаоса и синергетики. Попытку, на мой взгляд, следует признать удачной – благодаря вниманию к деталям Хайтуну удалось выявить новые моменты в казалось бы исхоженных другими авторами сюжетах. В книге обсуждаются действительно кардинальные проблемы синергетики, при том что она (книга), насколько я могу судить, свободна от явных ошибок, хотя, не будучи профессиональным физиком, я не берусь все же решать, в какой степени излагаемые автором идеи правильны.

Наиболее интересным представляется вывод, к которому Хайтун приходит в заочной полемике со знаменитым французским математиком Бенуа Мандельбротом, "отцом фракталов". Если по Мандельброту фрактальная размерность больше топологической размерности фрактала, то Хайтун доказывает, что фрактальная размерность меньше топологической. Из этого казалось бы достаточно частного математического утверждения Хайтун выводит удивительные следствия: плотность массы материального фрактала, расположенного в нашем трехмерном пространстве, утверждает он, должна быть равной нулю. Нулю должна быть равной плотность сажи, облаков, галактик и прочих объектов, которые сегодня называют фракталами. Поскольку же их плотность не равна нулю, говорит Хайтун, то это означает, что они не являются фракталами в стро гом смысле слова, имея фрактальную структуру лишь в конечном диапазоне масштабов. Единственным фракталом во всем диапазоне масштабов, полагает он, может быть только Вселенная из-за ее бесконечности, и тогда ее плотность равна нулю.

Космологи знают, насколько важным может оказаться этот результат, – Вселенная с нулевой массой не может вся ни расширяться, ни сжиматься, так что Большой взрыв в этом случае следует отнести только к окружающей нас части Вселенной (Метагалактике). Прав или не прав Хайтун в своей заочной дискуссии с Мандельбротом, пусть решают профессиональные математики (топологи), мне же эти его построения представляются чрезвычайно важными.

В книге содержатся и другие интересные, хотя и спорные положения. Фракталы, утверждает он, возникают только в необратимых системах и не возникают в обратимых; синергетические системы, в которых возникают фракталы, могут быть изолированными, а энтропия не является мерой беспорядка; необратимые системы, по Хайтуну, всегда негамильтоновы. Среди физиков, например, имеет хождение иная точка зрения, согласно которой необратимость можно вывести из гамильтоновой механики, если ее формулировать в терминах ансамблей. Однако вне зависимости от правоты автора в том или ином конкретном вопросе, книга будет интересна читателю. Она стимулирует мысль, поднимает подлинно значимые проблемы синергетики и теории фракталов, предлагает неожиданные пути их решения.

Помимо прочего, книга написана хорошим русским языком, подробно структурирована и снабжена справочным аппаратом.

В целом книгу С.Д. Хайтуна следует оценить как профессионально выполненную работу на актуальную тему. Книга несомненно заслуживает публикации и будет интересна специалистам.

Рецензируемая рукопись новой монографии С.Д. Хайтуна представляет собой весьма содержательное историко-научное исследование, основанное на целом ряде его прежних работ, в том числе монографических, причем выполненное в стиле активной истории науки (содержащее собственный вклад в саму науку), рассчитанное на достаточно компетентных и вдумчивых читателей, призывающее их к обоюдополезной дискуссии по обсуждаемым вопросам. И, возможно, некоторые из затрагиваемых им авторов [например, Н.В. Вдовиченко, автор монографии "Развитие фундаментальных принципов статистической физики в первой половине XX в." (М.: Наука, 1986. 160 с.), рецензентом которой я имел честь быть] сами могли бы кое-что заметить в этой связи.

Эргодическая и квазиэргодическая гипотезы получили широкое распространение не только в физике, но и в астрофизике, в том числе в динамике звездных систем, которой я в свое время активно занимался [Г.М. Идлис. Структура и динамика звездных систем. Алма-Ата: АН Казахской ССР, 1961. 314 с; Г.М. Идлис. Структура и динамика звездных систем. Автореферат совокупности работ, представленной в качестве диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Москва: МГУ, 1964. 23 с]. Там используется известная общая теорема Лиувилля о постоянстве фазовой плотности и соответствующая классическая теорема Джинса о выражении этой плотности для стационарных систем через интеграл энергии и другие изолирующие интегралы движения отдельной звезды, которыми в "размешивающихся" системах, однако, как правило, являются отнюдь не все пять остальных, а, прежде всего, интеграл момента вращения вокруг оси симметрии и лишь т.н. третий интеграл Кузмина – Идлиса, с которым, в частности связана симметрия рассматриваемых систем относительно экваториальной плоскости и их строение [Г.М. Идлис. Практический критерий стационарности или не стационарности конечных самогравитирующих звездных систем // Доклады АН СССР. 1958. Т. 122. ь 6. С. 997 – 998; Г.М. Идлис. Общее выражение для фазовой плотности конечных стационарных самогравитирующих звездных систем и их дифференциальное осевое вращение // Доклады АН СССР. 1958. Т. 123. ь 6. С. 994 - 997; Г.М. Идлис. Симметрия стационарных осесимметричных звездных систем относительно экваториальной плоскости // Астрономический журнал. 1959. Т. XXXVI. Выпуск 1. С. 85 – 88; Г.М. Идлис. О существовании и свойствах трех фундаментальных независимых первых интегралов движения отдельной звезды, входящих в общее выражение для фазовой плотности самогравитирующих звездных систем // Известия Астрофизического Института АН Казахской ССР. 1961. Т. XI. С. 3 – 40; Г.М. Идлис, Р.Х. Гайнуллина. Об эргодичности стационарных осесимметричных самогравитирующих звездных систем // Известия Астрофизического Института АН Казахской ССР. 1961. Т. XI. С. 41 – 53; Г.М. Идлис. Фундаментальная теорема динамики самогравитирующих звездных систем и их эргодичность в стационарном осесимметричном случае (Тезисы доклада) // Бюллетень Абастуманской астрофизической обсерватории АН Грузинской ССР. 1962. Т. 27 (Труды третьего пленума Комиссии звездной астрономии Астрономического Совета АН СССР. Тбилиси – Абастумани, 1960). С. 88-89].

Введенное мною в 1956 г. представление о бесконечной структурной иерархии Вселенной с необходимой для нее нулевой предельной плотностью [Г.М. Идлис. Теория относительности и структурная бесконечность Вселенной // Астрономический журнал. 1956. Т. XXXIII. Выпуск 4. С. 622 – 626; Г.М. Идлис. Космическая материя. Москва: АН СССР, 1957. 126 с], затем подкрепленное моей космологиеской концепцией макро-микросимметрии Вселенной [Г.М. Идлис. О структуре и динамике Метагалактики // Философские проблемы теории тяготения Эйнштейна и релятивистской космологии. Киев: Наукова думка, 1965. С. 302 – 312 (Доклад на Всесоюзном симпозиуме в Киеве в 1964 г.)], фактически представляло собой естественное развитие еще моей университетской дипломной работы по теоретической физике "Об инерциальности гармонических систем координат в общей теории относительности" (1951) в русле надлежащего обоснования известной идеи академика В. А. Фока о безусловной галилеевости метрики на бесконечности, т.е. об абсолютном – космологическом – статусе специальной теории относительности, в отличие от локального – космогонического – статуса т.н. общей теории относительности А.Д. Александров, Г.М. Идлис. Вклад В.А. Фока в релятивистскую теорию пространства, времени и тяготения // Исследования по истории физики и механики. 1998 – 1999. Москва: Наука, 2000. С. 36 – 50 [С двумя приложениями (с. 39, 40 – 49): Приложение I. Рецензия кандидата физико- математических наук доцента И.Д. Молюкова на дипломную работу студента V курса физико-математического факультета КазГУ Г.М. Идлиса "Об инерциальности гармонических систем координат в общей теории относительности" (1951); Приложение II (Авторское извлечение из этой дипломной работы, подготовленное тогда же – в 1951 г. – в виде специальной статьи, но остававшееся не изданным). Г.М. Идлис. Гармонические системы координат как привилегированные, инерциальные системы координат в общей теории относительности].

Фактически это, безусловно, подразумевало необходимость бесконечного структурного самоподобия бесконечной Вселенной, которая, по сути, является, действительно, единственным настоящим фракталом, в отличие от каких бы то ни было лишь фракталоподобных конечных космических систем.

Что касается негауссовых – ципфовых – распределений, то одним из них оказалось выведенное мною теоретическое распределение осколков по размерам и массам при любом случайном дроблении тел [Г.М. Идлис. Космические силовые поля и некоторые вопросы структуры и эволюции галактической материи // Известия Астрофизического института АН Казахской ССР. 1957. Т. IV. С. 3 – 159], а другим – выведенное мною теоретическое распределение типичных разумных индивидуумов по их оптимальным интеллектуальным возможностям [Г.М. Идлис. Естественная (теоретическая) градация типичных специалистов по относительной квалификации и математически ожидаемый статистический закон их распределения // Всесоюзное совещание по количественным методам в социологии (Сухуми, 1967). Материалы секции количественных методов изучения развития науки. Москва: ИИЕТ АН СССР. 1967. С. 73-78: Г.М. Идлис. Математическая теория научной организации труда и оптимальной структуры научно-исследовательских институтов. Алма-Ата: Наука Казахской ССР, 1970. 336 с; Г.М. Идлис. К вопросу о математизации науки о науке (аксиоматические основания) // Философия и социология науки и техники. 1987. Москва: Наука, 1987. С. 114-136].

Полагаю, что рецензируемая рукопись монографии С.Д. Хайтуна, безусловно, заслуживает публикации.

Об авторе

Хайтун Сергей Давыдович

Кандидат физико-математических наук, до мая 2016 года — ведущий научный сотрудник Института истории естествознания и техники РАН. Автор более 200 научных публикаций и книг, среди которых издаваемые в издательстве URSS: «Механика и необратимость», «История парадокса Гиббса», «От эргодической гипотезы к фрактальной картине мира: Рождение и осмысление новой парадигмы», «„Тепловая смерть“ на Земле и сценарий ее предотвращения» (в двух частях), «Наукометрия: состояние и перспективы», «Феномен человека на фоне универсальной эволюции», «Социум против человека: Законы социальной эволюции», «Номенклатура против России: Эволюционный тупик», «Кризис науки как зеркальное отражение кризиса теории познания: Кризис науки», «Кризис науки как зеркальное отражение кризиса теории познания: Кризис теории познания», «Инвективы против закона возрастания энтропии, усиленные гипотезой о фрактальности Вселенной», «Гипотеза о фрактальности Вселенной: Истоки. Основания. 24 следствия», «XXI век: На пути к новой научной картине мира», «Закон возрастания энтропии: Историко-научные корни фейка», «Фундаментальное противоречие науки: Склонность к социопатии и другие профессиональные изъяны ученых, угрожающие цивилизации».